专题224一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册（原卷版）

专题22.4一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）【华东师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1【题型2利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 2【题型3利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 2【题型4利用根与系数的关系求参数的值】 2【题型5利用根与系数的关系求参数的取值范围】 3【题型6利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】 3【题型7不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 3【题型8由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 4【题型9根与系数的关系与几何图形的综合运用】 4【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 5知识点一元二次方程根与系数的关系1.由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1=例如：方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，2.一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．【题型1利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2425九年级下·山东烟台·期中）若a,b是关于x的方程x2−x−3=0的两实数根，则ba+ab的值为．【变式11】（2425八年级下·安徽合肥·期中）已知a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，则ab−a−b=【变式12】（2425八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x1，x2，则【变式13】（2425八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的两根分别记为αm，βm，如：当m=1时，方程的两根记为【题型2利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】【例2】（2425八年级下·浙江杭州·期中）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则代数式2α【变式21】（2025·四川广安·中考真题）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式a2【变式22】（2425九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，则a2【变式23】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，那么2n【题型3利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】【例3】（2425九年级下·黑龙江绥化·期中）已知α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，则α3【变式31】（2425八年级下·安徽宣城·期中）已知α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3【变式32】（2425九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多项式m3【变式33】（2425九年级下·安徽芜湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，求α【题型4利用根与系数的关系求参数的值】【例4】（2425八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根x1，x2．实数m满足x1【变式41】（2425九年级下·江西九江·期中）已知x1，x2是关于x的方程x2−mx+1=0的两个实数根，且x1【变式42】（2425九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程x2+4−2mx+【变式43】（2425九年级上·河南周口·期中）关于x的方程x2−2mx+m2−4=0的两个根x1，x2满足x【题型5利用根与系数的关系求参数的取值范围】【例5】（2324八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4x2−5x−m+5=0【变式51】（2425九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个不相等的实数根x1,x2，且x1【变式52】（2324八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+a+2x+1=0有两个不相等的实数根x1,【变式53】（2324九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2m+2x+m2−4m+4=0有两个实数根x1，x2，则m的取值范围是，若【题型6利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】【例6】（2425九年级上·湖北随州·期末）已知2x2−2025x+3=0,3y2−2025y+2=0，且【变式61】（2425八年级下·上海·阶段练习）方程组x+y=8xy=15的解是【变式62】（2425八年级下·江西宜春·阶段练习）已知实数m,nm≠n满足2m2−3m−1=0，2【变式63】设x，y，s，t为互不相等的实数，且A．1 B．1 C．0 D．0.5【题型7不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例7】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cxA．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根【变式71】（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程x2A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根【变式72】（2022·江苏南京·二模）方程x+1x−2A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根【变式73】（2324九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0A．有两个正的实数根 B．没有实数根C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大【题型8由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】【例8】（2223八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1m是方程N的一个根；④若方程MA．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【变式81】（2223九年级上·江苏南京·期中）若关于x的一元二次方程a(x+ℎ)2+k=0的两根分别为−3、2，则方程a【变式82】（2425九年级上·浙江台州·期末）若x1=2025，x2=1是一元二次方程ax【变式83】关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2A．p是正数，q是负数 B．(p−2)C．q是正数，p是负数 D．(p−2)【题型9根与系数的关系与几何图形的综合运用】【例9】（2425八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2−2 m+1x+【变式91】（2425八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为【变式92】（2425九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2−mx+m2−【变式93】（2425八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2−k+2【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2425八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx(1)判断此方程根的情况，并说明理由．(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．(3)若此方程的两个实数根分别为x1,x【变式101】（2425八年级下·浙江·期中）关于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范围．(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程m−1x2+x+m−3=0与方程x(3)若方程x2−5x+k=0的两个实数根为x1,x【变式102】（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2(1)求整数k的取值；(2)若等式a2+2b−5=0成立，求整数【变式103】（2425八年级