专题02有理数的运算（期中复习讲义）

专题02有理数的运算（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律有理数的加法法则能正确地进行有理数的加法运算基础必考点，是考试的基础题型有理数加法运算律能熟练运用加法的运算律基础必考点，常出现在小题有理数的减法法则掌握有理数的减法法则基础必考点，常出现在计算题，注意符号有理数加减混合运算熟练运用加减法法则进行运算高频考点，经常在计算题考查有理数乘法法则能正确进行有理数的乘法运算基础考点，常出现在小题有理数乘法运算律能熟练运用乘法的运算律基础必考点，是考试的基础题型倒数掌握倒数的概念，学会倒数的运算高频易错点，常忘记倒数的符号有理数除法法则能正确进行有理数的除法运算基础必考点，经常在计算题考查有理数乘方运算能正确进行有理数的乘方运算基础必考点，经常在计算题考查有理数四则运算的实际应用准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况高频考点，经常出现在大题科学记数法能正确的用科学记数法表示一个数基础必考点，一般出现在选择题近似数掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字易错必考点，一般出现在小题中知识点01有理数加法法则与运算律1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）；若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）；2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。绝对值相等时，两数之和为0；3.一个数与0相加，仍得这个数；4.有理数加法运算步骤：（1）看：看两个加数是同号还是异号；（2）定：确定和的符号；（3）求：根据有理数加法法则求和.有理数加法运算律1.有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法交换律：a＋b＝b＋a2.有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加.3.有理数加法中的一些计算技巧：（1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加；（2）同号结合法：符号相同的数先相加；（3）同分母结合法：分母相同的数先相加；（4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加.知识点02有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，ab=a+(b)1.较大的数－较小的数＝正数；2.较小的数－较大的数＝负数；3.相等的两个数相减等于0；4.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.知识点03有理数加减混合运算1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算；2.去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）；3.利用加法法则和加法运算律进行计算.知识点04有理数乘法法则与运算律1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2.0与任何数相乘都得0；3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数；4.拓展：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.（3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.有理数的乘法运算律1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等；2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等；3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.4.拓展：三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等；乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用知识点05倒数1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数.2求一个数的倒数的方法：（1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.知识点06有理数除法法则1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；3.0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义.4.一个非零的数除以它的本身等于1.两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.补充：（1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是1，则这两个数互为相反数.（2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律.知识点07有理数乘除混合运算1.有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；2.要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算.利用运算律简便计算1.有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等；2.一些计算优先结合会简便很多，如下所示：（1）相反数结合；（2）凑整结合；（3）正、负分别结合；（4）同分母结合；（5）倒数结合有理数的混合运算顺序1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算，按照从左到右的顺序进行；3.如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号.PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的.知识点08有理数的乘方运算求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.1.乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；4.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.有理数乘方的运算1.有理数乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶数次幂都是非负数.2.有理数的乘方运算计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.3.拓展：（1）1的任何次幂都是1；（2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1；（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1.知识点09科学记数法1.科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜102.如何确定科学记数法中的a和n（1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；（2）确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几.a)用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小；b)用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致；c)用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号；d)对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉.知识点10近似数准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.题型一有理数的加减法运算解｜题｜技｜巧熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题；【典例1】计算：【典例2】计算：【变式1】计算：【变式2】阅读下面的解题过程并解决问题……(1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误；(2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律）(3)请将正确解答过程补充完整．故答案为：有理数的减法法则，二；（2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律，故答案为：加法交换律，加法结合律；【变式3】计算：．题型二有理数加减法的应用答｜题｜技｜巧加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算；【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了袋．他任意称了其中的袋，结果如下：第一袋第二袋第三袋第四袋第五袋21千克20千克18千克22千克19千克估一估，王大伯大约一共收获了千克的土豆．∴王大伯大约一共收获了千克土豆．故答案为：．【详解】解：无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量为：【分析】本题主要考查了有理数的加减法，先求出李教授搭乘北京早上的飞机经过10小时到达巴黎的北京时间，然后加上巴黎与北京的时差小时，列出算式进行计算即可．（时），∴李教授到达巴黎时，巴黎时间为11时，【变式2】下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）星期一二三四五六七水位变化/米注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．(1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？(2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较，理解题意是解题的关键．（1）先设标准水位，再计算出这一周中每一天的水位，即可得出答案；（2）将这些数据相加，和为正，表示跟上周相比，本周的水位上升了；和为负，表示跟上周相比，本周的水位下降了．【详解】（1）解：（1）根据题意，设警戒水位为0，则：∴本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上米．（2）根据题意，得：∴与上周相比，本周的水位上升了．【变式3】2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（万人）(1)10月3日的人数为__________万人．(2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人．(3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用．（1）根据题意列式将9月30日的游客人数为万人依次加上10月1日到10月3日变化人数即可；（2）分别计算出10月1日到10月7日每天的人数，继而得到本题答案；∴10月3日的人数为万人．∴游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数最少的是10月7日，达到万人．题型三有理数加法运算律及符号问题解｜题｜技｜巧加法运算律包含交换律、结合律，注意加法运算律的作用是为了简化计算，提高计算效率和正确率，因此在使用运算律时要注意符号的问题；【典例2】计算：．．【答案】B【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可．因此，原式转化为：故选B．【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案．【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键．上面这种方法叫拆项法．【答案】【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可．题型四有理数加减混合运算（提高）【典例1】计算：【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．（1）先根据去括号法则去括号，再算加减法即可；（2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律计算即可；（3）先根据绝对值的性质化简绝对值，再算加减法即可；（4）先算中括号里的式子，再根据加减运算法则计算即可．（2）阅读并解决问题．①计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学的思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律．

②根据以上的解题技巧计算下列式子．【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算．（2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可．（2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律；【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．．以上解题方法叫作“拆项法”．请你利用“拆项法”计算下面式子的值：【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键．根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可．【分析】本题考查归纳推理与有理数的混合运算，解题的关键是先算出每个括号内的值，发现规律，熟练掌握有理数的加减运算法则是解本题的关键．【分析】本题考查有理数加减混合运算，能够灵活运用有理数加减法法则和运算律是解题的关键．先分别将算式中第2个至11个数用两个分数的和表示，再利用有理数加法结合律进行简便运算，即可计算出结果．题型五有理数加减中的简便运算解｜题｜技｜巧1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合【典例1】用简便方法进行运算【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则．（1）利用符号相同的两个数分别结合进行求解；（2）将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解；（3）将分母相同的两个数分别结合为一组进行求解；（4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解．；【典例2】计算：【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算．（1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解；（2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解．上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算：【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．【变式2】先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题．上面的计算方法叫作拆分法．【分析】本题主要考查了有理数的加法，牢牢掌握有理数的加法运算律是解答本题的关键．根据（1）可知利用拆分法即可解答本题．【变式3】阅读例题的计算方法．上面这种解题方法叫做拆项法．【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据提供的方法，拆项计算即可；（2）根据提供的方法，拆项计算即可．．题型六省略加法和括号的形式解｜题｜技｜巧省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号；【答案】C【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确的去括号是解题的关键．根据有理数的加减进行计算即可求解．故选：C．【答案】B【详解】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号．故选：B．【答案】A【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反．故选：A．【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用减法法则变形即可得到答案．【变式3】把（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2）写成省略加号和括号的形式为．【答案】34+67+2【分析】直接根据去括号法则即可解答．【详解】解：（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2）【点睛】此题主要考查把一个式子写成省略加号和的形式，熟练掌握去括号法则是解题关键．题型七有理数的乘除法运算解｜题｜技｜巧有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算.【典例1】计算：【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．（1）根据有理数乘除法运算法则计算即可．（2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可．；【典例2】计算：【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据有理数的乘除混合运算法则求解即可．；；【答案】9900【分析】本题考查新运算的计算，解题的关键是根据题意得到新运算的规律．根据新运算直接代入求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，【变式2】小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60，结果所得的结果是20．如果将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是．【答案】3600【详解】解：∵小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60，∴将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是：故答案为：3600．【分析】先化小数为假分数，再化除为乘，计算即可．本题考查了有理数的乘除混合运算，化小数为假分数，再化除为乘，是解题的关键．题型八有理数乘除法的实际应用解｜题｜技｜巧找到数量关系进行求解；【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）：(1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？(2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．（1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可；（2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可；（3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可．∴B地在A地东边距离A地10千米处．（2）解：；∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米．【典例2】甲、乙印刷厂印制材料费用如下表．甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费．乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元．两厂均要求最低印制200份．(1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元；(2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！）(3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明．【分析】本题考查的是有理数四则混合运算的实际应用，掌握有理数四则混合运算的实际应用是解题的关键．（1）根据题意列出式子即可求出；（2）根据题意列出总费用等于材料费加上制版费即可；（3）分别求出甲厂与乙厂印制的份数，再进行比较即可；故答案为：420．答：如果选择乙厂印制400份材料，需550元．【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件：品名足球排球羽毛球拍文具盒相册钢笔圆规笔记本圆珠笔单价/元3220161085432(1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？(2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？【分析】本题考查了简单的最佳方案选择，解题的关键是在理解题意的基础上列出算式．（1）要用最少的钱买奖品，则一等奖为圆规，二等奖为笔记本，三等奖为圆珠笔，据此求出所花的钱；（2）根据要求可以得到两种方案，在总费用不超过元的前提下，即可确定花费最多是多少元．（2）解：方案一：一等奖8元，二等奖4元，三等奖2元，方案二：一等奖16元，二等奖8元，三等奖4元，方案三：一等奖元，二等奖元，三等奖元，答：有两种购买方案，花费最多的需用元．起步价（3千米以内）超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计）等候费（不足1分钟以1分钟计）（单价：元）11每4分钟元(1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？(2)若汽车耗油量为升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？(3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数的意义：（1）利用有理数的加法列出算式，再计算即可；（2）求出各数的绝对值的和，再利用耗油量行驶路程可得答案；（3）利用起步价超过3千米部分的费用等候费可得答案．即小李在出发点的北方1千米处；即出租车共耗油升；班级检查人数班级检查人数班班班班班班班班班班班班班班(1)班接受视力检查的有多少人？(2)班比班多检查多少人？(3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可；（）根据正负数的意义列式计算即可；（）根据正负数的意义列式求出七年级学生人数，再除以医生人数即可求解；本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．答：班接受视力检查的有人；答：班比班多检查人；（3）解：45×14+(−1+0+2+3−1+2+0+1+2+3−2+0−1−2)=636（人），答：平均每位医生要检查名学生．题型九有理数乘法运算律解｜题｜技｜巧1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等；2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等；3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.【典例1】简便运算：【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律，（1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加法即可得到答案；【分析】本题主要考查了有理数混合运算，逆用乘法分配律，进行计算即可．【变式1】计算：【分析】本题考查有理数的混合运算．（1）根据乘法分配律计算即可；（2）先将式子分组，再利用乘法分配律计算即可【变式2】用简便方法计算：【分析】本题考查了有理数的简便运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律、加法交换律与结合律、乘法交换律与结合律，以及拆分带分数简化计算．（1）利用乘法分配律，将括号内各项分别与相乘再求和；（2）将带分数拆分为整数与分数的和，再用乘法分配律计算；（3）拆分带分数为整数和分数部分，分别对整数和分数运用加法交换律与结合律凑整计算；（4）运用乘法交换律与结合律，将便于计算的数结合相乘．【变式3】用乘法运算律简便计算：【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便．（1）利用乘法的交换律计算；（2）利用乘法的分配律计算；（3）利用乘法的交换律计算即可；（4）逆用乘法的分配律计算即可．；题型十有理数四则混合运算解｜题｜技｜巧1、先算乘方，再算乘除，最后算加减；2、同级运算，按照从左到右的顺序进行；3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号.【典例1】选择合理的方法计算【分析】本题考查了有理数的混合运算与简便计算，熟练掌握有理数的运算、简便计算是解题的关键．（1）根据有理数的混合运算，计算即可；（2）根据“连续减去两个数等于减去这两个数的和”，简便计算即可；（3）根据加法交换律与加法结合律，简便计算即可；（4）逆用乘法分配律，简便计算即可．；【典例2】计算【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练地运用有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．（1）先算乘法，再算减法即可；（2）根据有理数乘法法则进行计算即可；（3）根据乘法分配律逆运用计算即可；（4）根据乘法分配律求出即可；（5）先算乘法，再算加减即可；（6）先去小括号，把除法变成乘法，再根据乘法分配律求出即可．；；；．【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先计算括号内，再进行乘除法计算即可．【变式2】计算：【分析】本题考查有理数乘法运算律，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．（1）利用乘法分配律计算即可；（2）按照运算法则计算即可．【变式3】计算【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的运算顺序．（1）先分别计算除法和乘法，再计算减法．（2）先算乘方，再算括号内的减法，接着算乘除，最后算加减．；题型十一有理数四则混合运算的实际应用【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下：汽车价格购置税税费当售价低于或等于30万时免税当售价高于30万时淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元．(1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？(2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？【分析】本题考查了百分数计算，涉及折扣、利息及购置税的计算．解题关键是准确理购置税的计算方法，同时在分期付款情境中，先计算折扣和利息得到分期总价，再根据售价计算相应的购置税，最后求和得出总支付金额．答：淘气的爸爸一共需要支付38.8万元；【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以千米为标准，多于千米的记为“”，不足千米的记为“”，刚好千米的记为“”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（千米）(1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？(2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？(3)已知汽油车每行驶千米需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶千米耗电量为度，每度电为元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、正负数的应用，正确列出运算式子是解题关键．（1）利用表格中最大的数减去最小的数即可得；（2）利用7天标准的总路程加上表格中的七个数字的和即可得；（3）根据汽油价和电价分别求出汽油车行驶的费用和新能源汽车行驶的费用，由此即可得．即这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶千米，（千米），答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元．【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下．标准支付方法一年内650元以内（含650元）个人支付全部费用650元以上部分(1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？(2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键．（1）根据分段收费方法计算即可求解；（2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可．答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元．【变式2】如表是某市地铁收费标准：分段乘坐里程(千米)单程票票价1里程2元2里程3元3里程4元45元56元6里程30千米以上，每9千米分段加1元亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算．(1)求亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；(2)地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，亮亮妈妈每天上下班乘坐地铁交通费最少是多少？请你帮助亮亮妈妈选取一种地铁交通费最少的方案并说明理由．【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，理解题意，列出相应式子，同时进行分类讨论是解题关键．（1）根据题意和表格中的数据，可得出亮亮的妈妈每次单程票票价为4元，依据乘车时间及一天两次和普通乘客单程票价的折扣，可以计算出亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）根据题意，利用分类讨论的方法，分别求出购买各种月票的较低费用，然后比较大小即可得出结论．【详解】（1）解：由表格可知，亮亮的妈妈每次单程票票价为4元，故亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为：当选择C月票时的费用为130元；费用最少的方案为：购买2个A月票，刷卡乘车2次．【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）：星期一二三四五六日增减（件）(1)求工厂当周一共加工的零件总数；(2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本；(3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额．【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．（2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可；（3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额．答：工厂当周一共加工件零件；答：该工厂当周的加工总成本为元；题型十二有理数的乘方运算解｜题｜技｜巧计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.（1）1的任何次幂都是1；（2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1；（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1.【答案】B【分析】本题考查了化简绝对值，乘方运算，以及有理数大小比较．先将各项化简计算出结果，再进行比较大小，即得答案．∴最大的数为故选：B【答案】A故选：A．【答案】0【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则．直接利用有理数的乘方法则计算．．【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键．根据乘方的定义计算即可；【变式3】计算：(2)；【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式直接进行四次方运算即可得到答案；（2）原式直接进行四次方运算即可得到答案；（3）原式直接进行立方运算即可得到答案；（4）原式将分子进行立方运算即可得到答案；（5）根据的偶次方等于1可得结果．题型十三程序流程图与算24点【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（

）A．63 B．8 C．64 D．80【答案】A【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可．【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键．【变式2】任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为．【答案】答案不唯一961【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算．本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数．后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数，最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等第二空：从最大的三位数999开始依次验证【变式3】按流程图进行计算：请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程．【答案】，计算过程见详解【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键．【详解】解：最后输出的结果是，计算过程如下：∴最后输出的结果是．题型十四科学记数法解｜题｜技｜巧1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.2）一个负数也可以用科学记数法表示.【答案】A故选：A．【答案】C故选：C．【答案】④故正确的是：④，故答案为：④．【变式2】2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为千克，数据用科学记数法表示为．【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？（1）利用科学记数法的法则解答即可；（2）利用科学记数法的法则解答即可；（3）利用科学记数法的法则解答即可．题型十五近似数解｜题｜技｜巧准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字【答案】C【分析】根据近似数，精确度的定义解答即可．本题考查了近似数和精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．【详解】解：A.（精确到十分位）正确，不符合题意；

故选：C．【典例2】下列各个数字属于准确数的是（

）A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区B．半径厘米的圆的周长是厘米C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个【答案】A【分析】本题考查了准确数与近似数，准确数是真实准确的数，而近似数就是与准确数接近的数，通过估计得到的数，据此逐项判断即得答案，掌握准确数与近似数的定义是解题的关键．【详解】解：、我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区，是准确的数据，故本选项符合题意；、一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个，数据太大，根本查不清，所以亿是近似数，故本选项不符合题意；故选：．【变式1】用四舍五入法按要求取近似值：（1）2.268（精确到百分位）；（2）9.403（精确到个位）；（3）8.965（精确到0.1）．【分析】本题考查了近似数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可．（2）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可．（3）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可．故答案为：2.27（2）9.403（精确到个位）；故答案为：9【分析】先将1480.56亿精确到百亿位，再利用科学记数法表示即可求解．【变式3】用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数：(2)（精确到个位）；(4)（精确到千位）．【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键．（1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可．（2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可．（3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可．（4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可．题型十六有理数中规律计算问题解｜题｜技｜巧有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式：1【分析】本题考查了有理数的混合运算，（2）利用裂项相加法进行求解即可；（3）利用裂项相加法进行求解即可．故答案为：，；故答案为：；【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键．（1）仿照题中的例子进行求解即可；（2）仿照题中的例子进行求解即可；．【变式1】观察下列算式．按照上面的规律完成下列各题：(2)第五个算式为__________；【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意写出第五个算式即可；【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解．（1）观察可知：第二项与第一项之比为3；第三项与第二项之比为3；第四项与第三项之比为3；所以每一项与前一项之比是3，总结规律得到答案；（2）仿照题干中的求法解答即可．故答案为：3；；；【阅读理解】．【数学理解】（1）根据规律，第6个数是______，是第______个数．【拓展运用】【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算，有理数的乘法运算等知识．熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键．∴是第11个数；期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2526七年级上·全国·期中）粮食安全是“国之大者”，2024年《政府工作报告》明确将粮食产量1.3万亿斤以上作为发展主要预期目标之一，将1.3万亿用科学记数法表示为（

）【答案】B故选B．A． B．29 C． D．92【答案】A【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再结合加法法则计算，即可作答．故选：A．A．精确到十分位 B．精确到个位C．精确到百位 D．精确到百分位【答案】D【分析】本题考查了近似数的精确度判断，解题的关键是明确小数不同数位对应的精确位（十分位为小数点后第一位，百分位为小数点后第二位等）．故选：D．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算乘除，最后运算加法，即可作答．故答案为：6．（2425七年级上·江西赣州·期中）你会玩“24点”游戏吗？现有“，，6，10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）：．【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用“24点游戏”规则计算即可得到结果．7．（2425七年级上·内蒙古赤峰·期中）某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是元星期一二三四五每股涨跌（与前一天相比）【答案】【分析】本题考查了正数和负数的实际意义及有理数加法运算的应用，解题的关键是理解正数和负数所代表的实际意义．根据正负数的意义，列式计算即可．故答案为：．8．（2526七年级上·全国·期中）计算（能简算的要简算）：【分析】本题考查有理数的四则运算，根据有理数的四则运算法则计算即可：（1）根据有理数的加减法法则计算即可；（2）根据有理数的四则运算法则运算即可；（3）根据有理数的乘除法法则运算即可；（4）根据有理数的乘法法则运算即可．9．（2526七年级上·全国·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：(1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用，（1）根据有理数的加法计算，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得需油量，根据所需油量减去已有有油量，可得答案．【详解】（1）解：将行走记录相加：（2）总路程为各数绝对值之和：答：需要中途加油，应加．10．（2526七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减(1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．（1）根据题意列出算式，进行计算即可；（2）根据题意求出星期一到星期日这七天的产量，然后进行判断即可；（3）分别求出基础工资和奖励工资，然后相加，即可得出答案．【详解】（1）解：计划每天生产300辆，星期四超产辆，星期四：313辆（已求）；产量最多：星期六316辆；产量最少：星期五290辆，期中重难突破练（测试时间：10分钟）A．最大负整数 B．绝对值最小的有理数【答案】A【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数，熟练掌握乘方法则是解题关键．先根据有理数的乘方法则求出结果，再根据负整数的定义即可得．故选：A．A．9 B．1 C．9或 D．或1【答案】C【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论思想是解题的关键．先用相反数与绝对值求出x，y，再代入求值即可．故选：CA． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键．先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可．故选：A．【分析】本题主要考查的是有理数的加法运算，掌握加法法则是解题的关键．依据有理数的加法法则计算即可．故答案为：．15．（2425七年级上·湖南永州·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是．【答案】【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式．先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算．【详解】解：当输入的x为时，输入