天一大联考海南省2025-2026学年高三学业水平诊断（一）数学（含答案）

2025—2026学年高三学业水平诊断(一)

数学.答案

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.

1.答案C

命题透析本题考查集合的交、补运算.

解析由题意,得CRA={x|x≤0},所以(CRA)∩B={x|-1≤x≤0}.

2.答案C

命题透析本题考查复数的四则运算以及复数的模.

解析由于Z=+1=-i-1+1=-i,所以|Z|=1.

3.答案A

命题透析本题考查平面向量的线性运算.

—→——→—→——→—→

解析AB+2BO=AB+BD=AD.

4.答案B

命题透析本题考查不等式的解法.

解析由不等式可得x+1≠0,且==x-2>0,所以x>2.

5.答案D

命题透析本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式.

解析因为sin所以costanα=3,故tan

6.答案B

命题透析本题考查指数函数的性质,函数的定义域与值域.

2

解析由指数函数的性质知f(x)必是单调函数,又f(0)=0恒成立,所以f(4)=4,即a-1=4,所以a=\.

7.答案A

命题透析本题考查函数与方程,指数函数与对数函数的图象.

x111x

解析由题意知a,b,C分别是方程2=,lgx=,lnx=的正根,即函数y=2,y=lgx,y=lnx的图象与

xxx

y=的图象的交点的横坐标,作出相应图象,由图可知a<C<b.

—1—

8.答案B

命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.

解析由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),a>0,由条件可得f(x1)-f(x2)>(lna-1)(x1-x2),所以

x

f(x1)-(lna-1)x1>f(x2)-(lna-1)x2.设g=fx=e-xlnxx,

则g(x)在(0,+∞)上单调递增.求导得g/(x)=ex-lnx-(a-1)x-lna=(ex+x)-[ax+ln(ax)],则g/(x)≥0

在(0,+∞)上恒成立,所以ex+x≥ax+ln(ax),即ex+lnex≥ax+ln(ax)恒成立,易知y=x+lnx在(0,+∞)上

单调递增,故只需ex≥ax,即a在x>0时恒成立即可.设tx>0,则t/(x)=,可知t(x)在

(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则t(x)≥t(1)=e,所以a≤e,即a的最大值为e.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的

得0分.

9.答案ACD

命题透析本题考查平面向量的运算.

解析对于A,a.b=-m+6=5,得m=1,故A正确;

对于B,a=(1,3),b=(-1,2),显然a与b不共线,故B错误;

对于C,设a,b的夹角为则cos所以θ=45O,故C正确;

对于D,a-b=(2,1),所以b.(a-b)=0,所以b丄(a-b),故D正确.

10.答案AD

命题透析本题考查三角函数的图象与性质.

解析对于A,f(x)=sin2xcos2x=2sin所以f(x)的最小正周期为π,故A正确;

对于B,f(x)的最大值为2,故B错误;

对于C,当x时,2x所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故C错误;

对于D,f=2sin(2x+π)=-2sin2x,为奇函数,故D正确.

11.答案BCD

命题透析本题考查抽象函数的性质.

解析令x=y=0,得f(0)f(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0,所以f(0)=1或f(0)=0.

对于A,若f(0)=1,则对任意x∈R,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e0),左边=f(x)-f(x)=0,右边=1-ex,

矛盾,故A错误;

对于B,若f(0)=0,则对任意x∈R,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e0),可得f(x)=ex-1,经检验,符合题意,

易知f(x)在R上单调递增,故B正确;

—2—

对于C,f(x)=ex-1的值域为(-1,+∞),只要g(x)满足定义域为(-1,+∞),值域为R即可,如g(x)=

ln(x+1),故C正确;

x()xxx

fxe-1-

对于D,令g(x)=e2,得==e2-e2,为奇函数,故D正确.

g(x)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.答案1

命题透析本题考查基本不等式的应用.

2

解析x+4y≥2\=4\,所以xy≤=1,当且仅当x=2,y=时等号成立.

13.答案

命题透析本题考查对数与指数的运算性质.

a-a

解析a=log2\=log43,所以4-4=3-=.

14.答案(-∞,-2)U(2,+∞)

命题透析本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数与不等式的性质.

32

解析设过点P的直线与f(x)的图象相切于点(x0,x0-2x0),则切线斜率k=f/(x0)=3x0-2,由切线过点

P(a,4),得k=,因此3x2-2整理得2xaxa+4=0.

-0

令g(x)=2x3-3ax2+2a+4,则g/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),原问题等价于g(x)有三个不同零点.

当a=0时,g/(x)=6x2≥0,g(x)单调递增,最多有1个零点,不符合题意.

当a>0时,g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,极大值为g(0)=

2a+4,极小值为g(a)=-a3+2a+4,要使g(x)有三个零点,需满足g(0)>0且g(a)<0,即

2a+4>0,

解得a>2.

{-a3+2a+4<0,

当a<0时,g(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,极小值为g(0)=

2a+4,极大值为g(a)=-a3+2a+4,要使g(x)有三个零点,需满足g(a)>0且g(0)<0,即

2a+4<0,

解得a<-2.

{-a3+2a+4>0,

综上,a的取值范围是(-∞,-2)U(2,+∞).

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题透析本题考查概率的计算,随机变量的分布列、期望与方差.

解析(1)甲进入复赛的概率为1-=.……………(5分)

(2)X的所有可能取值为0,1,2,

02

0

P(X=0)=C2=,

—3—

20

2

P(X=2)=C2=.……………(8分)

分布列如下:

X012

441

P

999

…………………(9分)

4412

所以E(X)=0×+1×+2×=,………………(11分)

9993

222

D(X)=(0-×+(1-×+(2-×=.………(13分)

另解:X~B,所以E(X)

16.命题透析本题考查正弦定理、余弦定理与三角恒等变换的应用.

解析(1)由条件及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,………………(2分)

又A+B+C=π,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,

所以sinA=2sinAcosA,……………………(4分)

又因为A∈(0,π),所以sinA≠0,cosA=,故A=.…………………(6分)

(2)由余弦定理得a2=b2+C2-bC,…………(8分)

2

将a=2\,b=2C代入,得3C=12,所以C=2,b=4.……………………(10分)

由S△ABC=S△ABD+S△ACD,

1π1π1π

得×4×2sin=×4×ADsin+×2×ADsin,

232626

解得AD………………(15分)

另解:求得b,C后,观察可知△ABC是特殊的直角三角形,用特殊角计算可得AD.

17.命题透析本题考查线面垂直的证明,利用空间向量计算空间角.

解析(1)如图,连接BE.

」ABCD,E为CD的中点,:AB=DE,

又」ABⅡDE且AB=AD,:四边形ABED为菱形,AE丄BD.………………(2分)

:AE丄OB,AE丄OP,又OB∩OP=O,:AE丄平面POB.…………………(4分)

与四边形ABED为菱形同理,可知四边形ABCE为菱形,

:AEⅡBC,:BC丄平面POB.………………(6分)

(2)由(1)可知△DAE即△PAE是边长为2的等边三角形,又PO丄平面ABCE,所以OA,OB,OP两两互相垂

—4—

直,以O为坐标原点,以OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,……………(7分)

则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,\,0),C(-2,\,0),P(0,0,\),

———

:=(1,0,-\),=(0,\,-\),=(-2,\,-\).…………(9分)

设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),

则取m……………(11分)

设平面PBC的法向量为n=(a,b,C),

C=0,

则取n(13分)

m.n210

:cos〈m,n〉===\,

|m|.|n|\5×\25

2

故二面角A-PB-C的正弦值为=\.………………(15分)

\5

18.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质,椭圆与直线的位置关系.

解析(1)设C的半焦距为C(C>0).

由椭圆的定义可知2a=4,所以a=2.

又e,得C=1,所以b2=a2-C2=3,

故C的方程为…………………(4分)

(2)(i)由C的方程可得F(1,0),设l:x=my+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),D(4,y1).

将C与l的方程联立可得(3m2+4)y2+6my-9=0,

所以y1+yy1y…………………(6分)

直线BD:y+y1,令x可得y(8分)

其中,分子=3y2+5y1-2y1(my2+1)=3(y1+y2)-2my1y2==0,

—5—

所以直线BD恒过点,0).………………(11分)

(i)设E,0),

则S△OBDOE||y1-y…………………(14分)

2

记t=m+1,则t∈[1,+∞),S△OBD

设f(t)=\,则f/(t)=,当t∈[1,+∞)时,f/(t)<0,f(t)单调递减,

3t1

所以f(t)max=f(1)=,故△OBD的面积的最大值为.………………(17分)

19.命题透析本题考查函数与导数的综合应用.

解析(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),f/

令f/(x)=0,得x=e,………………………(3分)

故当0<x<e时,f/(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f/(x)<0,f(x)单调递减.………(5分)

(2)由(1)可知,f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.

若2m>\2e,则f(2m)<f(\2