人教版九年级下册数学全册课时练习

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

基础题

知识点1在实际问题中建立反比例函数模型

1.如果直角三角形的面枳一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是0

A.两条直角边成正匕例

B.两条直角边成反匕例

C.一条直角边与斜边成正比例

D.一条直角边与斜边成反比例

2.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R.下面说法

正确的是0

A.P为定值，I与R成反比例

B.P为定值，I?与R成反比例

C.P为定值，I与R成正比例

D.P为定值，R与R成正比例

3.小华以每分钟x个字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为。

300-x

C.y=3OO—xD.

4.当某三角形一条边的长度为3时，这条边上的高为4,若这个三角形的面积不变，则这

条边的长度y关于这条边上的高x的困数关系式为.

知识点2反比例函数的定义

5.在函数那E自变量X的取值范围是0

A.x#OB.x>0

C.x<0D.一切实数

6.下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是0

CTD

7.若函数y=x2m+i为反匕例函数，则m的值是0

A.lB.0(D.—1

8.反比例函数拜嵯中常数k为。

A.—3B.2C.一；D.

9.卜冽函数：®y=2x—1;②丫=-&y=x2+8x-2;产+遨缪力»y

是x的反比例函数的有.(填序号)

知识点3确定反比例函数的解析式

10.(崇左中考)若反比例函数罗举的图象经过点(2,-6),则k的值为()

尊

A.—12B.I2C—3.D.3

11.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25

m,则y弓x的函数关系式为0

A400I100I

A.y=­BD.挈：七C.y=-D.y=——

7x3傲x7400x

12.(梧州中考)已知反比例函数蜀等过点(1,5),则k的值是.

13.计划修建铁路1200km,试写出铺*九天数y(d)与每天铺轨量x(km/d)之间的函数关系式，

并判断该函数是否是反比例函数.

中档题

14.已知y与x-1成反比例，那么它的解析式为(

A.y=——l(k^0)E.y=k(x-l)(k/O)

X

c.y=^77T<k^01B

15.下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是(

A.正方形的面积S与边长a的关系

B.正方形的周长L与边长a的关系

C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系

D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系

16.(株洲中考)已知反比例函数缪碑的图象过点(2,3),那么下列四个点中，也在这个函数

上的是()

A.(一6,1)B.(1,6)

C.(2,-3)D.(3—2)

17.列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数.

(1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数yi人)与平均每人占有粮食量x(t)的函

数关系式；

(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始

随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式；

(3)小明完成100m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式

18.(汕尾中考)已知反比例函数皴口写的图象经过点M(2.1).

(1)求该函数的表达式：

(2)当2<x<4时，求y的取值范围(直接写出结果).

19.己知函数y=(5m.3)x£n+(n+m).

(1)当m,n为何值时，为一次函数？

(2)当m,n为何值时，为正比例函数？

(3)当m,n为何值时，为反比例函数？

综合题

20.(丽水中考)如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD,其

中一边AB靠墙，墙长为12m.设AD的长为xm,DC的长为ym.

(1)求y与x之间的函数关系式：

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

基础题

知识点1反比例函数的图象和性质

1.已知反比例函数沪三邯J图象过点P（l,3）,则该反比例函数图象位于0

黑

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

2.（邵阳中考）已知点（1,1）在反比例函数为常数，导0）的图象上，则这个反比例函

数的大致图象是0

AD

3.（来宾中考）已知矩形的面积为10,长和宽分别为x和,则y关于X的函数图象大概是0

4.在反比例函数:20—图象的每•支曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以

然

是0

A.OB.lC.2D.3

5.（钦州中考）对于函数yig下列说法错误的是（

A.这个函数的图象位于第一、三象限

B.这个函数的图象既是轴对称图形乂是中心对称图形

C.当x>0时，y随x的增大而增大

D.当x<0时，y随x的增大而减小

6.已知反比例函数产口的图象如图所示，贝柄的取值范围是

政

知识点2反比例函数j=；（A<①的图象和性质

7.下列图象中是反比例函数y=?的图象的是()

8.(兰州中考)当x>0时，函数尸一矗的图象在0

A.第四象限B.第三象限

C.第二象限D.第一象限

9.(遵义中考)已知点A(・2,yi),B(3,yz)是反比例函数y2(kVOj图象上的两点，则有

X

0

A.yi<0<y2B.y2<0<yi

C.yi<y2<0D.y2<yi<0

10.(衢州中考)若函数y二W二的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大

而增大，则m的取值范围是0

A.m<-2B.m<0

C.m>—2D.m>0

11.己知点A(-42m)是反比例函数k量图象上的一点，则m的值为______.

&

中档题

12.(天津中考)已知反比例函数‘型」当i<x<2时，y的取值范围是0

龙

A.0<y<5B.l<y<2

C.5<y<10D.y>10

13.已知两点Pi(xi,yi)、P2(x2»2)在反比例函数贽4的图象上，当Xi>x2>0时，

<yi

<o,则。

A.k>0B.k<0

C.k>0D.k<0

14.下面关于反比例函数产t与了三号的说法中，不正确的是0

A.其中一个函数的图象可由另一个.函数的图象沿x轴或y轴翻折“复印”得到

B.它们的图象都是轴对称图形

C.它们的图象都是中心对称图形

D.当x〉0时，两个函数的函数值都随自变量的增大而增大

15.(安顺中考)如果点A(-2,y】),B(-l,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=\k>0)的

图象

上，那么yi,y2,丫3的大小关系是0

A.yi<y3<y2B.y2<yi<y3

C.yi<y2<y3D.y3<y2<yi

16.如图所示，反比例函数鬻的图象经过点A(2,3).

(1)求这个函数的表达式;

(2)请你判断，B(l,6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

17.如图，已知反比例函数岁中封)的图象经过点A1—2,8).

(I)求这个反比例困数的解析式;

(2)若(2,力)，(4-2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y,y2的大小，并说

明理由.

综合题

|—2m

18.(威海中考改编)已知反比例函数y=—^Hm为常数)的图象在第一、三象限.

(1)求m的取值范围；

(2)如图，若该反比例函数的图象经过AB0D的顶点D,点A、B的坐标分别为(0,

3),(-2,0).求出函数解析式；

⑶若Eg),F(X2M)都在该反比例函数的图象上,且Xi>X2>0,那么九和y?

有怎

样的大小关系？

参考答案

l.B2.C3.C4.A5.C6.m<17.C8.A9.B10A11.4^212.C13.B14.D15.B

16.(1)•・•反比例函数7的图象经过点A(2,3),

故所求函数的表达式为

(2)点B(l,6)在这个反比例函数的图象上，理由：把x=l代a湾.得y=6,

所以点B(1.6)在反比例函数岁=£的图象上.

I7.(l)y=-p

(2)yi<y2.理由：・・・k=-16v0,在每一象限内，函数值y随x的增大而增大，而点(2,%),

(4,y2)都在第四象限，且2<4,

•*«yi<yz.

18.(1)根据题意得解得酸屋

.(2)・・•四边形ABOD为平行四边形，

・•・AD//0B,AD=0B=2,A点坐标为(0,3),

・・・D点坐标为(2,3),

1—2m=2x3=6

，反比例函数解析式为鬻=图

.（3）VXi>x2>0,

・・・E,F两点都在第一象限，即丫随x的增大而减小,

•*«yi<y2.

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用

基础题

知识点1反比例函数中k的几何意义

1.（宜昌中考）如图，点B在反比例函数y=jx>0用勺图象上，过B分别向x轴，y轴作垂

线，垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为0

2.轴，

ACLy轴，垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为4,则1<=.

4-

3.如图，已知点A在反比例函数图象上，AMlx轴于点M,且△AOM的面积为1,则反

比例函数的解析式为.

4.（北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2,写出一个函.数

y=?kWO）使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为

5.（滨州中考）如图，菱形OABC的顶点0是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的

长分别是6和4,反比例函数y=^xV0）的图象经过点C,则k的值为

6.（永州中考）两个反比例函数旷T和第一象限内的图象分别是G和C2,如图，设

点P在C,上，过P作X轴的垂线交X轴于点A,交C,于点B,则APOB的面积为

知识点2函数的综合运用

7.（益阳中考）正比例函数y=6x的图象与反比例函硼脚上的交点位于0

A.第一象限B.第二象限

C.笫二象限。D.第一、二象限

8.（沈阳中考）在同一平面直角坐标系中，函数尸xT与函数梦/的图象可能是0

9.（昆明中考）左下图是反比例函数y=5（k为常数，kM）的图象，则一次函数y=kx—k的

图象大致是0

10.若双曲线著兰与直线产2x+l的一个交点的横坐标为一1,则k的值为0

蜜

A.—1B.1

C.—2D.2

11.（六盘水中考）如图，一次函数kkx+bkwo）的图象与反比例函数y产前内）的图

象交于A,B两点，观察图象，当yi>y?时，x的取值范围是

中档题

12.(湘潭中考)如图，A、B两点在双曲线犷4上分别过A、B两点向坐标轴作垂线段,

已知S阴=1,则Si+S2=(

A.3B.4C.5D.6

13.(贺州中考)已知心<0@2,则函数y=&和y=kzxT的图象大概是()

ABcD

14.(黔东南中考)如图，正比例函数y=x与反比例函数y召的图象相交于A、B两点，BC

塞

_Lx轴于点C,则AABC的面积为()

A.lB.2

15.(玉林中考)如图，反比例函数犷老的图象经过二次函数y=axKbx图象的顶点同一%

m)(m>0),则有()

A.a=b+2kB.a=b—2k

C.k<b<0D.a<k<0

16.(桂林中考)如图，以ABCO的顶点0为原点，边0C所在直线为x轴，建立平面直

角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2,4）、（3,0）.过点A的反比例函数产自的图象交

BC于D,连接AD,则三边形AOCD的面积是

综合题

17.（四川中考）如图，一次函数y=kx+b（k卢0）的图象过点现一去0），且与反比例函数y

十触。）的图象相交于点A（-2,l）和点B

（1）求•次函数和反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范用内取值时，一次函数的函数值小

于反比例函数的函数值？

参考答案

1.B2.-43.y=-W4.y=T.-66.17.D8.C9.B10.B

XX

ll.-l<x<0或x>212.D13.C14.A15.D16.9

17.(1)反比例函数的解析式为43

由图象可知，当•DvxvO或☆号时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.

26.1.3反比例函数的图象和性质

基础训练

知识点1反比例函数图象的性质

1.对于反比例函数崂下列说法正确的是()

A.图象经过点(1,-3)

B.图象在第二、四象限

C.x>0时，y随x的增大而增大

D.x〈0时，y随x的增大而减小

2.已知函数式的图象如图所示，以下结论：①水0;②在每个分支上y

认

随X的增大而增大；③若点八(-1,@)1(24)在图象上，则水加@若点

P(x,y)在图象上，则点Pi(-x,-y)也在图象上.其中正确的有()

知识点2反比例函数的函数值的大小比较

3.若点Pi(xi,yi),P2(x2,y2)在反比例函数y-(k>0)的图象上，且

X

Xi=-X2，则()

A.yi<yzB.yi=y2

C.yi>y2D.yi=-y2

4.已知A(T,y3B(2,yD两点在双曲线v二三网上，且％土，则m的

X

取

值范围是()

A.m<0B.m>OC.m>-I).m<--

22

5.已知点A(l,yi),B(2,y2),C(-3,y3)都在反比例函数的图象上，

%

则

yi,yz,y3的大小关系是()

A.y3<yi<y2Ry1<y2<ys

C.y2<yi<y3D%<y2<yi

6.已知点A(l,y[)，B(-2,y?)在反比例函数y上(k〉0)的图象上，则

X

viy,(填或“二").

知识点3反比例函数的比例系数k的几何意义

7.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平

行于坐标轴，A点的坐标为(a,a).如图，若曲线y3(x〉0：与此正方形的

X

边有交点，则a的取值范围是.

8.如图，点B在反比例函数y*(x>0)的图象上，横坐标为1,过B分别

X

向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为()

10.反比例函数H的图象上有A(-2,y),B(-l,y2),c(l,y)三点,

发

则Yi,Yz,y3的大小关系为.

提升训练

考查角度1利用反比例函数的性质求出函数解析式

11.反比例函数y=(3m4)xi或2的图象在所在的每一个象限内，y随x

的增大而增大.求该反比例函数的解析式.

考查角度2利用反匕例函数图象的性质判断比例系数的符号

.设点A(xi,yi)和B(x2,y2)是反比例函费二W图象上的两个点，当

数与

Xi<x2<0时，Yi<y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过第几象限?

考查角度3利用反比例函数的图象说明反比例函数的变化规律

13.在同一直角坐标系中回出反比例函数界一和咨的图象，回答下面

的问题：

(1)每个函数图象分别位于哪些象限？

⑵在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？

⑶对于反比例函数期空和yi(k〈O),考虑问题⑴(2),你能得出同样

tX!X

的结论吗？

考查角度4利用反比例函数图象和性质求比例系数和比较自变量的

大小

14.已知反比例函数y±l(k为常数,VI).

X

(1)其图象与正比例函数产X的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标

是2,求k的值；

⑵若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围：

(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点

A(xi,yi),B(X2,y2),当yi>yz时，试比较x1与x2的大小.

15.如图，M为反比例函数翳空.的图象上的一点，MA垂直于y轴，垂足为

欢

A,△MAO的面积为2,贝Ijk的值为.

16.如图，点A是反比例函数茨丹的图象上一点，过点A作ABJ_x轴，垂

发

足为B,线段AB交反比例函数0的图象于点C,则4OAC的面积为.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数尸kx+b的图象与反比例

函数蓼十的图象交于A(2,3),B(-3,n)两点.

⑴求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若P是y轴上一点，且满足4PAB的面积是5,直接写出OP的长.

探究培优

拔尖角度1反比例函数与一次函数、一元二次方程、一元一次不等

式、几何的综合应用

18.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数尸kx+1的图象与反比

例函数ye|的图象在第一象限相交于点A,过点A分别作x轴、y轴的

x

垂线，垂足为点B,C,如果四边形OBAC是正方形，试求：

(1)一次函数的关系式；

(2)直接写出：①一元二次方程kx2+x-9=0的正根；②不等式

kx+lT(x>0)的解集.

X

拔尖角度2儿种函数与新定义问题的综合探究

19.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为

“梦之点”.例如点(T,T),(0,0),(V2,V2),……都是“梦之点”.

显然，这样的“梦之点”有无数个.

(1)若点P(2,m)是反比例函数售n为常数，n#0)的图象上的“梦之

点”，求这个反比例函数的解析式；

(2)函数y=3kx+s-l(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,

请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

参考答案

1.【答案】D

解：・・・k=3>0,・••反比例函数誓上的图象位于第一、三象限，且在每个象

戚

限内y都随x的增大而减小.故选D.

2.【答案】B

解：由题图知，函数图象在第二、四象限，则成0,在每个分支上y随x

的增大而增大，故①②正确；点A(T,a)、点B(2,b)在图象上，则

a>0,b<0,.\a>b,故③错误；点P(x,y)在图象上，则xy=m,又因为

(-x)«(-y)=xy=m,所以点Pi(-x,・y)也在图象上，故④正确.综上

所述，①?)④正确，故选B.

3.【答案】D

4.【答案】D解：当x=l时，yi=3・2m;当x=2时，y,且些巴.由

2

yi>y2得一3・2m》等,解得m<-|,故选D.

5.【答案】D

解：解法一(求值法)：把x=l,x=2,x=-3分别代入2,得

球

y»=^=6,y2=3,y3=-2,/.y3<y2<yi,故选D.

解法二(图象法)：作出函数冷的简图，并在图象上确定A,B,C的位置,

如图,观察图象，易知y3〈y2<yi,故选D.

解法三(性质法)：・・・”6>0,・・・函数图象在第一、三象限，

VA(l,yi),B(2,y2),C(-3,y3),；.A,B在第一象限，C在第三象限，

/.y3最小，又•・•在每个象限中，y随x的增大而减小，且1<2,

•*-yi>yz,・'・丫3<y2<yi.故

选D.6.【答案】>

解：・・・k>0,・••反比例函数M的图象在第一、三象限.・・・1>0,・••点A

在第一象限，，yi>0.V-2<0,

工点B在第三象限，・・・y2Vo.・・・外沟2.

7.【答案】J341WV3+1

8.【答案】B

解：解法一：・・•点B的横坐标为1,・••点B的纵坐标为2,则有0A=l,AB=2,

可得矩形0ABC的面积=2.

解法二：利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积等于k,得

k=xy=2,.\矩形0ABC的面积二|k|=2.故选B.

9.【答案】C

解：由k的几何意义，得SF2X1=3,SB=2X9,工4义1乂6:3对于选

项C,过M向y轴作垂线段，再分别过M,N向x轴作垂线段，可求出

S(=3+1x(1+3)X(3-1)-3=4.故选C.

10.错解：%>y2>y3

诊断：反比例函数的增减性要依据不同象限进行区分，再比较大小，本

题忽略了A,B,C三点不在同一象限内而直接比较.

正解：丫3>yi>y2

11.解：：反比例函数y=（3m4）xr*2的图象在所在的每一个象限内，y

随x的增大而增大，

m2-2=-1,（m=±1,

：.{解得，,I

3m.l<0,

・・・ni=T,,,・该反比例函数的解析式为产塾

12.解：对于反比例函数弊§因为当xi<X2<0时，y1y2,所以在同一个象

限内，y随x的增大而增大，所以k<0,所以一次函数y=-2x+k的图象与

y轴交于负半轴，其图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限

13.解：图象略.（1）函数六J的图象位于第二、四象限，函数垮的图

象位于第一、三象限；（2）对于尸印在每一个象限内，y随着x的港大

而增大；对PrA在每一个象限内，y随着x的增大而减小；（3）能得到

X

同样的结论.

14.解：（1）由题意，设点P的坐标为（m,2）.

・・,点P在正比例函数尸x的图象上，

・・・2=m，即m=2.・・・点P的坐标为（2,2）.

・・,点P在反比例函数若的图象上,

j金^9解得k=5.

（2）・・,在反比例函数审勺图象的每一支上，y随x的增大而减小,

Ak-l>0,解得k>l.

(3)・・,反比例函数沪看的图象的一支位于第二象限，

・・・在该函数图象的每一支上y随x的增大而增大.

♦・•点A(xi,yi)与点B(X2,y2)在该函数的图象的第二象限上，且

yi>丫2,所以xi>x2.

15.【答案】4

解：的面积为2,・,・k|=4,.・.k二±4.又・.•反比例函数的图象的

一支在第一象限，k>0,/.k=4.

16.【答案】2

17.解：⑴・・,反比例函数圻?的图象经过点A(2,3),

m=6.

・・・反比例函数的解析式是玲

・・•点B(-3,n)在反比例函数y空的图象上,

:.B(-3,-2).

,/一次函数y=kx+b的图象经过A(2,3),B(-3,-2)两点,

，

2k+b=3,解得琮:

-3fc+b=-2

・・・一次函数的解析式是y=x+l.

(2)OP的长为3或1.

18.解：(1)设点A的坐标为(m,n)「・,点A在第一象限，

Am>0,n>0.V四边形OBAC是正方形，J0B二AB,即m=n.又

:n=-,・・.m=n=3,即点A的坐标为⑶3).把点A(3,3)的坐标代入

m

y=kx+1，得3=3k+1:婕

・・・一次函数的关系式为y[x+L

(2)①x=3;②0<x<3.

19.解：⑴・・,点P(2,m)是“梦之点”，・・・m=2,・・・P(2,2).

将点P(2,2)的坐标代入软片中，得n=4,「・环

(2)假设函数y=3kx+s・l的图象上存在“梦之点”，

设该“梦之点”为(a,a),代入y=3kx+sT得a=3ka+sT,

/.(l-3k)a=s-l.

①当l-3k=0,s=l,即k=1,s=l时，尸x,此时直线上所有点都是“梦之

八占、、，，，•

②当l-3k=0,sWl时，此方程无解，故此时不存在“梦之点”；

③当l—3kW0时，，a*，则“梦之点为

1-3〃

26.1.4反比例函数的图象和性质的综合应用

基础训练

知识点1几何图形的面积与反比例函数解析式的关系

1.如图，已知A点是反比例函数泸§(厚0,x>0)的图象上一点，AB±x

轴于B,且aABO的面积为5,则k的值为

2.如图，菱形OABC的顶点0是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角

线的长分别是6和4,反比例函数y4（x<o）的图象经过点C,则k的值

为.”

3.如图，点B在反比例函数yW（x>0）的图象上，过B分别向x轴，y轴

X

作垂线，垂足分别为A,c,则矩形OABC的面积为（）

C.3D.4

4.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3,4）,顶点A在x轴的正半轴上.

反比例函数y上（x〉0）的图象经过顶点B,则k的值为（）

Y

A.12B.2O

C.24D.32

5.如图，A,B两点在双曲线智星上，分别经过A,B两点向坐标轴作垂线

段，已知S阴影=1,则Si+S2X)

A.3B.4

C.5D.6

知识点2反比例函数图象和性质的综合应用

6.下列关于反比例函数号的三个结论：①它的图象经过点(7,3);②

它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在第二、

四象限内，其中正确的是.

7.如图，一次函数％=kix+b的图象和反比例函数H的图象交于

A(l,2),B(-2,-l)两点,若yi<y2,则x的取值范围是()

A.x<lB.x<-2

C.-2<x<0或x>lD.x<-2或0<x<l

8.函数的自变量x满足时，函数值y满足W1,则这个函数

24

可以是()

A晦B.汽

c-嗯口号

9.直线y=kx(k>0)与双曲线谬交于A,B两点，若A,B两点的坐标分别

&

为A(xi,yi),B(X2,y2),则xxy2+X2yi的值为()

A.-8B.4C.-4D.O

10.若反比例函数冷与一次函数y=x+3的图象有交点，则01的值不可

以是()

A.-3B.-1

C.lD.2

11.如图,已知点A在反比例函数图象上，AMJ_x轴于点M,且△AOM的

面积为1,则反比例函数的解析式为.

提升训练

考查角度1利用点的坐标与解析式的关系求坐标与解析式

12.已知反比例函数正始和一次函数y=mx-l的图象交于点

雷

A(-l,l),B(n,-2),且一次函数图象交x轴于点C,如图所示.

求：(1)这两个函数的解析式；

(2)这两个函数图象的另一个交点B的坐标;

(3)Z\A0B的面积.

考查角度2利用反比例函数的图象求面积(数形结合思想、方程思

想)

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+n与x轴、y轴分别交

于点A,B,与双曲线在第一象限内交于点C(l,m).

(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线1,分别与直线AB和双

曲线罗g交于点P,Q,求4APQ的面积.

考查角度3利用反比例函数的图象和性质解与几何相关的问题(数

形结合思想)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数初皆的图象上一

置

点，AB±x轴的正半轴于点B,点C是0B的中点；一次函数丫2=ax+b的

图象经过A,C两点，并交y轴于点D(0,・2),若Sz^Ao()=4.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵观察图象，请指出在y轴的右侧，当力＞丫2时.，x的取值范围.

15.如图，一次函数尸-x+4的图象与反比例函数《(k为常数，且kWO)

的图象交于A(l,a),B两点.

(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；

⑵在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标

及4PAB的面积.

16.如图，直线厂mx与双曲线售相交于A,B两点，A点的坐标为(1,2).

⑴求反比例函数的解析式；

⑵根据图象直接写出当mx>”时，x的取值范围；

X

(3)计算线段AB的长.

17.如图，一次函数丫=1^+5(1<为常数，且kHO)的图象与反比例函数

y二4的图象交于A(-2,b),B两点.

X

(1)求一次函数的解析式；

(2)若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象

有且只有一个公共点，求m的值.

参考答案

1.【答案】102.【答案】-63•【答案】C

4.【答案】D5,【答案】D

6.【答案】①②7,【答案】D8.【答案】A

9.【答案】C10.[A

IL【答案】y=3

X

解：函数图象往往蕴涵若干重要条件，这一点容易被忽略.本题由给出

的图象可知反比例函数的比例系数k小于0.

12.解：⑴把点A(T,1)的坐标分别代入反比例函数^^和一次函数

y=mx-1中，得1挈9解得kh2,m=2.

城'5

所以这两个函数的解析式分别为涔鼻和y=2x-L

(2)将点B(n「2)的坐标代入此得遨胃,所以[吟，所以另一个交点B

的坐标为

⑶由一次函数y=-2x7的图象交x轴于点C,得点C的坐标为(彳,0)

所以SZ\AOB=SAAoc+S4BOC

=-X1X-把斗2俨柠

2

13.fi?：⑴把(1,m)代入¥胃中，得肉吟解得m4

点C的坐标为(1,4).

把（1,4）代入y=2x+n,得4=2X1+n,解得n=2.

⑵对于y=2x+2,令x=3,则y=2X3+2=8,

・••点P的坐标为(3,8).

令y=0,则2x+2=0,BPx=-1,

「.点A的坐标为(T,0).

对于¥号令x=3,则鸿)

・••点Q的坐标为(3,；)

/.△APQ的面积mAD,PQ=x(3+1)x(8—)=?

分析：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解

析式，解答这类题通常运用方程思想.

14.解：⑴过A点作AE1y轴于点E.

,•'△AOEMQg/lODAENAE=4.

2

・・・AB10B,点C为0B的中点，

・・・ZDOC=ZABC=90°,OC=BC.

又,「NOCn/BGA,

・・・RADOCgRtAABC.

AAB=OD=2,:A(4,2).

将A(4,2)的坐标代入餐荐中，得k=8.

*智

8

,yq

将A(4,2)禾口I)(0,-2)的坐标分别代入yZ=ax+b中，

(4Q十。=/,ra=1,

得小2解得

b=-2.

/.y2=x-2.

⑵观察图象可得，在y轴的右侧，当脚平时，0<x<4.

技巧解：这是T1数形结合问题，是几何图形结合反比例函数、一次

函数图象性质的综合题，解决此类题目的关键是抓住数与形之间的转

化特是点的坐标与线段长度间白摊化

15.解：⑴由已矢得，a=-1+4=3,k=1xa=1x3=3,

二反比例函数的解析式为对e

联立'解需或忆：：所以B(3,1)

⑵如图所示，作B点关于x轴的对称点，得到

连接AB'交x轴于点P',连接P'B,则有PA+PB=PA+PB'2AB',当P点

和P点重合时取等号.易得直线AB'的解析式为尸-2x+5.令y=0,

得瓣(P(|,0),即满足条件的点P的坐标为G，o).

设函数y=-x+4的图象交x轴于点C,则C(4Q),

-S-PAB=SAAPC*SiBPC=^xPCx(yA-yB)>即SWAB)X(4-；)X(3-1)二£

他分析：⑴将A(12)的坐标代入可求得反比例函数的解析式⑵

由直线y=mx与双曲线式的特点可知点A,B关于原点0对称，从而

可知BJ,・2),从而x的取值范围可得.⑶由点A的坐标求出线段0A

的长，利用AB=20A可求线段AB的长，或利用点A,B的坐标直接求线

段AB的长.

解:(1)揪(L2)的坐标代3：中,彳骅2.

二反比例函数的解析式为挎6

⑵-1vxvO或x>1.

⑶过点A作AC，x轴，垂足为点C.

VA(1,2),:AC=2,0C=1.

：.OA=^22+12=<5.

AAB=2OA=2^5.

17.解：⑴将A(-2,b)的坐标分别代入丫=6+5,丫三可得b二・2k+5,b!

・・・b=4崔等

一次函数的解析式为y=x+5.

(2)将直线AB向下平移m个单位长度后，直线为y=：x+5・m・联立

1猿(y=；x+5・m,1

yqx+5«m与鬻嗓得J)驾S，得—2+(5・m)x+8=0.

2

2宠(y=・j

:直线yWx+5・m与反比例函数涔^的图象有且只有一个公共点，

，A=(5・m)MxLx8=0解得m=1或m=9,

2

即m的值为1或9.

26.2.1建立反比例函数解实际问题

基础训练

知识点1在实际问题中建立反比例函数模型

1.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出

人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式：

2.某单位要建一个矩形草坪，已知它的长是y米，宽是x米，月.y与x

之间的函数关系式为y幽，当它的长为25米时，它的宽为.

X

3.小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函

数关系式为()

A.y理B.y=3OOx

X

C.x+y=3()()D.y网」

X

4.一定质量的干松木，当它的体积V=2m3时，它的密度p=0.5xl()3

kg/m3，则p与V的函数关系式是()

A.p=1000VB.p=V+1000

C500n1000

C・P=vD.p丁

5.用规格为50cmx50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块.如果改

用规格为acmxacm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a

之间的关系式为()

A150000n150000

C.y=150000a2D.y=150000a

知识点2实际问题中的函数的图象

6.拖拉机的油箱中有油40L,工作时间y(h)与工作时每小时的耗油量

x(L)之间的关系用图象大致可表示为()

ABCD

7.已知甲、乙两地的路程s（单位：km）是定值，汽车行驶的平均速度

v（单位：km/h）和行完全程所用的时间t（单位：h）的函数图象大致是

（）

8.在公式加4中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可

it

用图象大致表示为（）

9.如图，0是一根均匀木杆的中点,定点B处悬挂重物A,动点C处用一

个弹簧秤垂直下拉，使杠杆在水平位置平衡.在这个杠杆平衡实验中,

弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤作用点C离点0的距离x（单位：cm）

之间的函数关系的大致图象是（)

10.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个图案,

如图所示，设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若

1L某发电站的额定电压为1500万伏，设该地的电流为x,电阻为y,

则y与x之间的函数图象大致是()

提升训练

考查角度1利用反比例函数解行程问题

12.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50km/h的平均速度

从甲地出发，那么经过6h可到达乙地.

(1)甲、乙两地相距多少千米？

(2)如果汽车把速度提高到vkm/h,那么从甲地到乙地所用时间t将

怎样变化?

(3)写出t与v之间的函数解析式.

⑷因某种原因，这辆汽车需在5h内从甲地到达乙地，则此时汽车的

平均速度至少应是多少？

⑸已知汽车的平均速度最大可达80km/h.那么它从甲地到乙地最少

需要多长时间?

考查角度2利用反比例函数解工程问题

13.某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12小时可

以完成.

(1)设每小时加工x个零件，所需时间为y小时，写出y与x之间的函

数解析式，并画出函数图象；

(2)若要在一个工作日(8小时)内完成，每小时要比原来多加工几个？

考查角度3利用反比例函数解排水问题

14.如图是某一蓄水池每小时的排水量V(n?/h)与排完蓄水池中的水

所用的时间t(h)之间的函数关系图象.

(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量.

(2)写出此函数的解析式.

(3)如果要6h排完蓄水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

(4)如果每小时排水量是5000n?,那么蓄水池中的水需要多少小时排

完？

考查角度4利用反比例函数解利润问题

15.某超市出售一批休闲鞋，进价为80元/双，在日常销售中发现，该

休闲鞋的日销售量y(单位：双)是售价x(单位：元/双)的反比例函数，

且当售价为100元/双时，每日售出30双.

(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)若超市计划日销售利润为1400元，则售价应定为多少？

16.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培

一种在自然光照且温度为18C的条件下生长最快的新品种，如图是

某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(单位：C)随时间

x(单位：h)变化的函数图象，其中BC段是双曲线丹4k为常数，kM)

的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间有多久？

（2）求k的值;

⑶当x=16时，大棚内的温度为多少度？

17.某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利

工程，工程需要运送的土石方总量为360万米

⑴写出运输公司完成任务所需时间y（天）关于平均每天的工作量

x（万米3）的函数解析式，并给出自变量x的取值范围；

⑵由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000

米③，工期比原计划减少了24天，则原计划和实际平均每天运送土石方

各是多少万米3?

探究培优

拔尖角度利用分段函数解实际问题（方程思想、数形结合思想）

18.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工

厂2015年1月的利润为200万元.设2015年1月为第1个月，第x个

月的利润为y万元.由于排污超标，该厂决定从2015年1月底起适当

限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5

月，y与x成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该

厂每月的利润比前一个月增加20万元，如图.

(1)分别求该工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的

函数解析式.

(2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2015年1

月的水平？

(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期

共有几个月？

参考答案

1.【答案】叫

X

2.【答案】8米3.【答案】A4.【答案】D

5.【答案】A6.【答案】D

7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】A

10.【答案】A

11.错解：B

诊断：本题错在忽略了自变量的取值范围为x〉O,解此类题时，求出函

数的解析式后一定要联系实际确定自变量的取值范围.

正解：C

12.解:(l)50X6=300(km),即甲、乙两地相距300km.

(2)t将减小.

(3)t型(v>0).

V

(4)根据题意，得四<5,所以史60.故此时汽车的平均速度至少应是

V

60km/h.

(5)t盟二375(h),即这辆汽车从甲地到乙地最少需要3.75h.

80

方法总结：行程问题中的反比例函数关系：1川1间)当路程s

in球收，

一定时，速度V与时间t成反比例函数关系.

13.解:(1)需加工的零件数为30X12=360(个).

Ay与x之间的函数解析式为y理(x〉0),,函数图象如图.

X

L

(2)当y=8时,x=360-8=45,45-30=15(个).

・・・要在8小时内完成，每小时要比原来多加工15个.

方法总结：工程问题中的反比例函数关系：工作时间二黑整，当工作

L作效率

总量一定时，工作时间与工作效率成反比例函数关系.

14.解：(1)因为当蓄水量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成

反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为

4000x12=48000(m3).

⑵因为此函数为反比例函数，

所以解析式为V)理(t>0).

t

(3)如果要6h排完蓄水池中的水，那么每小时的排水量为

理1=8000(m)

⑷如果每小时排水量是5000m3,那么排完蓄水池中的水所需时间为

48000

匚9.6(h).

5000

技巧解：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象，从中收集

并整理相关信息，用以解决所求问题.

15.解：⑴设T(kWO)

X9

由题意，得30=工，

inn

解得k=3000,

所以函数解析式为y等(x>0).

(2)令(x-80)・y=1400,

即|J(x-80)•幽:1400,解得x=150,

X

故售价应定为150元/双.

分析：解决反比例函数应用题的关键是确定反比例函数的解析式，再

利用方程、不等式的知识，并结合函数的图象和性质解决问题.

16.解：(1)12-2=10(h),即恒温系统在这天保持大棚内温度为18°。的

时间为10h.

(2)把点B的坐标(12,18)代入芦，得18s解得k=216.

庭12

(3)由⑵得当后12时，v①.把x=16代入，得y卫313.5,

r16

即当x=16时，大棚内的温度为13.