2.2 简谐运动的描述【三大必考点+五大秒杀招+五大题型+分层训练】（解析版）

.2简谐运动的描述【三大必考点+五大秒杀招+五大题型+分层训练】课前预习课前预习+知识精讲知识点01简谐运动的物理量1.简谐运动的物理量(1)振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量．(2)振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振子完成一次全振动所用的时间总是相同的．(3)做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用字母T表示．其物理意义是表示物体振动的快慢．(4)单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母f表示；其单位是赫兹，符号是Hz.(5)周期与频率的关系是T＝1/f.频率的大小表示振动的快慢．(6)用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当t＝0时的相位称做初相位，用字母φ表示．2．对振幅的理解(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅．在国际单位制中，振幅的单位是米(m)．(2)振幅是标量，只有大小，没有方向，是用来表示振动强弱的物理量．(3)同一振动系统，系统的能量仅由振幅决定，振动越强，振幅就越大，振动能量也越多．(4)振幅与位移、路程的区别①振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；而位移是由平衡位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是运动路径的总长度，是标量．一个周期内的路程为振幅的四倍，半个周期内的路程为振幅的两倍．②当物体做简谐运动时，振幅是定值；位移的大小和方向时刻都在变化；路程则会持续不断地增加．3．对周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq\f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢．(2)振动周期、频率由振动系统决定，与振幅无关．(3)全振动次数N与周期T和振动时间t的关系为N＝eq\f(t,T).知识点02简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝eq\f(2π,T)＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.知识点03对全振动的理解1．全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。2．注意把握全振动的四个特征(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．(1)时间特征：历时一个周期．(1)路程特征：振幅的四倍．(1)相位特征：增加2π.解题大招解题大招大招01振动易错点(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A.(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅．(3)振动物体在eq\f(T,4)内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，eq\f(T,4)内通过的路程才等于一倍振幅．大招02简谐运动的表达式总结(1)为了写出简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝eq\f(2π,T)＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要画出其振动图象来解决问题．(2)在给定振动图象条件下，可由图象直接读出振幅A、初相φ0及周期T，从而写出位移与时间的关系式x＝Asin(ωt＋φ0)．大招03简谐运动的表达式易错点(1)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：x＝Acos[eq\f(π,2)－(ωt＋φ)]，注意：同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位是随时间变化的一个变量。(2)比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，否则就会出错。大招04对全振动的理解解答这类题目的关键是理解简谐运动的对称性和周期性。在振子运动的一个周期内，振子往复通过同一点时，速度大小相等、方向相反；通过关于平衡位置对称的两点时，速度大小相等、方向相同或相反；往复通过同一段距离或通过关于平衡位置对称的两段距离时所用时间相等。大招05多解问题的原因1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．题型分类题型分类题型01简谐运动的振幅、周期、频率【例1】如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5s，则下列说法正确的是（）A．振幅是10cm B．振动周期是1sC．经过一次全振动，振子通过的路程是10cm D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm【答案】D【解析】A．弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，则振幅为故A错误；B．振子从B第一次运动到O的时间是0.5s，则解得故B错误；C．经过一次全振动，振子通过的路程是故C错误；D．从B开始经过3s，即振子通过的路程是故D正确。故选D。【变式1-1】劲度系数为k的轻弹簧与质量为m的小球组成弹簧振子，第一次在光滑水平面内用力把弹簧压缩后静止释放让它振动，第二次将弹簧竖直悬挂，将其竖直下拉使弹簧伸长后静止释放让它振动，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则水平和竖直振动的周期之比和振幅之比分别为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】A．弹簧的固有周期由弹簧自身决定，与振幅无关，即可知水平和竖直振动的周期之比为，振幅等于小球相对于平衡位置位移的最大值，水平振动时的振幅为竖直振动时的振幅为可知水平和竖直振动的振幅之比为。故选A。【变式1-2】有一个弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。求：振子的振幅和周期。【答案】10cm，0.2s【解析】振子的振幅周期题型02简谐运动路程和位移的求解【例2】一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是（）A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同B．经过，质点的路程等于C．经过，质点的路程不可能大于AD．经过时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等【答案】B【解析】A．根据振动的周期性可知，经过半个周期后，质点速度方向一定与开始时速度的方向相反，故A错误；B．根据振动的周期性可知，经过半个周期质点的路程等于2A，故B正确；C．质点在平衡位置附近的速度较大，而在最大位移附近的速度较小，所以若质点从P点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在内的路程要大于A；若质点从P点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点子在内的路程要小于A，故C错误；D．若质点开始时向平衡位置运动，经过时，若质点到达与P对称的位置，则质点的瞬时速度与经过P时的瞬时速度是相等的，故D错误。故选B。【变式2-1】质点在水平弹簧作用下做简谐运动，O点为平衡位置，取向右为正方向。质点在水平方向先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm。则下列说法正确的是（）A．质点的振动周期为4s，振幅为4cmB．质点在M点和N点时，动能相同，系统弹性势能也相同C．质点在MO之间时，偏离平衡位置的位移是负值，加速度为负值D．质点的回复力与位移大小成正比，方向可能相同【答案】B【解析】A．简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间，因过N点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间，因此，质点振动的周期是这2s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅故A错误；B．M、N两点关于平衡位置O点对称，质点在M点和N点时，动能相同，系统弹性势能相同，故B正确；C．质点在MO之间时，偏离平衡位置的位移是负值，加速度为正值，故C错误；D．质点的回复力与位移大小成正比，方向相反，故D错误。故选B。【变式2-2】一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（

）A．质点的振幅是4cmB．0～10s内质点经过的路程是20cmC．在时质点的速度为0D．在和两时刻，质点的位移相同【答案】B【解析】A．由图可知，质点的振幅是2cm，故A错误；B．每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，故B正确；C．在时，质点位于平衡位置，故速度最大，故C错误；D．在和两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，即位移不相同，故D错误。故选B。题型03简谐运动的周期性和多解问题【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为，下列叙述正确的是（）A．若，则时刻和时刻的速度一定相同B．若，则时刻和时刻弹簧长度一定相等C．若时刻和时刻的动能相等，则一定等于的整数倍D．若时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，则一定等于的整数倍【答案】A【解析】A．经过，则时刻和时刻，即相差一个周期的两个时刻振子的速度一定相同，选项A正确；B．若，质点位移大小相等，方向相反，但弹簧的长度不一定相等，选项B错误；C．当质点经过同一位置或关于平衡位置对称位置时，动能相等，不一定等于的整数倍，选项C错误；D．时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，表示质点通过同一位置，但不一定等于的整数倍，选项D错误。故选A。【变式3-1】（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（）A．0.6s B．0.8s C．2.0s D．2.4s【答案】BD【解析】O为平衡位置，设C点为M同侧最远点，振子从O→C所需时间为，简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故解得周期s若振子一开始从平衡位置向另外一个最远点运动，设点与点M关于点O对称，则振子从点经过点C'到点所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，为0.2s，振子从点C回到点O用时，则解得周期为故选BD。【变式3-2】（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，时振子的位移为，时位移为，则（）A．振子在与两处的加速度可能相等B．振子在与两处的速度可能不同C．若振幅为，振子的周期可能为D．若振幅为，振子的周期可能为【答案】BC【解析】AB．由于振子在与两处相对平衡位置对称，所以振子在与两处的加速度大小相等，方向相反；根据对称性可知，振子在与两处的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，故A错误，B正确；CD．若振幅为，则时有可得可知从平衡位置到位置的最短时间为，根据对称性和周期性可知，从位置到位置所用时间满足（，，）或（，，）或（，，）可得（，，）或（，，）或（，，）当时，可得或或当时，可得或或故C正确，D错误。故选BC。题型04简谐运动表达式的应用【例4】某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为，下列说法正确的是（）A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同B．简谐运动的周期为2sC．第3s末振子的位移为D．时，振子的加速度方向发生变化【答案】D【解析】AC．弹簧振子在第1s末与第3s末的位移分别为弹簧振子在第1s末与第3s末相对平衡位置的位移不相同，弹簧振子不在同一位置，弹簧的长度不相同，AC错误；B．根据题意得解得B错误；D．时，弹簧振子的位移为时，振子的位移等于零，表明振子在平衡位置处，加速度方向发生变化，D正确。故选D。【变式4-1】（多选）如下图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为。时刻，一小球从距物块h高处自由落下；时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小。以下判断正确的是（）A．B．简谐运动的周期是C．内物块运动的路程是D．时，物块与小球运动方向相同【答案】ABD【解析】A．时，物块的位移为则对小球解得故A正确；B．简谐运动的周期是故B正确；C．内物块经历，运动的路程是故C错误；D．当此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D正确。故选ABD。【变式4-2】如图所示，在光滑水平桌面上有一轻质橡皮筋，橡皮筋一端固定在O点，另一端穿过固定在点的光滑圆环，与一小球相连。小球套在水平放置的光滑固定细杆上，小球内径略大于细杆直径。已知O、、三点共线且垂直于细杆，橡皮筋的原长恰好等于O、之间的距离，橡皮筋的劲度系数为k。现在将小球从点拉至距离点L的P点后由静止释放，经过时间小球第一次经过点，不计空气阻力，橡皮筋始终在弹性限度内。（1）试说明小球的运动为简谐运动；（2）设沿指向P方向为正，写出小球的振动方程。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）对小球进行受力分析可知，小球受到的合力沿细杆指向点，设，则合力大小其中为偏离的位移大小；并且合力的方向与偏离的位移方向相反，设偏离的位移大小为x，则小球受到的合力满足故小球的运动为简谐运动（2）小球初始为正向的最大位移L，所以又因为小球做简谐运动的周期为，所以小球的振动方程题型05振动图像的理解和应用【例5】一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（）A．振子的振幅为10cmB．第1s末振子的动能大于第2s末振子的动能C．内振子的加速度方向始终相同D．内振子的速度先增大后减小【答案】D【解析】A．由题图可知，弹簧振子的振幅是5cm，故A项错误；B．由题图可知，振子在第1s末处于最大位移处，此时振子的动能为零，在第2s末，振子在平衡位置，此时振子的动能最大，故B项错误；C．在振子的位移为正，在振子的位移为负，由回复力公式可知，振子在这两段时间的回复力方向相反，结合牛顿第二定律可知，其加速度的方向在内振子的加速度方向不是始终相同的，故C项错误；D．由题图可知，在振子从负向最大位移处运动到正向最大位移处，所以在该过程振子的速度先增大后减小，故D项正确。故选D。【变式5-1】（多选）P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（）A．P、Q的振幅之比是B．P、Q的振动周期之比是C．P、Q在内经过的路程之比是D．时刻，P、Q的位移大小之比是【答案】ABC【解析】A．由振动图像可知P的振幅为，Q的振幅为，则P、Q的振幅之比是，故A正确；B．由振动图像可知P的周期为，Q的周期为，则P、Q的周期之比是，故B正确；C．在内P完成一个周期的振动，则路程为，Q完成两个周期的振动，则路程也为，故路程之比是，故C正确；D．P和Q离开平衡位置的位移方程为则时刻，P、Q的位移分别为则P、Q的位移大小之比是，故D错误。故选ABC。【变式5-2】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（）A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cmB．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反D．振子做简谐运动的表达式为【答案】C【解析】AD．由题图可知，振子的周期为1.6s，振幅为12cm，则有设振子做简谐运动的表达式为解得故AD错误；B．由图可知，0.5s末振子从平衡位置向最大位移处运动，1.1s末振子从最大位移处向平衡位置运动，所以振子在这两个时刻的速度方向不相同，故B错误；C．由图可知，在时间内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处，该过程中，弹簧振子做减速运动，即振子的速度和加速度方向始终相反，故C正确。故选C。分层训练分层训练【基础过关】1．关于质点做简谐运动，下列说法正确的是（）A．在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，位移方向也相同B．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大C．在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小D．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同【答案】C【详解】A．质点做简谐运动，回复力的方向总是指向平衡位置，位移的方向背离平衡位置，速度方向为质点的运动反向，可以指向平衡位置，也可以背离平衡位置，即速度与回复力或位移的方向可以相同，也可以相反，故A错误；B．回复力越远离平衡位置越大，而速度或是动能越靠近平衡位置越大，所以当质点的回复力的大小增大时，动能会减小，故B错误；C．在某一段时间内，质点的势能减小，说明在靠近平衡位置，回复力在减小，即加速度的大小在减小，故C正确；D．质点速度方向可以靠近平衡位置，可以背离平衡位置；位移方向背离平衡位置；加速度方向与回复力方向一致，指向平衡位置，故D错误。故选C。2．下列关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是（

）A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积可以变化C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小D．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关【答案】D【详解】A．振幅是标量，故A错误；B．由于周期与频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1，保持不变，故B错误；CD．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关；所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。故选D。3．如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点通过O点开始计时，经过1s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过s质点第二次经过M点，则质点的振动周期为（）A．s B．sC．s D．s【答案】A【详解】如图，设a、b为振动过程中的最大位移处若质点从O点向右到达M点所用时间为1s，从M点经b点回到M点所用时间为s，由对称性可知，质点由M点到b点用时s，质点由O点到b点用时s，则质点振动周期为若质点向左经a到达M点用时1s，从M点经b再回到M点用时s，则质点从O点运动到M点大于半个周期，从M回到M小于半个周期，因此O到M点的时间应大于M回到M，即此情况不符合题意；若M为简谐运动右侧位移最大处，质点从O点向右到达M点所用时间为1s，此时为周期的四分之一，又经过s质点不能第二次经过M点，故此情况不符合题意；若M为简谐运动右侧位移最大处，质点从O点向左运动再回到M点所用时间为1s，此时为周期的四分之三，又经过s质点第二次经过M点，则周期为结合选项，故选A。4．如图甲，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后与薄板始终粘连在一起。物块从开始下落到最低点的过程中，位移-时间（）图像如图乙所示，其中为物块刚接触薄板的时刻，为物块运动到最低点的时刻。弹簧形变在弹性限度内，空气阻力不计。下列说法正确的是（

）A．时刻物块的速度最大B．时刻物块的加速度大小为gC．时间内物块所受合力的方向先竖直向下后竖直向上D．OA段曲线和AB段曲线分别为抛物线的一部分【答案】C【详解】AC．由题意可知中时刻物块刚接触薄板，接着开始压缩弹簧，由于一开始弹簧弹力小于物块重力，物块所受合力方向向下，物块向下做加速度逐渐减小的加速运动；当弹力等于重力时，加速度为0，物块的速度达到最大；之后弹力大于重力，物块所受合力方向向上，物块向下做加速度增大的减速运动，故A错误，C正确；B．物块与薄板一起运动时是简谐运动，物块刚与薄板接触时，加速度为，速度不为零；若物块刚与薄板接触时速度为零，由简谐运动的对称性知，物体在最低点时，加速度大小为，方向竖直向上；而现在物块刚与薄板接触时有向下的速度，所以最低点位置比没有初速度时更靠下，弹簧压缩量更大，所以在最低点处的加速度大小必大于，故B错误；D．OA段物块做自由落体运动，OA段曲线为抛物线的一部分；AB段物块先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，不是匀变速直线运动，所以AB段曲线不是抛物线的一部分，故D错误。故选C。5．近年在我国，垂钓运动正成为休闲和体育馆合的新时尚。鱼漂是垂钓时反映鱼儿咬钩讯息的工具。如图甲所示，当鱼漂静止时，P点恰好在水面处。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（）A．在时刻，鱼漂的速度方向竖直向下B．在时刻，鱼漂的加速度方向竖直向下C．该鱼漂的振动频率为D．该鱼漂在振动的过程中，存在速度和加速度均减小的时间段【答案】B【详解】A．根据图像斜率表示速度可知在t=0.3s时刻，鱼漂的速度方向竖直向上，故A错误；B．t=0.3s时鱼漂的位移为正，根据牛顿第二定律可知鱼漂的加速度方向竖直向下，故B正确；C．该鱼漂的振动频率为故C错误；D．鱼漂离平衡位置越远，速度越小，位移越大，加速度越大；鱼漂离平衡位置越近，速度越大，位移越小，加速度越小；则该鱼漂在振动的过程中，不存在速度和加速度均减小的时间段，故D错误。故选B。6．如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，O为平衡位置，现将弹簧振子从平衡位置向下拉一段距离，释放后振子在M、N间振动，且，振子第一次由M到N的时间为，不计一切阻力，下列说法中正确的是（）A．振子振动的振幅为、频率为B．振子由M到O的时间为C．从释放振子开始计时，振子在内通过的路程为D．从释放振子开始计时，振子在末偏离平衡位置的位移大小为【答案】C【详解】A．从题图可知，振子振动的振幅为，振子第一次由M到N的时间为，则有可得周期为则频率为故A错误；B．根据简谐运动的对称性可知，振子由M到O的时间与振子由O到N的时间相等，均为，故B错误；C．弹簧振子的振幅，由于则从释放振子开始计时，振子在内通过的路程为故C正确；D．10s内振子振动了25个周期，10s末振子仍处在M点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为，故D错误。故选C。7．如图所示，质量均为m的物块甲、乙静止于倾角的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。缓慢使甲压缩弹簧到某位置后撤去外力，此后甲在斜面上做简谐运动，乙恰好不能脱离挡板。弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，则甲的振幅为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】甲在平衡位置时弹簧的压缩量为甲在最高点时弹簧伸长量则甲的振幅故选B。8．如图所示，假设沿地球直径凿通一条隧道，把一小球从地面S点静止释放，小球在隧道内受到地球引力与它离开O点的位移成正比，方向始终指向O点。则小球（）A．做匀变速直线运动B．可从隧道另一端飞出C．从S到O与从O到S的时间相等D．在O点时受到的万有引力最大【答案】C【详解】ABD．小球在隧道内受到地球引力与它离开O点的位移成正比，方向始终指向O点，所以小球以O点为平衡位置做简谐运动，O点为平衡位置，在O点速度最大，引力最小，故ABD错误；C．根据简谐运动规律可知小球从S到O与从O到S运动的时间相等，故C正确。故选C。9．如图所示。将质量为m的小球悬挂在一轻质弹簧下端，静止后小球所在的位置为O点（图中未标出）。现将小球从O点向下拉至弹簧对小球的弹力大小为2mg（g为重力加速度），然后释放，已知小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。则小球位于最高点时弹簧的弹力大小为（）A．2mg B．0 C．mg D．mg【答案】B【详解】小球处于最低点时弹簧的伸长量为，则有释放瞬间对小球由牛顿第二定律可得解得小球运动到最高点时弹簧的形变量的大小，加速度大小为，根据对称性可得在最高点对小球由牛顿第二定律可得解得故小球位于最高点时弹簧的弹力大小为0。故选B。10．如图所示，物体A放置在物体B上，B与一轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上以O点为平衡位置做简谐运动，所能到达相对于O点的最大位移处分别为P点和Q点，运动过程中A、B之间无相对运动。已知弹簧的劲度系数为k，系统的振动周期为T，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法中不正确的是（）A．物体B从P向O运动的过程中，弹簧的弹性势能逐渐变小B．物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间C．物体B的速度为v时开始计时，每经过T时间，物体B的速度仍为vD．当物体B相对平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于kx【答案】D【详解】A．物体B从P向O运动的过程中，弹簧的压缩量逐渐减小，所以弹性势能逐渐变小，故A正确；B．物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，由运动的对称性可知，物体B一定运动到OQ之间，故B正确；C．物体B和A整体做简谐运动，根据对称性，当物体B的速度为v时开始计时，每经过T时间，物体B的速度仍为v，故C正确；D．根据牛顿第二定律，整体的加速度大小对物体A，根据牛顿第二定律故D错误。本题选错误的，故选D。11．（多选）一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（）A．0s时质点的加速度最大B．第0.4s末质点的加速度方向是B→OC．第0.7s末质点距离O点小于2.5cmD．在0.1s到0.3s质点运动的路程大于5cm【答案】AD【详解】A．由图像可知，0s时质点处于正向最大位移处，则加速度为负向最大，故A正确；B．0.4s末质点负向最大位移处，则加速度正向最大，方向为。故B错误；C．根据简谐运动的函数关系可得第0.7s末质点距离O点故C错误；D．同C选项的分析可知，0.1s时，质点在距离O点处，0.3s时，质点在距离O点处，所以在0.1s到0.3s质点运动的路程等于故D正确。故选AD。12．（多选）如图所示为获取弹簧振子的位移—时间图像的一种方法，改变纸带运动的速度，下列说法正确的是（

）A．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动B．如果纸带不动，作出的振动图像是一段线段C．如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦函数曲线D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简谐运动的正弦函数图像【答案】AB【详解】A．由振动图像可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，故A正确；B．当纸带不动时，描出的只是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，即一段线段，故B正确；CD．只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，故CD错误。故选AB。13．（多选）如图所示，把一个有孔的小球装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在水平光滑杆上，以为平衡位置振动。另一小球B在竖直平面内以为圆心、为角速度沿顺时针方向做半径为的匀速圆周运动（与在同一竖直线上）。用竖直向下的平行光照射小球B，可以观察到，小球B在水平杆上的“影子”和小球在任何瞬间都重合。取水平向右为正方向，点为坐标原点，小球B经最高点时为计时零点，下列说法正确的是（）A．小球的振动周期为B．小球的振幅为C．小球的最大速度为D．小球的位移与时间的函数关系为【答案】BC【详解】A．小球的振动周期与小球B的转动周期相同，即，A错误；B．振幅为偏离平衡位置的最大距离，由题意可知，A的振幅为R，B正确；C．小球的最大速度与小球B的最大水平分速度相等，当小球B运动至最高点（最低点）时水平速度最大，即，C正确；D．小球B经最高点时为计时零点，A按正弦规律振动，小球的位移与时间的函数关系为，D错误。故选BC。14．如图，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，重力加速度为。求：（1）当运动到最低点时，的加速度。（2）当运动到最低点时，平台给物体的支持力大小。（3）求弹簧的劲度系数和最大弹性势能。（弹性势能表达式为）【答案】（1），方向竖直向上；（2）；（3）【详解】（1）当平台运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，则平台对的支持力也为零；以为研究对象，由牛顿第二定律知得，方向竖直向下；根据简谐运动的对称性可知，运动到最低点时的加速度大小为，方向竖直向上。（2）当运动到最低点时，对有而代入得（3）当运动到最高点时，此时弹簧处于原长状态，根据对称性，当运动到最低点时，弹簧被压缩长度，在平衡位置处，有解得所以弹簧最大弹性势能为则15．一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的圆柱体带动一个T型支架在竖直方向振动，T型架下面连着一个小球，如图所示。现使圆盘以0.5s的周期顺时针方向匀速转动。（1）若小圆柱到圆盘中心距离为10cm，试证明小球的运动为简写运动，并写出小球的运动方程（2）若在圆盘与挡板之间放一竖直弹簧振子，让振子在竖直方向震动，且有一束平行光从左侧照来，在右侧有一挡板，发现两小球在挡板上的投影始终重合，已知与弹簧相连的小球的质量m=0.1kg，弹簧振子震动周期的公式为，m为小球质量，k为弹簧劲度系数，求该弹簧的劲度系数k=?【答案】（1）见解析；（2）【详解】(1)由题意可知小球在竖直方向上运动，设小圆柱运动到右端与圆心等高处时为计时开始，此时小球的位置为平衡位置，则t时刻小圆柱与圆心连线和水平方向夹角小球偏离平衡位置的位移满足所以小球的运动为简谐运动，则小球在右侧挡板上的运动也为简谐运动(2)由题意可知，小球做简谐运动的振幅设向下为正方向，则小球投影的运动方程为(3)由题意可知，弹簧振子的简谐运动的周期与左侧小球周期相同即T=0.5s由题中给的条件推导得出代入数据计算得【能力提升】1．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（

）A．质点的振幅是4cmB．0～10s内质点经过的路程是20cmC．在时质点的速度为0D．在和两时刻，质点的位移相同【答案】B【详解】A．由图可知，质点的振幅是2cm，故A错误；B．每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，故B正确；C．在时，质点位于平衡位置，故速度最大，故C错误；D．在和两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，即位移不相同，故D错误。故选B。2．心电图仪甲通过一系列的传感手段，可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。一台心电图仪测得待检者心电图如图乙所示。医生测量时记下被检者的心率为60次/min，则这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为（）A．20mm/s B．25mm/s C．30mm/s D．60mm/s【答案】B【详解】心脏每次跳动的时间间隔为所以坐标纸的走纸速度大小为故选B。3．如图（a），若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球体天体表面做简谐运动的图像如（b），设地球，该天体的平均密度分别为和。地球半径是该天体半径的n倍。的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，由图（b）可知，小球从弹簧原长处由静止释放，则平衡位置弹簧的伸长量就是简谐运动的振幅，则有可得则有设某球体天体的半径为，在天体的表面有联立解得故选C。4．如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（）A．A向下运动到y=5cm后保持静止B．存在某一时刻A与B会分离C．A最大能运动到y=20cm处D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值【答案】D【详解】A．静止时A在y=0cm处，令此时弹簧压缩量为，则有解得放上B后，令对平衡位置的位移大小为，A、B在平衡位置的压缩量为，则有，解得回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，放上B后，B与A一起开始向下做简谐运动，根据对称性可知，A、B先向下做加速度减小的加速运动，后向下做加速度增大的减速运动，减速至0后，又向上做做加速度减小的加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，减速至0后回到出发点，之后，重复先前的运动过程，根据上述可以解得根据简谐运动的对称性可知，振幅为可知，A、B向下运动到两倍的振幅位置，即y=10cm到达最低点，但不能够保持静止，故A错误；B．结合上述可知，B与A一起保持相对静止做简谐运动，两者不会发生分离，故B错误；C．结合上述可知，A最大能运动到y=10cm处，故C错误；D．结合上述可知，当A运动到y=5cm处时，恰好处于平衡位置，此时速度最大，A的动能达到最大值，故D正确。故选D。5．如图所示，固定光滑直杆上套有一个质量为m，带电量为+q的小球和两根原长均为L的轻弹簧，两根轻弹簧的一端与小球绝缘相连，另一端分别固定在杆上相距为2L的A、B两点，空间存在方向竖直向下的匀强电场。已知直杆与水平面的夹角为θ，两弹簧的劲度系数均，小球在距B点的P点处于静止状态，Q点距A点，小球在Q点由静止释放，重力加速度为g。则（）A．匀强电场的电场强度大小为B．小球在Q点的加速度大小为C．小球运动的最大动能为D．小球运动到最低点的位置离B点距离为【答案】C【详解】A．依题意，小球在距B点的P点处于静止状态，小球受到两根弹簧的弹力合力大小为对小球由共点力平衡可得解得故A错误；B．根据对称性，可知小球在Q点的受两弹簧弹力合力情况与P点大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律，有求得故B错误；C．小球从Q点由静止下滑时，运动到P点受力平衡，加速度为0，速度最大，动能最大，从Q到P过程中，根据动能定理可得由几何关系可求得联立求得故C正确；D．依题意，可判断知小球从Q点静止运动到最低点时，小球做简谐振动，P点为平衡位置，根据简谐运动的对称性可知，小球运动最低点到P点距离为，所以小球运动到最低点的位置离B点距离为故D错误。故选C。6．竹筏历来是江南水乡的一种重要运输工具。《载敬堂集》：“竹排；竹算；竹筏，又称筏儿，简称筏，其物一也，古来为水上运输重要工具，也是代替桥梁渡水之要用。”《碧溪观渡》诗：“雁荡山娇溪亦好，滩斑岸诡倒峰高。渡工浮筏时横绝，碧水油油欲没篙。”同时，古朴原始的小竹筏也构成江南水乡独具特色的景致。如图甲所示，在平静的水面上，一游客登上一条竹筏，从此时开始竹筏做简谐运动。以竖直向上为正方向作出竹筏振动的图像，如图乙所示，不计水的阻力。则（）A．竹筏振动的回复力由水对竹筏的浮力提供B．竹筏的位移—时间关系式为C．T=0.9s时，竹筏的重力大于其所受的浮力D．从0.6~0.8s过程中竹筏的动量逐渐变大【答案】C【详解】A．竹筏振动的回复力由水对竹筏的浮力和重力提供，故A错误；B．由图像可知位移—时间为余弦函数关系，振幅为3cm，周期为0.8s，则竹筏的位移—时间关系式为故B错误；C．T=0.9s时，加速度方向向下，竹筏的重力大于其所受的浮力，故C正确；D．从0.6~0.8s过程中竹筏的速度逐渐变小，动量也逐渐变小，故D错误。故选C。7．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k、物块和木板之间的动摩擦因数为，则下列说法正确的是（）。A．若物块在t时刻和时刻受到的摩擦力大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍B．若，则在t时刻和时刻，弹簧的长度一定相同C．木板做简谐运动所受的合力就是弹簧的弹力D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于【答案】D【详解】A．若物块在t时刻和时刻受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但不一定等于的整数倍，A错误；B．若，则在t时刻和时刻位移大小相等，反向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但是弹簧的长度不一定相同，B错误；C．木板做简谐运动的合力是弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力，C错误；D．将物块和木板看作一个整体，当位移为时，有对物块，有可得D正确。故选D。8．根据万有引力理论，密度均匀球壳对内部的物体引力为0，如图所示，物体m沿两条路径到达地球对面的B处。路径1：从A处静止释放后，穿过地心到达B，用时，路径2：设想物体为一近地卫星，从A处做近地飞行到达B，用时。已知一个弹簧振子的回复系数k，质量为m，则其振动周期为，则下列说法正确的是（）（以上运动不计任何阻力，不考虑地球自转，且假设地球密度均匀）A．物体沿路径1从A到B，先匀加速后匀减速B．物体沿路径1从A到B，在经过O点时速度最大C．D．【答案】B【详解】AB．设地球的密度为，地球的半径为，物体沿路径1运动时，当物体离地心距离为，物体受到的万有引力提供大小为且引力方向总是指向地心，可知物体沿路径1以地心为平衡位置做简谐运动，物体沿路径1从A到B，先做加速度逐渐减小的加速运动，在做加速度逐渐增大的减速运动，在经过O点时速度最大，故A错误，B正确；CD．物体沿路径1运动时，物体受到的万有引力提供大小为可知物体沿路径1从A到B的时间为近地卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得可得可知物体沿路径2从A到B的时间为则有故CD错误。故选B。9．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向，在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（

）A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零B．振子做简谐运动的表达式为C．0.5s～1.0s的时间内，振子通过的路程为5cmD．和时，振子的速度不同，但加速度大小相等【答案】C【详解】A．振子在O点受到的回复力为零，此时弹簧弹力等于振子自身重力大小。故A错误；B．由图乙可得，振子的振幅A=5cm，初相位，周期T=2.0s，则圆频率所以振子做简谐运动的表达式为故B错误；C．由图乙可知t=0.5s时刻振子在平衡位置，t=1.0s时刻振子到达最大位移处，所以在0.5s～1.0s的时间内，振子通过的路程为5cm。故C正确；D．根据简谐振动的对称性可知，在t=0.25s和t=0.75s时，振子的速度相等，加速度大小相等。故D错误。故选C。10．如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O沿顺时针方向做匀速圆周运动，半径为R，从小球经过的位置开始计时，该小球每分钟转300圈。一束平行光沿x轴正方向照射小球，在处放置一垂直于x轴的足够大屏幕，可以看到小球的影子在屏幕上的运动情况。则下列说法正确的是（）A．时，小球坐标是（，0）B．从开始计时，内小球影子所通过的路程为25RC．小球做匀速圆周运动的向心力大小为D．小球的影子在y轴方向上的运动满足方程【答案】B【详解】D．由题意可知所以根据小球的运动规律匀速圆周运动可知所以影子做简谐运动，且振动方程为故D错误；A．由于，则由于小球经过的位置开始计时，经过整数周期小球位置不变，再过四分之一个周期，小球坐标为，故A错误；B．由则从开始计时，内小球影子所通过的路程为故B正确；C．由向心力公式故C错误。故选B。11．（多选）如图所示，倾角为α的光滑斜面上有两质量均为m的物块A、B，它们分别与平行于斜面的两根劲度系数均为k的轻质弹簧固连，两弹簧的另一端分别固定在斜面上。已知简谐运动的周期公式，M为振子的质量，k为回复力与位移的比例系数。初始时，物块A、B间用一平行于斜面的轻绳相连，此时下方弹簧恰好处于原长。某时刻轻绳突然断裂，关于此后物块A、B的运动，下列说法正确的是（

）A．物块A、B不可能会发生碰撞B．物块A、B振动的振幅之比为1∶1C．物块A的加速度为零时，物块B的加速度可能不为零D．物块A、B振动的最大速度之比为1∶1【答案】ABD【详解】ABD．开始时下方弹簧恰好处于原长，则下方振子的平衡位置在该