2.5二次函数与一元二次方程第1课时（同步课件）-北师大版九下

北师大版数学九年级下册第1课时第二章二次函数5二次函数与一元二次方程学习目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.（重点）3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.（难点）

复习回顾＞Δ＝0Δ＜0

2.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的

就是一元一次方程kx＋b＝0的根．横坐标一、创设情境，引入新知现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？二、自主合作，探究新知探究：二次函数与一元二次方程的关系我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)h与t的关系式是什么？解：（1）由图象可得h0＝0，v0＝40.

∴h与t的关系式为h＝－5t2＋40t.二、自主合作，探究新知（2）方法一：由图象可得小球经过8s后落地.方法二：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0，∴t(t－8)＝0.解得t1＝0，t2＝8.∵t＝0是小球没抛时的时间，∴t＝8是小球落地时的时间.∴小球经过8s后落地.“数形结合”思想(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、自主合作，探究新知议一议：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?交点坐标分别是什么？（1）二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有2个交点，为（-2，0）和（0，0）.二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，为（1，0）.二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点.二、自主合作，探究新知(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?分别求出它们的根.一元二次方程x2＋2x＝0的Δ=4＞0，∴方程有2个不相等的实数根.解：x(x+2)=0

x=0或x+2=0∴x1=-2，x2=0y=x2+2x2个交点二、自主合作，探究新知一元二次方程x2－2x＋1＝0的Δ=0，∴方程有2个相等的实数根.解：(x-1)2=0∴x1=x2=1(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?分别求出它们的根.y=x2-2x+11个交点二、自主合作，探究新知(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?分别求出它们的根.∵一元二次方程x2－2x＋2＝0的Δ=-4＜0,∴方程没有实数根.y=x2-2x+2没有交点二、自主合作，探究新知(3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：

二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.

与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）.

二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.二、自主合作，探究新知典型例题分析：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．【方法总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标．

二、自主合作，探究新知例2:已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点；典型例题二、自主合作，探究新知例2:已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．

典型例题想一想：在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？二、自主合作，探究新知方法一：令h＝60，即－5t2＋40t＝60,解得

t1=2，t2=6,∴2s或6s时，小球离地面的高度是60m.方法二：由图象可得.【方法归纳】可以利用图象，也可以解方程.二、自主合作，探究新知xyo241

知识要点二、自主合作，探究新知

一般地，当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m.反过来，解方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值．二次函数与一元二次方程的关系:例3：如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．(1)求这个二次函数的解析式；二、自主合作，探究新知典型例题

二、自主合作，探究新知(2)该同学把铅球推出去多远？

三、即学即练，应用知识1.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(

)A.3个 B.2个C.1个 D.0个2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A.无解B.x＝1C.x＝－4D.x1＝－1，x2＝4AD

三、即学即练，应用知识3.若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.-1

（-1，0）（3，0）

三、即学即练，应用知识6.已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标.(1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2.∵m2≥0，∴9m2≥0，∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.

三、即学即练，应用知识

四、课堂小结二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<01.二次函数与一元二次方程有下列对应关系：2