2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题4.5 平面向量的数量积及其应用【八大题型】(讲义)(解析版)

专题4.5平面向量的数量积及其应用【八大题型】【新高考专用】1、平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活求解.【知识点1平面向量数量积的求解方法】1．平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【知识点2数量积的两大应用】1．夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2．向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】1．向量数量积综合应用的三大解题方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【知识点4极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．【方法技巧与总结】1．平面向量数量积运算的常用公式(1)；(2).2．有关向量夹角的两个结论(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.(2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π.3．向量在向量上的投影向量为.【题型1平面向量的数量积】【例1】（2024·广东·一模）已知a和b的夹角为150°，且a=2,b=3，则a+2b⋅b=（

）A．−9 B．−3 C．3 D．9【解题思路】根据向量数量积运算求得正确答案.【解答过程】a==2⋅故选：C.【变式1-1】（2024·广东广州·模拟预测）设平面向量a=4,2，b=m,1，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则A．2 B．10 C．−6 D．0【解题思路】由条件，结合基底的定义列方程可求m，再由数量积的坐标表示求a⋅【解答过程】因为a与b不能作为平面向量的一组基底，所以a//b，又a=所以4−2m=0，故m=2，所以b=所以a⋅故选：B.【变式1-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为AB的中点，则PC⋅(PA+A．1 B．2−3 C．12 【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【解答过程】根据题意，以C为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点C且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为正△ABC的边长为1，且点P为AB的中点，所以∠PCB=30点P在以C为圆心，BC为半径的圆上，则C(0,0),B(−1,0),A(−1所以PC=(则PA+所以PC⋅故选：B.【变式1-3】（2024·山东威海·一模）在△ABC中，∠BAC=90∘，AB⋅AC=1，P是△ABC所在平面内一点，APA．5+23 B．10+23 C．5−23【解题思路】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.【解答过程】∵∠BAC=90∘，∴∵AP=∴AP2∵PB==10−=10−=10−3AC当且仅当3AC=AB，即AB所以PB⋅PC的最大值为故选：D.【题型2平面向量的夹角问题】【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知向量a,b,c满足a=b,a与b的夹角为A．π6 B．π3 C．2π【解题思路】对等式π3,a【解答过程】设a=b=1所以a⋅c2=(−所以cosa,c所以a,故选:D.【变式2-1】（2024·四川雅安·一模）已知单位向量a，b满足a⋅b=0，则cosA．31010 B．255 C．【解题思路】求出(a+b)⋅(2a【解答过程】解：因为a=b=1所以(a因为a+b2所以a+b=所以cosa故选：A.【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1−x,−x−3，b=1+x,2，a⋅b=−4A．π3 B．π4 C．2π3【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得x=【解答过程】a⋅b=∴cos∵〈a+2b故选：B.【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）单位向量a,b,c满足a−2A．68 B．64 C．62【解题思路】法一：将a=2b−2c平方得b⋅c=【解答过程】法一：因为a−2b+2c=由a,b,c是单位向量，得所以b−2c2因为a⋅所以cosa法二：因为a−2b+2c=所以设a=1,0，b=x1,y1，解得x1取b=14因为a⋅b−2所以cosa故选：B.【题型3平面向量的模长】【例3】（2024·浙江温州·一模）已知平面向量a，b满足a=b=1，a,bA．1 B．3 C．2 D．7【解题思路】由题意，结合a+2【解答过程】由题意知，a=a+2所以a+2故选：D.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）平面向量a=1,−2,b=2,m，若A．3 B．2 C．5 D．6【解题思路】利用向量平行求出m，再利用模长公式求解答案.【解答过程】因为a//b，所以1×m=−2×2，解得m=−4，所以a−故选：C．【变式3-2】（2024·北京海淀·三模）已知e为单位向量，向量a满足a⋅e=2，a−λeA．1 B．2 C．5 D．4【解题思路】设e=1,0，a=x,y，根据a⋅e=2【解答过程】依题意设e=1,0，由a⋅e=2，所以x=2又a−λe=所以2−λ2+y所以a=22即a的最大值为5.故选：C.【变式3-3】（2024·湖南湘西·模拟预测）已知a,b,c均为单位向量，且〈aA．34 B．32 C．94【解题思路】利用向量的模的计算可得|a【解答过程】因为a,b,所以|a|=1当t=−12时，|a故选：B.【题型4平面向量的垂直问题】【例4】（2024·辽宁·模拟预测）若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与2aA．0 B．2 C．−1 D．−2【解题思路】由数量积的定义可求出a⋅【解答过程】解：a，b是夹角为60°则a=b=1因为λa+b则λa即2λ−1+2−λ×1故选：A.【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量a=1,λ，b=2,−1．若a+2A．1 B．−1 C．12 D．−12【解题思路】（方法一）由a,b的坐标，求得a+2b的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由【解答过程】（方法一）由a⃗=1,λ，b由a+2b⊥b，得a+2故选：C．（方法二）由a+2b⊥b，得将a⃗=1,λ，b⃗故选：C．【变式4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量a=1,2，b=4,x，c=2a+A．7 B．−7 C．2 D．−2【解题思路】先求出c，再根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.【解答过程】因为a=1,2，所以c=2由a⊥c，得则6+24+x=0，解得故选：B.【变式4-3】（2024·甘肃张掖·三模）已知向量a,b满足a=b=1，且aA．λ+μ=0 B．λ+μ=−1C．λμ=−1 D．λμ=0【解题思路】根据题意，λa+b【解答过程】根据题意，a⊥b，所以又λa+b即λa2+所以λ+μ=0.故选：A.【题型5平面向量的投影】【例5】（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量a,b满足a−b=1，则aA．12b B．b C．12【解题思路】两边平方求出数量积，然后在根据投影向量公式计算即可.【解答过程】因为a→,b→是单位向量，所以a→=1,b→=1设a→与b→的夹角为θ，则a→在b故选：A.【变式5-1】（2024·吉林·模拟预测）已知向量a=1,0,b=1,23A．2,23 B．2 C．a D．【解题思路】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解.【解答过程】由向量a=则a+b=2,23则向量a+b在a上的投影向量为：故选：D.【变式5-2】（2024·湖北·模拟预测）已知向量a=1,0,b=0,1,A．12,12 B．22,【解题思路】设出c的坐标，利用给定条件得到c，再利用投影向量公式求解即可.【解答过程】设c=x,y，因为所以1×x+0×y=10×x+1×y=1，解得x=1y=1，即向量a在向量c上的投影向量为a⋅故选：A.【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知向量a，b的夹角为45°，且a=4，a⋅a−b=0，则A．2a B．a C．2a 【解题思路】化简a⋅a−b=0求出b=42，进而求出【解答过程】因为a⋅a−b=0所以a⋅b=从而，b在a上的投影向量为bcos故选：B．【题型6坐标法解决向量数量积问题】【例6】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点MA．−4−22,22C．−22,4+22【解题思路】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算A【解答过程】以A1为原点，A1A2为x轴，设Nx1,所以A1由于正八边形的每个外角都为π4则x2所以A1故选：C.【变式6-1】（2024·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的一点，且∠PBC=π6，则BP⋅

A．4−2 B．C．4−23 D．【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解.【解答过程】如图所示，

以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B0,0，C2,0，由∠PBC=π6，得P3,1，所以故选：C.【变式6-2】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅A．63−2 B．219−4 C．【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|AB【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−32,332)，B(4,0)所以D的轨迹方程为(x−2)2取BD的中点为M，设M(x,y),D(x可得x=x0+42y=所以点M的轨迹方程为(x−3)2+y2=1由AB+AD=2AM，所以所以|AM所以|AB故选：A.【变式6-3】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PBA．41+4 B．41−6 C．213【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【解答过程】以O为坐标原点（O是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE=3EB所以动点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcos则A0,4DP⋅其中锐角φ满足tanφ=54，故DP故选：A.【题型7向量在物理中的应用】【例7】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态.若F1=1A．−6+24 B．6+2【解题思路】根据F1+F2+【解答过程】∵三个力平衡，∴F1∴F3设F3与F1的夹角为θ，则即6−解得cos故选：A.【变式7-1】（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽600m，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h，水流速度的大小为A．0.17h B．0.15h C．0.13h【解题思路】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间.【解答过程】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度v1=4km要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图指：v=所以t=d故选：A.【变式7-2】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，F1=1N，F2=A．3N B．5N C．5N 【解题思路】根据平衡状态得F3【解答过程】由题意得，F3所以F3故选：C．【变式7-3】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F⋅S（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．−5 D．−25【解题思路】利用条件，先求出两个力的合力F1+F【解答过程】因为F1=2,4，F2=−5,3，所以F1+F故选：A.【题型8向量数量积与解三角形综合】【例8】（2024·湖北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘,AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AE

A．−77,103 B．−7【解题思路】先用余弦定理求出BC⃗，再将向量用基底AC【解答过程】由cos∠BAC=AB|设CE=λ则AE⋅CD=故选：C.【变式8-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）△ABC中，若AB=6,∠BAC=π3,∠ACB=π4A．54 B．27 C．9 D．3【解题思路】利用正弦定理求出BC，再利用数量积的运算律求解即得.【解答过程】在△ABC中，若AB=6,∠BAC=π3,∠ACB=所以BA⋅故选：A.【变式8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a⋅b=−3A．27 B．7 C．23 【解题思路】由∠AOB=150°,∠ACB=30°，即点A,O,B,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答过程】设OA=由a=1，b=3，a所以∠AOB=150°，又a−c,即点A,O,B,C四点共圆，要使c最大，即OC为圆的直径，在△AOB中，由余弦定理可得AB即AB=7，又由正弦定理可得2R=即c的最大值为27故选：A.【变式8-3】（2024·江西·三模）已知钝角△ABC的面积为3,AB=4,AC=2，则AB·AC的值是（A．−6 B．−27 C．27或−27 【解题思路】根据题设求得sinA=34，依题分角A【解答过程】依题意，12×2×4sin若角A为钝角，则cosA=−由余弦定理，BC此时，AB·若角C为钝角，则cosA=由余弦定理，BC此时BC2+A此时AB·故选：C.1．（2023·全国·高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,A．−45 B．−25 C．【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.【解答过程】因为a+b+即a2+b2+2如图,设OA=由题知,OA=OB=1,OC=2AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故选:D.2．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅A．1+22 C．1+2 D．【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD=12−22【解答过程】如图所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=则：PA⋅PD=1×====0≤α<π4∴当2α−π4=−π4

当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0则：PA⋅PD=1×====10≤α<π4∴当2α+π4=π2综上可得，PA⋅PD的最大值为故选：A.3．（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),A．−2 B．−1 C．0 D．1【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解答过程】向量a,b满足所以|a故选：B.4．（2023·全国·高考真题）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．55【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+【解答过程】因为a=(3,1),b=(2,2)则a+b=所以cosa故选：B.5．（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1C．λμ=1 D．λμ=−1【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，【解答过程】因为a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1−λ故选：D．6．（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“a+b·a−b=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量数量积分析可知a+b⋅【解答过程】因为a+b⋅a−可知a+b⋅若a=b或a=−b，可得若a+b⋅a−b=0例如a=1,0,b=0,1，满足综上所述，“a+b⋅a−故选：B.7．（2024·全国·高考真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2A．12 B．22 C．3【解题思路】由b−2a⊥b得b2【解答过程】因为b−2a⊥b，所以又因为a=1,所以1+4a从而b=故选：B.8．（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件