《正比例函数的概念》教案

《正比例函数的概念》教案教学目标及教学重点、难点教学目标：正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。教学重点：正比例函数的概念。教学难点：将实际情境抽象为函数模型，用函数的方法解决实际问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们好，今天我们一起来学习正比例函数的概念。首先，我们一起来回顾什么是函数？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.复习回顾引入课题新课1.让我们来看看这个问题.2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y与运行时间t之间有何数量关系？（3）列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？2.思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，请写出函数解析式.（1）圆的周长l随半径r的变化而变化.（2）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m随它的体积V的变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h随练习本的本数n的变化而变化.（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T随冷冻时间t的变化而变化.3.观察：列出的这5个函数解析式有什么共同的特点？可以发现：这些式子等式右边都是非零常数与自变量的积的形式.我们把这样形式的函数叫做正比例函数.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注意，定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0.4.做两道练习，加深对正比例函数概念的理解.练习1：下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？（1）（2）（3）（4）练习2：列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元.（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取，通话不足1min按1min收费）.（4）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3.传授新知理解概念概念剖析例题例题1：若y与x的函数关系是正比例函数，当x=-1时，y=2.求此正比例函数的解析式.解：∵y与x的函数关系是正比例函数，∴设y=kx（k是常数，k≠0）.∵当x=-1时，y=2，∴2=k×（-1），即k=-2.∴正比例函数的解析式为：y=-2x.例题2：现有一块苗圃，其中一面靠墙.借助围墙（围墙长度大于10m），用篱笆将苗圃向右依次隔成边长为10m的正方形区域.（1）按照图中的方式，围出2个边长为10m的正方形需要几米长的篱笆？围出3个正方形呢？（2）如果用x表示所围正方形的个数，围出x个这样的正方形需要y米篱笆，那么y与x之间存在函数关系吗？（3）若围10个这样的正方形需要多少米篱笆？（4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？解：（1）60米；90米.（2）y=30x.（3）当x=10时，y=30×10=300（米），所以需要300米篱笆.（4）当y=500时，x=500÷30=，所以可以围出16个这样的正方形.例题3：甲、乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10m/s、乙车的速度是8m/s.两车同时出发，经过时间为t秒.（1）分别写出甲、乙两车赛跑时路程s1、s2和时间t的函数表达式及自变量t的取值范围.（2）出发5秒后，两车相距多少米？（3）甲、乙两车谁最先到达终点？早到多少秒？解：（1）s1=10t（0≤t≤10）；s2=8t（0≤t≤12.5）.（2）当t=5时，s1=10×5=50（米），s2=8×5=40（米）.∴两车相距s1-s2=50-40=10（米）.（3）甲车先到达终点.当s1=100时，甲车的时间为t1=100÷10=10（秒）；当s2=100时，乙车的时间为t2=100÷8=12.5（秒）.∴甲比乙早到t2-t1=12.5-10=2.5（秒）.思考：已知y+2与x-1成正比例，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式.分析：y与x成正比例：y=kx（k是常数，k≠0）.解：∵y+2与x-1成正比例，∴设y+2=k(x-1)（k是常数，k≠0）.∵当x=2时，y=3，∴3+2=k·(2-1)，解得k=5.∴y+2=5(x-1)，即y=5x-7.学以致用加深理解学会应用提升能力总结1.正比例函数的概念：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数.2.将实际情境抽象为函数模型，再用函数的方法解决实际问题.总结提升方法归纳作业1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？（1）（2）（3）y=5x2+6（4）（5）（6）y2=5x2.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.（1）求小球速度v关于时间t的函数解析式.它是正比例函数吗？（2）求第2.5s时小球的速度.3.一列火车以90km/h的速度匀速前进.求它的行驶路程s关于行驶时间t的函数解析式，并画出函数图象.巩固新知体会应用知能演练提升能力提升1.设点A(a,b)是正比例函数y=-32x的图象上任意一点,则下列等式一定成立的是(A.2a+3b=0 B.2a-3b=0C.3a-2b=0 D.3a+2b=02.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、第四象限,则()A.y随x的增大而增大B.y随x的增大而减小C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小D.不论x如何变化,y不变3.对于函数y=k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是()A.是一条直线 B.过点1C.经过第三、第一象限或第二、第四象限 D.y随着x的增大而增大4.已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上两点A(a1,b1),B(a2,b2),当a1<a2时,有b1>b2,则m的取值范围是()A.m<12 B.m>1C.m<2 D.m>05.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a6.已知y与x-4成正比例,且当x=2时,y=-6,则当y=9时,x=.

7.已知P1(1,y1),P2(2,y2)是正比例函数y=x的图象上的两点,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)

★8.若直线y=kx与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则k的取值范围是.

9.在同一平面直角坐标系内画出正比例函数y=2x与y=-2x的图象.10.已知函数y=(m-1)xm2(1)若y随x的增大而减小,求m的值;(2)若函数的图象经过第三、第一象限,求m的值.11.已知正比例函数y=(k+3)x.(1)当k为何值时,函数的图象经过第一、第三象限?(2)当k为何值时,y随x的增大而减小?(3)当k为何值时,函数图象经过点(1,1)?创新应用★12.数学课上,老师要求同学们画函数y=|x|的图象,小红联想绝对值的性质得y=x(x≥0)或y=-x(x≤0),于是她很快作出了该函数的图象(如图).和你的同桌交流一下,小红的作法对吗?如果不对,试画出该函数的图象.

知能演练·提升能力提升1.D2.B根据函数的性质,正比例函数的图象经过第二、第四象限时,函数值y随x的增大而减小.3.C4.A5.C观察题图,知a>0,b>0,c<0.又当x=1时,①中y=a,②中y=b,所以a<b.所以b>a>c.6.77.<8.12≤k≤2易求直线过点(1,2)和(2,1)时的解析式分别为y=2x和y=12x,因此,12≤k9.解列表:x01y=2x02y=-2x0-2y=2x与y=-2x的图象如图所示.10.解∵函数y=(m-1)xm2∴m-1≠0(1)∵函数关系式中y