《2 导数的四则运算》导学案

《2导数的四则运算》导学案一、学习目标1.知识与技能目标-理解并掌握函数的和、差、积、商的求导法则。-能够运用函数的和、差、积、商的求导法则进行简单函数的求导运算。2.过程与方法目标-通过对导数四则运算法则的探究过程，体会从特殊到一般的归纳推理方法。-培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标-通过自主探究、合作交流，培养学生的创新意识和团队协作精神。-让学生感受数学的严谨性和应用的广泛性，激发学生学习数学的兴趣。二、学习重难点1.重点-函数的和、差、积、商的求导法则。-运用求导法则进行简单函数的求导运算。2.难点-函数积与商的求导法则的推导与理解。-正确运用求导法则解决复杂函数的求导问题。三、学习方法自主探究、合作交流、讲练结合四、学习过程（一）知识回顾1.导数的定义：函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)。2.常见函数的导数公式：-\(C^\prime=0\)（\(C\)为常数）-\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)（\(n\inQ\)）-\((\sinx)^\prime=\cosx\)-\((\cosx)^\prime=-\sinx\)-\((e^x)^\prime=e^x\)-\((a^x)^\prime=a^x\lna\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）-\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)-\((\log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）练习：求下列函数的导数-\(y=5\)-\(y=x^3\)-\(y=\sinx\)-\(y=e^x\)（二）新课导入问题1：已知\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=x^3\)，那么\(f(x)+g(x)=x^2+x^3\)，\([f(x)+g(x)]^\prime\)与\(f^\prime(x)+g^\prime(x)\)有什么关系呢？我们先分别求出\(f^\prime(x)\)，\(g^\prime(x)\)，\([f(x)+g(x)]^\prime\)。-由\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)可得\(f^\prime(x)=(x^2)^\prime=2x\)，\(g^\prime(x)=(x^3)^\prime=3x^2\)。-对于\(y=f(x)+g(x)=x^2+x^3\)，根据导数定义求导：\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{[(x+\Deltax)^2+(x+\Deltax)^3]-(x^2+x^3)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(x^2+2x\Deltax+(\Deltax)^2+x^3+3x^2\Deltax+3x(\Deltax)^2+(\Deltax)^3)-(x^2+x^3)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2x\Deltax+(\Deltax)^2+3x^2\Deltax+3x(\Deltax)^2+(\Deltax)^3}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}(2x+\Deltax+3x^2+3x\Deltax+(\Deltax)^2)=2x+3x^2\)而\(f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x+3x^2\)，所以\([f(x)+g(x)]^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)\)。问题2：那么对于一般的函数\(u(x)\)和\(v(x)\)，\([u(x)+v(x)]^\prime\)与\(u^\prime(x)+v^\prime(x)\)是否也有这样的关系呢？（三）知识探究1.函数和与差的求导法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处具有导数，则它们的和、差也在点\(x\)处具有导数，且\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)。证明：设\(y=u(x)+v(x)\)，则\(\Deltay=[u(x+\Deltax)+v(x+\Deltax)]-[u(x)+v(x)]=[u(x+\Deltax)-u(x)]+[v(x+\Deltax)-v(x)]=\Deltau+\Deltav\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\Deltau}{\Deltax}+\frac{\Deltav}{\Deltax}\)\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(\frac{\Deltau}{\Deltax}+\frac{\Deltav}{\Deltax})=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}+\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}=u^\prime+v^\prime\)同理可证\((u-v)^\prime=u^\prime-v^\prime\)。说明：-此法则可推广到有限个函数的和与差的求导，即\((u_1\pmu_2\pm\cdots\pmu_n)^\prime=u_1^\prime\pmu_2^\prime\pm\cdots\pmu_n^\prime\)。-法则中的\(u\)，\(v\)必须是可导函数。练习：求下列函数的导数-\(y=x^4-x^2+x-3\)-\(y=\sinx-\cosx+2^x\)2.函数积的求导法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处具有导数，则它们的积也在点\(x\)处具有导数，且\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。证明：设\(y=u(x)v(x)\)，则\(\Deltay=u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)-u(x)v(x)\)\(=u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)-u(x)v(x+\Deltax)+u(x)v(x+\Deltax)-u(x)v(x)\)\(=[u(x+\Deltax)-u(x)]v(x+\Deltax)+u(x)[v(x+\Deltax)-v(x)]=\Deltau\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\Deltav\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax}\)因为\(v(x)\)在点\(x\)处可导，则\(v(x)\)在点\(x\)处连续，所以\(\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)=v(x)\)。\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax})\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)+u(x)\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}=u^\primev+uv^\prime\)推论：若\(C\)为常数，则\((Cu)^\prime=Cu^\prime\)。因为\((Cu)^\prime=C^\primeu+Cu^\prime=0\cdotu+Cu^\prime=Cu^\prime\)。练习：求下列函数的导数-\(y=x^2\sinx\)-\(y=3x^3e^x\)3.函数商的求导法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处具有导数，且\(v(x)\neq0\)，则它们的商\(\frac{u}{v}\)在点\(x\)处具有导数，且\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)。证明：设\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)，则\(\Deltay=\frac{u(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\Deltax)v(x)-u(x)v(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(=\frac{u(x+\Deltax)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(=\frac{[u(x+\Deltax)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Deltax)-v(x)]}{v(x+\Deltax)v(x)}=\frac{\Deltau\cdotv(x)-u(x)\cdot\Deltav}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x)-u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax}}{v(x+\Deltax)v(x)}\)因为\(v(x)\)在点\(x\)处可导，则\(v(x)\)在点\(x\)处连续，所以\(\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)=v(x)\)。\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x)-u(x)\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}}{v(x)\cdotv(x)}=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)练习：求下列函数的导数-\(y=\frac{\sinx}{x}\)-\(y=\frac{x^2+1}{x-1}\)（四）典例分析例1：求\(y=(2x^2+3)(3x-2)\)的导数。解法一：先展开式子\(y=(2x^2+3)(3x-2)=6x^3-4x^2+9x-6\)，再求导\(y^\prime=(6x^3-4x^2+9x-6)^\prime=18x^2-8x+9\)。解法二：根据积的求导法则\(y^\prime=(2x^2+3)^\prime(3x-2)+(2x^2+3)(3x-2)^\prime=(4x)(3x-2)+(2x^2+3)\times3=12x^2-8x+6x^2+9=18x^2-8x+9\)。例2：已知\(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\)，\(g(x)=\frac{x+1}{x}\)，求\([f(x)g(x)]^\prime\)。先求\(f(x)g(x)=\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x}=x\)，则\([f(x)g(x)]^\prime=x^\prime=1\)。（五）课堂小结1.函数的和、差、积、商的求导法则：-\((u\pmv)^\prime=u^\pr