平面向量坐标运算深度解析与实战技巧详解-高考数学第35讲全攻略

平面向量坐标运算深度解析与实战技巧详解_高考数学第35讲全攻略一、引言在高考数学的知识体系中，平面向量是一个重要的分支，它兼具代数与几何的双重特性，是沟通代数、几何的桥梁。而平面向量的坐标运算更是向量知识的核心内容之一，在高考中占据着相当重要的地位。通过本讲的深度解析与实战技巧详解，我们将全面梳理平面向量坐标运算的相关知识，帮助同学们在高考中应对自如。二、平面向量坐标运算的基础理论（一）平面向量坐标的定义在平面直角坐标系中，分别取与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的两个单位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作为基底。对于平面内的任一向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，我们把有序数对\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y)\)。其中\(x\)叫做\(\vec{a}\)在\(x\)轴上的坐标，\(y\)叫做\(\vec{a}\)在\(y\)轴上的坐标。例如，若\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)是单位向量，向量\(\vec{AB}=3\vec{i}-2\vec{j}\)，则向量\(\vec{AB}\)的坐标为\((3,-2)\)。（二）向量坐标运算的基本法则1.加法运算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。其几何意义是：以表示\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)的有向线段为邻边作平行四边形，则以共同起点为起点的对角线所表示的向量就是\(\vec{a}+\vec{b}\)。从坐标角度看，就是对应坐标相加。例如，已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)\)。2.减法运算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。几何意义为：若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)有共同的起点，则\(\vec{a}-\vec{b}\)表示从\(\vec{b}\)的终点指向\(\vec{a}\)的终点的向量。同样，坐标运算就是对应坐标相减。比如，若\(\vec{a}=(5,6)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，那么\(\vec{a}-\vec{b}=(5-2,6-3)=(3,3)\)。3.数乘运算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是实数，则\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。例如，若\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\lambda=3\)，则\(3\vec{a}=(3\times2,3\times(-1))=(6,-3)\)。（三）向量坐标运算与向量模长、夹角的关系1.向量的模长若\(\vec{a}=(x,y)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。这是根据勾股定理推导出来的，因为向量\(\vec{a}\)在平面直角坐标系中可以看作是以原点为起点，\((x,y)\)为终点的有向线段，其长度就是直角三角形的斜边长度。例如，向量\(\vec{a}=(3,4)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5\)。2.向量的夹角设\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(\theta\)，\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\cdot\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}\)。例如，已知\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times0+0\times1=0\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1\)，所以\(\cos\theta=\frac{0}{1\times1}=0\)，又因为\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)垂直。三、平面向量坐标运算的深度解析（一）向量坐标运算与几何图形的联系1.平行四边形中的向量坐标运算在平行四边形\(ABCD\)中，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，\(D(x_4,y_4)\)。因为\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，根据向量坐标运算，\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\)，\(\overrightarrow{DC}=(x_3-x_4,y_3-y_4)\)，所以\(\begin{cases}x_2-x_1=x_3-x_4\\y_2-y_1=y_3-y_4\end{cases}\)。例如，已知平行四边形\(ABCD\)中，\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，求\(D\)点坐标。由\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，\(\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)，设\(D(x,y)\)，则\(\overrightarrow{DC}=(5-x,6-y)\)，所以\(\begin{cases}5-x=2\\6-y=2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}\)，即\(D(3,4)\)。2.三角形中的向量坐标运算在\(\triangleABC\)中，若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则重心\(G\)的坐标为\((\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)。这是因为重心是三角形三条中线的交点，根据向量的性质和坐标运算可以推导得出。例如，已知\(A(0,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,4)\)，则重心\(G\)的坐标为\((\frac{0+3+0}{3},\frac{0+0+4}{3})=(1,\frac{4}{3})\)。（二）向量共线与垂直的坐标表示及应用1.向量共线的坐标表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{a}\neq\vec{0}\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线的充要条件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。证明如下：因为\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则存在实数\(\lambda\)，使得\(\vec{b}=\lambda\vec{a}\)，即\((x_2,y_2)=\lambda(x_1,y_1)=(\lambdax_1,\lambday_1)\)，所以\(\begin{cases}x_2=\lambdax_1\\y_2=\lambday_1\end{cases}\)，消去\(\lambda\)可得\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,m)\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\(2m-4\times3=0\)，解得\(m=6\)。2.向量垂直的坐标表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)的充要条件是\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(m,3)\)，且\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(1\timesm+(-2)\times3=0\)，解得\(m=6\)。四、平面向量坐标运算的实战技巧（一）巧妙设坐标简化运算在解决一些向量问题时，合理设出向量的坐标可以大大简化计算过程。例如，已知\(\triangleABC\)是等腰直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(CA=CB\)，\(A(-1,2)\)，\(C(1,1)\)，求\(B\)点坐标。设\(B(x,y)\)，则\(\overrightarrow{CA}=(-1-1,2-1)=(-2,1)\)，\(\overrightarrow{CB}=(x-1,y-1)\)。因为\(\triangleABC\)是等腰直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\)且\(\vert\overrightarrow{CA}\vert=\vert\overrightarrow{CB}\vert\)。由\(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\)可得\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\)，即\(-2(x-1)+(y-1)=0\)，化简得\(-2x+2+y-1=0\)，即\(y=2x-1\)。又因为\(\vert\overrightarrow{CA}\vert=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{CB}\vert=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{5}\)，将\(y=2x-1\)代入\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{5}\)中，\((x-1)^{2}+(2x-2)^{2}=5\)，\((x-1)^{2}+4(x-1)^{2}=5\)，\(5(x-1)^{2}=5\)，\((x-1)^{2}=1\)，解得\(x=2\)或\(x=0\)。当\(x=2\)时，\(y=2\times2-1=3\)；当\(x=0\)时，\(y=2\times0-1=-1\)。所以\(B(2,3)\)或\(B(0,-1)\)。（二）利用向量坐标运算解决最值问题在一些实际问题中，我们可以通过建立向量坐标，将问题转化为函数的最值问题。例如，已知向量\(\vec{a}=(x,y)\)满足\(\vert\vec{a}\vert=1\)，设\(\vec{b}=(2,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的最大值。因为\(\vert\vec{a}\vert=1\)，所以\(x^{2}+y^{2}=1\)，设\(x=\cos\theta\)，\(y=\sin\theta\)，则\(\vec{a}=(\cos\theta,\sin\theta)\)。\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}}\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\theta)\)，令\(\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\)。因为正弦函数的值域是\([-1,1]\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的最大值为\(\sqrt{5}\)。（三）结合其他知识综合运用平面向量坐标运算常常与三角函数、解析几何等知识结合考查。1.与三角函数结合例如，已知向量\(\vec{m}=(\sin\alpha,\cos\alpha)\)，\(\vec{n}=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(\vec{m}\)与\(\vec{n}\)的夹角为\(\theta\)，且\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\)，求\(\cos\theta\)的值。根据向量夹角公式\(\cos\theta=\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，\(\vert\vec{m}\vert=\sqrt{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=1\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{\cos^{2}\beta+\sin^{2}\beta}=1\)，\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\)。因为\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\cos\t