重难点培优10 圆锥曲线中的面积问题（复习讲义） -2026年高考数学一轮复习（解析版）

重难点培优10圆锥曲线中的面积问题目录01知识重构·重难梳理固根基 02题型精研·技巧通法提能力 题型一三角形面积：底×高(★★★★★) 4题型二三角形面积：分割三角形(★★★★★) 8题型三三角形的面积：共角、等角模型(★★★★) 题型四三角形的面积：对顶角模型(★★★★) 20题型五四边形的面积问题(★★★★) 27题型六四边形的面积：对角线垂直模型(★★★★) 题型七面积的最值(范围)问题(★★★★★) 0303实战检测·分层突破验成效46检测I组重难知识巩固 检测Ⅱ组创新能力提升 一、弦长公式(最常用公式)二、三角形的面积1、一般方法：(其中|AB|为弦长，d为顶点到直线AB的距离),设直线为斜截式y=kx+m.般在x轴或者Y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之(1)两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比(2)两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度(弦长之比)(3)利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比(4)面积的割补和转化三、平行四边形的面积直线AB为y=kx+m,直线CD为y=kx+m₂注：A'为直线与椭圆联立后消去Y后的一元二次方程的系数.【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.首选均值不等式，其实用二次函数均值不等式a²+b²≥2ab(a,b∈R)作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：(1)(注意分t=0,t>0,t<0三种情况讨论)当且仅当,等号成立当且仅当25·时等号成立.当且仅当m²=-m²+8时，等号成立当且仅当2k²+1=2m²时等号成立.(3)在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为0(0,0),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),三角形的CC上一点.(2)过C的右焦点且倾斜角为30°的直线1交C于M,N两点，0【分析】(1)由已知条件建立关于a,b,c的方程组解出即可；(2)设M(x,Y),N(x₂,y₂),根据条件写出直线1的方程，联立直标，求出|MN|,利用点到直线的距离公式求出OMV的高，代入公式求解即可.【详解】(1)由题得：解得a²=3,b²=6,所以双曲线C的方程为：xxM由题得直线l的方程为整理得：5x²+6x-27=0,所以x₁=-3;又因为点O到直线的距离为：所以所以OMV的面积为【分析】(1)根据题意可得,进而解出a,b,c即可求解；(2)联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出△OMN的面积，建立方程即可求解.【详解】(1)由题意，得,解得a²=6,b²=3,c²=3,则椭圆C的方程为联立,得3x²+4tx+2t²-6=0,则△=16t²-12(21²-6)>0,解得-3<t<3,且点O(0,0)到直线1的距离为yy个MN解得t=±1或t=±2√2,满足-3<t<3,则t=±1或t=±2√2.3.在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离|MF|是点M到9轴的距离与点M到直线x=1的距离的等差中项，记动点M的轨迹为曲线C.(2)若点D(1,0),过F的直线与曲线C交于A,B两点，且|AB|=6,求△ABD的面积.【答案】(1)y²=-2x【分析】(1)设点M(x,y),由题意得由抛物线的定义可知，动点M的轨迹为以为焦点，直线.为准线的抛物线，可得解；(2)设直线方程为,A(x,y),B(xz,2₂),根据A|B|=6,可得1的值，再求点D(1,0)到直线的距离，即可得面积.【详解】(1)设点M(x,y),则它到Y轴的距离与它到直线x=1的距离分别为|x|,|x-1,又,结合图形可知，点M(x,y)不可能在y轴的右侧，所以由抛物线的定义可知，动点M的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线C的方程为y²=-2x.(2)由题意知，过F的直线的斜率不为零，则△=4t²+4>0,且y₁+y₂=-2t,y₁y₂=-1,所以点D(1,0)到直线的距离yAooB抛物线C交于A,B两点O为坐标原点.当直线l⊥y轴时，|AB|=4.(2)若直线AB的斜率为1,求△ABO的面积.抛物线C的标准方程.【详解】(1)由题可知：因为|AB|=4,所以2p=4,解得p=2,故抛物线C的标准方程为x²=4y.BA(2)若,直线l:交椭圆C于E,F两点，且△AEF的面积为,求t的值.【分析】(1)根据题意得到2c=2√2,,即可得到答案.(2)首先设E(x,y),F(x₂,y₂),根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到,设直线1与x轴的交点为再根据求解即可.【详解】(1)由题意得，2c=2√2,c=√2,则b²=a²-c²=2,所以C的标准方程为(2)由题意设E(x₁,y),F(x₂,y₂),如图所示：个EF联立则设直线1与x轴的交点为结合t>0,解得t=√2.3.已知双曲线i的左顶点为A,右焦点为F.过点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点，其中B位于第一象限，且AB⊥AC.②【分析】(1)直线BC的方程为x=c,由已知可得b²=1+c,进而求解即可得E的方程；(2)求得,设M(x,y),N(x₂,y₂),与双曲线联立方程组可得【详解】(1)由题可知A(-1,0),设F(c,O)(c>0).即c²-1=1+c,解得c=2(负值舍去),所以b²=c²-1=3,(2)由(1)可得F(2.,0),1设M(x,y),N(x₂,y₂),且x₁<x₂,则BAN交等角、共角模型1.(2025高三·安徽·专题练习)如图，椭圆C:的左右焦点分别为F,F₂,离心率为,且短轴长是4,点P是第一象限内C上一点，PF₁,PF₂的延长线分别交C于A,B两点，设r,r₂分别是△PF₁B,△PF₂A的内切圆半径.(2)若点P的横坐标为2,求△PF₁B内切圆的方程；(3)求r-r₂的最大值.【分析】(1)根据题意，列出a,b,c方程运算得解；(2)由题得PF₂⊥x轴，则△PFB内切圆圆心在x轴正半轴上，且F₂是切点，利用等面积法求出r,得解；(3)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和等面积法得到内切圆半径的表达式，据此得到r-r₂的表达式，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】(1)由题意，4,又a²-b²=c²,解得a=2√2,b=c=2,(2)∵P点的横坐标为2,则1P(2,√2)又F₂(2,0),由对称性，△PF₁B内切圆圆心在x轴正半轴上，且F₂是切点，又:VPFB内切圆的方程为(x-1)²+yAPB交∵F₁(-2,0),直线PA的方程为N.(2)(i)设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN【详解】(1)已知双曲线的虚轴长为2,则2b=2,解得b=1.当斜率不为0时：把x=ty+1代入x²-3y²=3得(t²-3)y²+2ty-2=0.因为直线交左右两支，有,解得t²>3.则,经化简得把代入再看分母：此时因为t²>3,-ty₂+2≠0,约分后可得kᴀN=√3.(ii)当斜率为0时，因为kaN=kcM=√3,两三角形相似，当斜率不为0时，不妨设t>0,y₁<0,y₂>0,,所以代入y₁+y₂与y₁y₂的值得综上，取值范围是CxAxA3.(24-25高三下·重庆北碚·月考)已知椭圆E:,左右顶点为A₁,A₂,上下顶点为B₁,B₂,B₂,若四边形A₁B₁A₂B₂面积为4√3,周长为4√7,过右焦点且斜率为k的直线1交椭圆于M,N,直线A₁N,A₂M交于点P,直线B₂N,B₁M交于点Q.(2)证明：点P在定直线上；【分析】(1)根据题意得到关于a,b的方程组，解出即可；(2)设MN=λNF₂,利用定比点差法得,再写出两直线方程，最后相除即可；证明直线斜率相等即可.【详解】(1)由题意得(2)记右焦点F₂(1,0),M(x,y₁),N(x₂,y₂),(*),由(*),由即P在定直线x=4上.代入可得解得NQ接PF₂并延长与曲线C交于Q点，PF₂=λF₂Q(a>0).记PF₂N,△PF₁Q的面积分别为S₁,S₂.(1)若λ=1,求点P的坐标；(3)求的最小值.【分析】(1)设1:x=my+2,P(x,y),Q(x₂,y₂),与x²-y²=2联立求出△和韦达定理，根据PF₂=F₂Q求出m,y,y₂即可求解；(2)求出|PFI|PF₂I即可证明；第一象限内点P在曲线C上.F(-2,0)、F₂(2,0),连以P为圆心，P|F|为半径的圆与线段PF₁交于点N,根据(2)求出根据结合基本不等式即可求解.【详解】(1)设l:x=my+2,P(x,y),Q(x₂,y₂),个NF₁PF₂交F₂(2)由题意得xỏ-y2=2,x₀>√2,故y?=xỏ-2,PF|=√(x₀+2)²+y8=√(x₀+2)²+x2-2|PF₂|=√(x₀-2)²+y₀²=IEI=4,故lPE²+15LB=IPeP,所以PF,⊥FE,将其代入中得显然，当0<λ<1时，m<0,当λ>1时，m>0,由(2)知又PF₂=λF₂Q(a>0),故所以由于1+2√5<7,故1.1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1)的离心率,右焦点为F,右顶点为A,(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F的直线1交椭圆E于点P,Q(其中点P在x轴上方),B为椭圆E的左顶点.若△PAF与△QBF的面积分别为S₁,S₂,求的取值范围.【分析】(1)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解即可；(2)当1斜率不存在时，易知当直线l斜率存在时，设点设直线，联立，韦达定理，然后将面积比表示出来，转换成函数值域问题，即可求解.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意，得个B0Fp①当1斜率不存在时，易知②当1斜率存在时，可设l:x=ty+1(t≠0),P(x,y)(y₁>0),Q(x₂,y₂)(y₂<0),设,则m<0,解得且m≠-1,综上所述，的取值范围为2.(2025·山东枣庄·二模)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,T(4,t)为C上一点，且|TF|=4.(2)过点T作两条相互垂直的直线分别与C交于B,D两点.(i)证明：直线BD过定点；(ii)若直线TB,TD分别与x轴交于M,N两点，记。TBD,TMN的面积分别为S,S₂,当M|N|≤5时，求的取值范围.【分析】(1)由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可；(2)(i)法一：设直线BD的方程为y=kx+m,B(x,y₁),D(x₂,y₂),联立抛物线方程，由韦达定理，结合TB·TD=0,求得m=2-4k或m=10+4k即可；法二：设B(x,y),D(x₂,y₂),由kB·Kπm=-1,结合直线BD的方程为,代入化简得到设直线TB的方程为y-2=k₁(x-4),直线TD的方程为y-2=k₂(x-4),【详解】(1)解：因为点T(4,t)在C上，所以pt=8.则解得p=4,结合弦长公式及三角形面积公式所以C的方程为x²=8y.4BD(i)证明：法一：由题意知直线BD的斜率存在，T(4,2).设直线BD的方程为y=kx+m,B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),联立)得x²-8kx-8m=0,则△=64k²+32m>0,x₁+x₂=8k,x₁x₂=-8m,y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2m=8k所以TB·TD=(x₁-4)(x₂-4)+(y₁-2)·(y₂-2)=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16+y₁解得m=2-4k或m=10+4k.(ii)解：设B(x,y),D(x₂,y₂),易知直线TB和TD的斜率均存在且不为0,设直线TB的方程为y-2=k(x-4),直线TD的方程为y-2=k₂(x-4),联立得x²-8k,x-16+32k₁=0,由△=64k²-4(32k-16)>0,得k₁≠1,所以x+x₂=8(k+k₂)-8,xx₂=-48-32(k+k₂),因为在和又k₁≠±1,3.已知椭圆C:的左焦点为F(-1,0),椭圆上任意一点到F₁的距离最大值为3;(i)当k≠0时，设直线F₁M,F₁N的斜率分别是k₁,k₂,求证：为定值；(ii)过点F₁作垂直于MN的直线交MN于T,交圆0:x²+y²=r²(r>1)于P,Q两点，记△PMT,△QNT的【详解】(1)由题知a+c=3,又c=1,可得a=2,b²=a²-c²=3,则椭圆方程为显然△>0,则MT0PF²N当k=0时，当k≠0时：直线PQ方程为,则,则1.焦点在x轴上的椭圆，离心率为,短轴长为2.(2)过椭圆的左、右焦点F₁,F₂,分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点M,N,求四边形NMF₁F₂的面积.【分析】(1)由题意可求得,2b=2,求解可得椭圆的标准方程；【详解】(1)设椭圆的标准方程为(2)椭圆的左、右焦点是(±1,0),延长NF₂交椭圆于另一点P,连接F₁P,MP.yMNP(2)3x+y+6=0或3x-y+6=0【详解】(1)∵双曲线左焦点F₁到渐近线的距离为√3,,解得a²=1,(2)∵过左焦点F₁作直线l交C的左支于A,B两点，∴直线l斜率不为0,设直线l:x=my-2,联立1得：由对称性，四边形ABPQ的面积等于。ABO的面积的4倍，∴直线l的方程为3x+y+6=0或3x-y+6=0.AF6xBF6xBP,PQ=1,【分析】(1)根据椭圆和圆的对称性可得!,再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出a²和b²的【分析】(1)根据椭圆和圆的对称性可得!(2)设A(m,n),mn≠0,易知四边形OABC是平行四边形，设直线BC(2)设A(m,n),mn≠0,易知四边形OABC方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出,再利用点到直线的距离公式，表示出四边形OABC的面积，然后化简即可得定值.因为Q位于第一象限，所以所以椭圆Y的标准方程为A0x0BC因为OA//BC,OA=BC,所以四边形OABC是平行四边形，BC|=|OA|=√m²+n²,设直线BC的方程为,B(x,y₁),C(x₂,y₂),所以而点A到直线BC的距离为所以四边形OABC的面积,为定值.4.(2025-辽宁大连·一模)如图，直线l:x=m交于点A,B和点C,D(A,D在x轴同侧),线段AC与BD交于点H.当l经过T的焦点F时A、B两点的纵(2)线段AC与BD交于点H,线段AB与CD的中点分别为M,N①求证：M,H,N三点共线；②若2|HM|=|HN|=2,求四边形ABCD的面积.【分析】(1)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出P即可；(2)①设A(x,y₁),B(x₂,y₂)分别求得AB,CD的方程，求得,根据lB//1c,得到ym=y～,再由BD,AC的方程，求得x的表达式，即可得证；和②由①,得到和和y²+2y²+y₁y₂-3y₂y₃-Y1y₃=4,求解.两式相减得y₁-y₂=2,和xɴ-xH=2,分别求得y₁y₂+y₂Y₃-Y₁y₃-y²=2【详解】(1)因为抛物线焦点为即y²-2pmy-p²=0,则yAYB=-p²,由题意,解得所以所求抛物线方程为y²=x.(2)①证明：设A(x,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),D(x4,y4).若x₁=x₂,x₃=x4,则直线AB,CD斜率不存在，由对称性，可知M,N,H均在x轴上，则M,H,N三点共线；若x₁≠xX₂,x₃≠x₄,则直线斜率存在，直线AB方程为：结合y²=x₁,y²=x₂,BD方程：(y₂+y₄)y-y₂y₄=x.设M(xm,ym),N(xw则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC,BD交点为P(xp,yp),Q(x₀,yQ).将代入直线AC方程，又yp=yo=ym=yn,则P,Q两点重合，②由(2),直线MN与x轴平行，又,同理可得又由(2)由y₁+Y₂=y₃+y4,则y²-y₃(y₂+y₁+y₂-v₃)则2y²+y²-3y₂y₃-Y₁y₃+y₁y₂过B作MN平行线，交CD为E,则四边形MBEN为平行四边形，因AB//CD,则AHB~△CHD,结合2|HM|=|HN,则四边形ABCD的面积题型六四边形的面积：对角线垂直模型1.(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)如图，已知抛物线I:y²=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.过F作两条直线l,l₂,这两条直线与抛物线I分别交于A、B和C、D两点.当AB垂直于x轴时，|AB|=4.(1)求抛物线(1)求抛物线T的方程；(2)若AB⊥CD,求四边形ACBD面积的取值范围；【分析】(1)利用抛物线的通径长求出P的值，即得抛物线方程；(2)依题设lAB:x=my+1与抛物线方程联立，消元后写出韦达定理，分别求出弦长|ABl,ICDI,以及四边形ACBD的面积表示式，利用基本不等式即可求得其范围；【详解】(1)当ABIx轴时，∴抛物线C方程为y²=4x依题意，直线l,l₂的斜率均存在且不为0,设lAB:x=my+1,于是，x₁x₂=(my+1)(my₂+1)=m²y₁y₂+m(y,当且仅当m²=1时取等号，(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积为定值.【分析】(1)由离心率可得又由VAOB面积为1,可得ab=2,(2)设P(x₀,y%),结合(1)可得直线PA,PB方程，据此可表示M,N坐标，可得四边形ABNM的面积关于x₀,y。的表达式，最后结合P(x₀,y。)在椭圆上可完成证明.【详解】(1)因离心率为,又a²=b²+c²,,又则,所以椭圆C方程为：直线PA:直线PB:对于直线PA,令x=0,可得注意到P(x,y%)在椭圆上，PBNoM【点睛】关键点睛：对于四边形的面积，常可将其分为几个三角形面积之和，也可利用对角线乘积乘以对角线夹角正弦乘以二分之一.(2)过F₂作两条相互垂直的直线l和l₂,与双曲线的右支分别交于A,C两点和B,D两点，求四边形AB积的最小值.(2)设直线,其中k≠0,根据题中条件确定再将l的方程与【详解】(1)因为c²=a²+b²,又由题意得,则有a²=3b²,F₁lAL₂BL₂0F₂0CD设A(x,y),C(x₂,y₂2),则所以所以当即k=±1时，等号成立.故四边形ABCD面积的最小值为6.题型七面积的最值(范围)问题【技巧通法·提分快招】一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用构造函数求导等等),在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运积，尽可能降低计算量.11.(2025高三·天津·专题练习)已知动点P到定点F(1,0)的距离与到直线1:x=-1的距离之差为1(P不在C到直线AB的距离为2√2.(1)求动点P的轨迹方程；(2)求VABC面积的最小值.【答案】(1)动点P的轨迹方程为【分析】(1)设点P(x,y),由题意可得√(x-1)²+(y-0)²-|x+1|=1,化简可得动点P的轨迹方程；(2)分直线斜率是否存在两种情况求得|AB|的范围，进而可求得VABC面积的最小值.【详解】(1)设点P(x,y),由动点P到定点F(1,0)的距离与到直线1:x=-1的距离之差为1,所以√(x-1²+y²=x+2,,所以x²-2x+1+y²=x所以,所以动点P的轨迹方程为(2)当过点F的直线斜率存在时，设直线m的方程为y=k(x-1),代入方程,得k²(x-1)²=6x+3,所以k²x²-2k²x+k²=6x+3,整理得k²x²-(2k²+6)x+k²-3=0,因为直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，所以k≠0,设A(x,y₁),B(x₂,y₂),则所以当AB斜率不存在时，直线方程为x=1,所以A(1,3),B(1,-3),综上所述：SABc≥6√2,所以左右焦点分别是F₁,F₂,以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点M在椭圆C上.(2)设椭圆E:P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点.射线PO交椭圆E于点Q.求ABQ面积的最大值.【分析】(1)由圆上的点到圆心的距离可以求得|MF|+|MF₂|,即求得a的值，由离心率及椭圆中a,b,c的从而得到AQB面积的最大值.【详解】(1)由题意可知，|MF|+|MF₂|=2a=3+1=4,可得a=2,可得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-48=0,由>0,可得m²<12+16k²,①由直线y=kx+m与y轴交于N(0,m),即将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0,由①②可得0<t≤1,S=2√3√4-(t-2)²在(0,1)递增，即有t=1取得最大值，即有S≤6,即m²=3+4k²时，S取得最大值6,由(i)知，△ABQ的面积为3S,即△ABQ面积的最大值为18.4Pl0xF₂xB3.(25-26高三上·江苏南京·开学考试)已知椭圆C:的离心率为,焦距为2c,以a,b,c为三边的三角形面积为(2)过右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N,P,Q,求四边形MPNQ面积的最小值.【答案】【答案】①【分析】(1)根据已知条件解方程求解即可；(2)设直线MN,PQ的直线方程，联立方程表示出弦长|PQ,|MN|及四边的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值.【详解】(1)由已知可得则所求椭圆方程(2)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=3,此时PQ的长即为椭圆长轴长，IPQl=4,从而设M(x,y₁),N(x₂,y₂),P(x,y₃),Q(x₄,y4),由,消去y得(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12因为R>0,则4²+3>0.32²+4>0,贝0PMN(ii)过点G作直线1交W的右支于E,F两点，求MEF的面积的最小值.(2)(i)证明见解析；(ii)3√3.【详解】(1)因为双曲线1的离心率为所以,所以(2)(i)方法一：设B(x,y₁),C(x₂,y₂),则A(x,-y),当BC//x轴时，A,M,C三点不共线，所以BC斜率不为0,设BC的方程为x=ty+n.又,所以,化简得2t(n-4)=0.方法二：设A(x,y),C(x,y₂2),则B(x₁,-y),直线AM:y=k(x-1),得(1-4k²)x²+8k²x-4k²-4=0,由,则直线(ii)由直线1过点G(4,0),与双曲线右支交于E,F,则c00FB则则,此时t=12,即m=0,顶点的四边形的面积为4.的方程.(2)x-y+1=0或x+y+1=0【分析】(1)根据面积公式及离心率公式计算得出a=2,b=1,即可得出标准方程；(2)先分直线MN的斜率为0和直线MN的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可.【详解】(1)由题意：所以ab=2.(2)当直线MN的斜率为0时，M,N,Q三点共线，不符合题意；当直线MN的斜率不为0时，设直线方程为x=ty-1,M(x,y),N(x₂,y₂),yAMxx2.已知双曲线2.已知双曲线C:)的左、右焦点分别为F₁,F₂,若C的离心率为2,点A(1,0)在C上，过F₂的直线1交C的右支于P,Q两点.(2)3x+y-6=0或3x-y-6=0【分析】(1)根据条件求出双曲线方程为：设1的方程为x=my+2,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),(2)化简,解出m的值，判断其合理性所以F₂(2,0),由于直线1的斜率不为0,设1的方程为x=my+2,P(x,y),Q(x₂,y₂),(2)由(1)得y⁴PF.xoF.x即45m⁴-32m²+3=0,即(5m²所以直线l的方程为3x+y-6=0或3x-y-6=记点P的轨迹为曲线E.限.设BC与x轴交于点M,AC与y轴交于点N,求四边形ABMN的面积.【分析】(1)设动点P(x,y),利用动点P到点F的距离和它到直线1的距离的比为化简可得答案；(2)设点C(x,y%),求出直线BC、直线AC的方程，令x=0得M,N点坐标，再求出|AM|、BN|,利用四边形ABMN的面积可得答案.【详解】(1)设动点P(x,y),由题意得：,化简得：所以E的方程为(2)设点C(x₀,y%),且-1<x₀<0,-√2<y。<0,B(0,√2),A(1,0),如图直线AC:,令x=0得：BcAx所以四边形ABMN的面积4.已知椭圆的左，右焦点分别为F₁,F₂,|FF|=2√2,离心率(2)过点F₂作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P,Q和E,F,求四边形EPFQ面积的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法，即可求解；(2)利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值.【详解】(1)由|FF₂|=2√2,即c=√2,,即a=√3,(2)设四边形EPFQ面积为S,当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在，当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为x=my+√2,P(x₁,y),Q(x₂,y₂),联立方程得(m²+3)y²+2√2my-1=0且△=12(m²+1)>0恒成立，令t=m²+1,则m²=t-1,t≥1,5.椭圆)的左、右焦点分别为F(-c,0),E₂(c,0),点P为椭圆E上动(2)设椭圆E的上下顶点分别为A,B,直线PF₂交椭圆E于另一点Q,点P和点Q位于y轴两侧，若A,B,P,Q四点构成的四边形面积为√3,求直线PQ的斜率.【答案】(1)【答案】(1)·【分析】(1)设P(x₀,y。),再由向量数量积的坐标运算得PF·PF₂=x哈+y%-c²∈[b²-c²,b²],结合已知求(2)讨论直线PQ的斜率，设PQ为x=my+1,P(x,y),Q(x₂,y₂),m≠0,联立椭圆并应用韦达定理得m²>1,四边形面积,进而求出参数值，即可得.【详解】(1)设P(x₀,y%),则故x2,x²∈[0,a²]由题可得，,故b²=c²=1→a²=2,故椭圆E的标准方程为(2)若直线PQ的斜率为0,则S=2√2,不满足条件，斜率不为0时，设直线PQ为x=my+1,P(x,y),Q(x₂,y₂),m≠0,直线PQ的斜率为4oB如图x₁x₂<0→(my₁+1)(my₂+1)=m²yy₂+m(y₁+y₂)+1<0,可得m²>1,又S=√3,即6.已知F₁,F₂分别为椭圆M的左、右焦点，直线l过点F₂与椭圆交于A,B两点，(2)直线l过点F₂,且与l垂直，l₂交椭圆M于C,D两点，若a=√2,求四边形ACBD面积的范围.【分析】(1)设F₁(-c,0),F₂(c,0)(c>0),由题△AF₁F₂的周长为2a+2c,据此可得答案；(2)先讨论两直线l,l₂中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形ACBD的面积；【详解】(1)设F(-c,0),F₂(c,O)(c>0),由椭圆的定义可知△AFF₂的周长为2a+2c=(2+√2)a,所以2c=√2a,所以离心率(2)由(1)可知,又b²+c²=a²,所以a²=2b²=2,所以椭圆M的方程为可得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0,设l₂的方程为,同理可得所以,即此时椭圆C上一点，PF₁的最大值为3,当P为椭圆上顶点时，△PF₁F₂为等边三角形.(2)设A,B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线1与C交于点M,N,且kBM=3kAN,(ii)求AMN面积的最大值.【分析】(1)结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解.(2)(i)法一：根据已知条件设M(x,y₁),N(x₂,y₂),直线AN的方程，直线BM的方程，求出点M,N的坐标，再求出kM,进而得到直线MN的方程，整理即可求解；x=my+t,与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解.单调性，即可求解.【详解】(1)根据题意作图如下：(2)(i)证明：法一：由(1)可知A(-2,0),B(2,0),设直线AN的斜率为k,则直线BM的斜率为3k,设M(x,y),N(x₂,y₂),则直线AN的方程为y=k(x+2),直线BM的方程为y=3k(x-2),化简得(3+4k²)x²+16k²x+16k²-12=0,则法二：设M(x,y;),N(x₂,y₂),又由(1)知A(-2,0),B(2,0),则又则所以化简得且4t²+16t+16≠0,所以直线1过定点(1,0),即右焦点F₂;此时m=0,直线MN的发方程为x=1.个PNBBM0(2)若坐标原点为0,平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在椭圆T上，且圆内切于四边形ABCD.0【答案】【答案】(1)+二=1【分析】(1)由长轴长为短轴长的√2倍得a=√2b,由焦距为4得c=2,进而a²-b²=4,求得a=2√2,,再代入面积公式得,令m=1+2k²,根【详解】(1)由题意可知，2a=√2×2b,则a=√2b,则△=16k²r²-4(1+2k²)(2r²-8)=8(8k²-t²+4)>0,则OA⊥OB,此时平行四边形ABCD为菱形.令m=1+2k²,则m>1,4DxBxC(2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于A,B两点，P(1,2),直线PA与直线PB的倾斜角互补.【详解】(1)设圆心为Q(x,y),个2(2)①设A(x,y₁),B(x₂,y₂),个PxoAB又△=16+16m>0,解得m>-1,所以-1<m<3,=√2(V₁-x₂)²=√2[(x₁+y₂)²-4xv₂]=√2(点P到直线AB的距离1.1.平面直角坐标系xOy中，已知定点N(0,2),动点M满足MO·MN=3,作两条直线PQ,ST分别与曲线C交于点P,Q和S,T四点(其中点P、S在上方).(2)若PQ⊥ST,求四边形PTQS面积的取【分析】(1)根据向量的坐标运算即可代入化简求解，(2)根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式，即可根据垂直求解面积的表达式，进而利用基本不等【详解】(1)设M(x,y),则MO=(-x,-y),MN=(-x,2-y),故曲线C方程为x²+(y-1)²=4(2)由题意可知直线PQ,ST均有斜率，且不为0,由于PQ⊥ST,设直线POy设直线POy=kx,ST曲线C为圆心为C(0,1),半径r=2的圆，则C(0,1)到PQ的距离为,同理可得C(0,1)到ST的距离为当且仅当k=1时取到等号，当k<0时，当且仅当k=-1时取到等号，当且仅当k=±1时取到等号，因此故2.(2024-河北·模拟预测)已知M(-√3,0),n(√J3,0),,平面内动点P满足直线PM,PN的斜率之积(1)求动点(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点F(1,0)的直线交P的轨迹E于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB(O为坐标原点),若C恰为轨迹E上一点，求四边形OACB的面积.【分析】(1)根据题意得,化简可得轨迹方程.(2)先设直线再联立直线与轨迹方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理及点到直线距离公式计算面积即可.【详解】(1)设P(x,y),则,化简可得(2)以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+1,直线的设A(x,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,AB(2)过点F₂的直线交双曲线的右支于M,N两点(点M在第一象限),过点M作直线的垂线，垂足为D.(ii)记△ODN的面积为S,求S的取值范围.【分析】(1)根据给定条件，求出a,b,c即可.(2)(i)设出直线MN方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理及直线DN方【详解】(1)依题意，双曲线半焦距则所以双曲线C的方程为(2)(i)设M(x,y),N(x₂,y₂),MN:x=my+2√3,则则,解得直线DN的方程为而,因此直线DN的方程为所以直线DN经过定点(所以直线DN经过定点而因此在上单调递增，则所以S的取值范围是3N4.(2025-江苏·模拟预测)已知椭圆C:的左右焦点分别为F₁,F₂,上顶点为P,长轴长为4√2,直线PF₂的倾斜角为135(1)求直线PF₂的方程及椭圆C的方程.(2)若椭圆C上的两动点A,B均在x轴上方，且AF₁I/BF₂,求四边形的ABF₂F₁的面积S的取值范围.【答案】(1)y=-x+2;【分析】(1)根据直线PF₂的倾斜角可得b=c,再结合长轴可得a,b,c的值，即可求直线方程和椭圆方程；(2)设B关于原点的对称点B(x₃,y₃),进而由平行关系判断A,F₁,B三点共线，再设直线AB'的方程，与椭圆方程联立，将IAF₁I+|BF₂I转化为|AB'|,再求点F₂到直线AB的距离d,然后利用梯形的面积公式求S,最后通过变形利用基本不等式可求最大值即可.【详解】(1)由长轴长为4√2,可得2a=4√2,a=2√2,因为点P上顶点，直线PF₂的倾斜角为135,因为kpr₂=tan135=-1,P(0,2),所以直线PF₂的方程为y=-x+2,椭圆C的方程为则B关于原点的对称点B(x₃,y₃),即由FA=(x₁+2,y₁),F₂B=(x₂-2,y₂),AFIIB则FA//FB,则A,F₁,B三点共线，设AB':x=my-2,则△=32(m²+1),又点F₂到直线AB'的距离则梯形ABF₂F₁的面积4PBPA大可F可FB'是椭圆左焦点，P是椭圆上异于点B、B₂的点，B₁F₁B₂是边长为4的等边三角形.(2)当直线PB的斜率为-1时，求以PB为直径的圆的标准方程；【分析】(1)根据题设条件列出关于a,b,c的方程组，求解即得椭圆方程；(2)依题求出直线PB₁的方程，与椭圆方程联立，求出点,即可求得以PB₁为直径的圆的方程；(3)设直线PB₁,PB₂的斜率分别为k,k′,写出直线PB₁的方程并与椭圆方程联立，求出点P的坐标，即可推得,由RB₂⊥PB₂,写出直线RB₂的方程，与直线RB的方程联立，求出点R的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证.【详解】(1)因△B₁F₁B₂是边长为4的等边三角形，则得,解得·(2)因B₁(0,2),直线PB₁的斜率为-1,则直线PB的方程为y=-x+2(3)设直线PB₁,PB₂的斜率分别为k,k′,则直线PB₁的方程为y=kx+2.由RB₁⊥PB₁,直线RB₁的方程为x+k(y-2)=0.将y=kx+2代入,得(4k²+1)x²+16kx=0,因为P是椭圆上异于点B₁,B₂的点，所以即△PB₁B₂与△RBB₂面积之比为定B₁RPB₂【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；(2)依题意，设直线MN的斜率为k(k≠0),则直线MN的方程为y=k(x-2),设M(x,y)、N(x₂,y₂),将直线MN的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据题中条件得出NP=3MP,可得出4-x₂=3(4-x₁),结合韦达定理求出k的值，即可得出点P的坐标.故椭圆C的方程为(2)若直线MN的斜率不存在，则该直线与椭圆相离，不合乎题意，PMN联立消9得(1+2k²)x²-8k²x+(8k²-8)=0,由①③得由①③得代入②,解得k=±1,∴直线MN的方程为y=x-2或y=-x+2,若直线MN的方程为y=x-2,则点P(4,2);若直线MN的方程为y=-x+2,则点P(4,-2).综上所述，P点坐标为(4,2)或(4,-2).7.已知椭圆,且其离心率为(2)直线l与y轴交于点M,与椭圆G交于B,C两点，直线AB,AC分别与直线y=4交于D,E两点.是否存在定点M,使得VABC与VADE的面积之比为定值?若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)由题意建立a,b,c,求解方程组可得；的面积，由面积比为定值求m的值，再分析是否过定点A即可.【详解】(1)由题意(2)设直线l与y轴交点为M(0,m),则由题意1斜率存在，设1:y=kx+m,与椭圆方程联立得(4k²+1)x²+8knx+4m²-4=0,由△>0得4k²-m²+1>0.设B(x,y),C(x₂,y₂),则D点横坐标为,同理则(m-1)²=0,解得m=1,但此时1:y=kx+1过点A(0,1),不合题意.所以定点M不存在.4x分别为A,B,点P(1,t)是椭圆外一点，直线PA,PB与椭圆C的另一