专题16-2 期中期末专项复习之全等三角形十六大（人教版）（解析版）

专题16.2全等三角形十六大必考点

【人教版】

【考点1利用全等图形求网格中的角度和】.......................................................1

【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】.....................................................5

【考点3添加条件使三角形全等】...............................................................7

【考点4灵活选用判定方法证明全等】..........................................................11

【考点5尺规作图与全等的综合运用】..........................................................16

【考点6证明全等的常见辅助线的作法】........................................................20

【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】..................................................28

【考点8全等中的倍长中线模型】..............................................................39

【考点9全等中的旋转模型】..................................................................49

【考点10仝等中的垂线模型】..................................................................56

【考点11全等中的其他模型】...................................................................65

【考点12全等三角形的动点问题】..............................................................71

【考点13尺规作图作角平分线】................................................................77

【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】....................................................80

【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】....................................................86

【考点16角平分线的实际应用】................................................................95

”崎三

【考点1利用全等图形求网格中的角度和】

【例I】（2022•山东・禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则

01+03-02=（）

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定0ABe00DBE,根据全等三角形的性质可得133WACB,WttK3ACB+01=01+03=9O°,

可得(31+33-(32.

【详解】

团在团ABC和团DBE中

AB=BD

Z..4=20，

(AC=ED

00ABC03DBE(SAS),

回团3=®ACB,

00ACB+01=9O°,

001+03=90°,

002=45°

001+03432=900-45<>=450,

故选B.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角杵等.

【变式1-1](2022•江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习)如图，由4个相同的小正方形组成的格

点图中，01+02+03=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出21+23的值，即可得出答案;

【详解】如图所示，

田

CD

在BACB和团DCE中,

AB=DE

｛乙4=乙D,

AC=DC

^ACB三△OCE（SRS）,

^LABE=z3>

0Z1+42+43=（匕1+z3）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键.

【变式1-2]（2022•江苏•八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点，贝附尸

+*__________度.

邳

【答案】45

【分析】如图，直接利用网格得出对应角NP=4AQC,进而得U答案.

:-沁

【详解】c

如图，易知A/IB尸三△4CQ,0Z1P=Z/1QC,

田80是正方形的对角线，

团4BQC=tBQA+LAQC=zP+z<?=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键.

【变式1-3]（2022・山东•济南市槐荫区教育教学研窕中心二模）如图，在4x4的正方形网格中，求a+

P=度.

【答案】45

【分析】连接4B,根据正方形网格的特征即可求解.

回图中是4x4的正方形网格

团AD=CE,Z.ADB=z.AECfDB=AE

^ADBCEA(SAS)

(3NEAC=Z.ABD=a,AB=AC

^Z.ABD+乙BAD=90°

^EAC+乙BAD=90°,即NG48=90°

^LACB=乙ABC=45°

配D||CE

团4BCE=Z.DBC=0

SBC=Z.ABD+Z.DBC=a+P

团a+0=45°

故答案为：45.

【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征.

【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】

【例2】（2022•全国•八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形.

【答案】见解析

【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案.

（详解】•.•共有3X4=12个小正方形，

•••被分成四个全等的图形后每个图形有12+4=3,

・•.如图所示：

【点睛】本题主要考杳了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键.

【变式2-1］（2022•江苏•八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全

相同的两个部分吗？请画出分割线.

【答案】见解析

【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如

图所示，沿玲。分割；第二个图同理沿£与4>6玲”玲P9Q分割即可.

【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格,

则可按如图所示，沿分割；第二个图同理沿EfFfGf分割即可.

将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相

同.

【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关铤.

【变式2-2］（2022•江苏•八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形

分别分割成两个全等的图形，将其中•部分涂上阴影.

【答案】见解析（第一个图答案不唯一）

【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形.

【详解】解：第一个图形分割有如下儿种：

【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点.

【变式2-3］（2022•全国•八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形.”

理解应用：我们可以把4x4网格图形划分为两个全等图形.

范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法.

请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来.

图4

【答案】见解析

［分析］根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可.

【详解】依题意，如图

图4

【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键.

【考点3添加条件使三角形全等】

【例3】（2022•全国•八年级专题练习）如图，团。=酰＞=90。，添加下列条件：①AC=A。：②明8C=0A8Z）：

③BC=BD,其中能判定R/a48c与心阴8。全等的条件有（）

A

D

B

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解.

【详解】解：宛）C=回。=90°,AB=A8,

团①AC=AO,可用HL判定RS48。与R3A8。全等；

②0ABe=（M8D,可用AAS判定RtMBC与RSAB。全等；

③BC=BD,可用HL判定R3/WC与RtaAB。全等；

故选：D.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

【变式3-1］（2022・重庆•中考真题）如图，点8,F,C,E共线，0«=0E,BF=EC,添加一个条件，不能判

断MBfflEOE/7的是（）

A.AB=DEB.0A=0DC.AC=DFD.AC^FD

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.

【详解】解：：BF=EC,

•••BC=EF

A,添加一个条件4B=OE,

又♦；BC=EF,乙B=々E

••.△ABCDEF（5AS）

故A不符合题意；

B.添加一个条件财=团。

又：BC=EF/B=乙E

•••△ABC"DEF(AAS)

故B不符合题意;

C.添加一个条件AC=/）F,不能判断财4Q3团OEP,故C符合题意;

D.添加一个条件A5F。

:.Z.ACB=乙EFD

又••BC=EF/B=ZF

ABCDEF（ASA）

故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

【变式3-2］（2022•安徽淮南•八年级期末）如图，点夕是A3上任意一点，还应补充一个条

件，才能推出财尸6幽4孔）.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出财尸EMPD的是（）

A.BC=BD；B.AC=AD；

C.a4aML4QB；D.^CAB^DAB

【答案】B

【分析】根据题意，A8是公共边，结合选项，逐个验证得出.

【详解】解：A、补充BC=BD,先证;陋8P03鲂尸。，后能推出MPC西4PD,故正确，不符合题意；

B、补充AC=AD,不能推出财尸。3财尸D,故错误，符合题意；

C、补充财CB=MZ）B,先证出（MBCmAB。，后能推出财PEMPD,故正确，不符合题意；

D、补充©C4B=0D48,先证出MBCmAB。，后能推出（MPC的4PD,故正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考杳了三角形全等判定，解题的关键是知道有AAS,SSS,ASA,SAS.注意SSA是不能证明三

角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项.

【变式3-3］（2022・全国•八年级课时练习）如图，AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得

0ADE03CDE.现给出如下五个条件：（!）［aA=0C;（2）0B=0D;（3）AE=CC;（4）BE=DE;（5）AD=CB.其中符合要求有（）

AC

E

DB

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】延长DA、BC使它们相较于点F,首先根据AAS证明然后根据全等三角形的性质即

可得到AF=FC,FD=FB,进而得到AD=BC,即可证明AADE酶CBE,可判断①、②的正误；根捱SAS证明

△ADEE0CBE,即判断③、④的正误：连接BD,根据SSS证明AADB豳CBD,根据全等三角形的性质得到团AWC,

结合①即可证明⑤.

【详解】延长DA、BC使它们相较于点F

00DAB=SDCB,回AEDW3BEC

00BM3D

又困FWF,AB=CD

0AFABE0FCD

0AF=FC,FD=FB

(3AD=BC

0AADE0E1CBE,即①正确；

同理即可证明②正确；

I3AE=CE,AB=CD

0DE=BE

又蛮ACD=®B［：C

同△ADEE0CBE,③正确;

同理即可证明④正确；

连接BD.

（3AD=CB,AB=CD,BD=BD

0AADB1313CBD

0Q1DAB=0BCD

0AADE00CBE,⑤正确；

故选D.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS.ASA,难点在于添加辅助线来构

造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等.

【考点4灵活选用判定方法证明全等】

【例4】（2022・湖南•八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（）.

A.有两个角对应相等的两个三角形

B.两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形

C.两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形

D.有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形

【答案】C

【分析】选项A,选项B和选项D分别举出反例的图形即可；选项C根据题意画出图形，延长40至E,使

1

DE=ADf延长40至延,使DE=A'D,连接BE和夕口,根据全等三角形的判定,可证得△BDESACDA,

根据全等三角形性质得BE=力。，乙5=乙。40,同理可得"E'=4C',再由全等三角形的

判定得△ABE三△AB'0,根据全等三角形性质得匕E=乙E',Z.BAE=乙B，AE,进而证得/84C=

最后根据全等三角形的判定证得△ABCA'B'C'.

【详解】A.如图1所示,

在么力DE和△ABC中，/力=/4^ADE=^ABC,匕AE。=4/lCB,但△ADE和△ABC不全等，故本选项不

符合题意；

B.如图2所示，

AE

在Zi48C和△EFG中，BC=FG,AC=EG,AD1BC,EH1FG,AD=FG,但△48C和△EFG不全等,

故本选项不符合题意；

C.如图3所示，

,,,

在A4BC和△&夕。中,点。和点D'分别平分线段BC和夕C',48=AB',AC=ACtAD=AD\延长4。至

E,使DE=A。,延长4。至E',使。'£'=4。'，连接BE和8'4,

团点。平分线段BC,

MD=CD,

^DE=AD,Z.BDE=Z.CDA

0ABDEWACDA

团BE=AC,乙E=LCAD

同理B'E'=AC',NE'=NCS'D'

^AC=A'C

团BE=BE

团4D=A'D1

团4E=A,E,

(MB=A'B'

团ZkABE三△A'B'E'

团△£•二△£•',£.BAE=^B'A'E'

0ZC/1D=Z.C,A,D,

回4BAE+/.CAD=乙B，AE+^C,A,D,

回4BAC=Z.B'A'C

团4B=A'B'

团△4BC^LA'B'C

故本选项符合题意；

D.如图4所示，

在AABC^h4B'C'中，43=A'B^AC=A'C.AD1BC.A'D'1B'C.AD="O',但此时△ABC^AA'B'C

不全等，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，熟记全等三角形的性质定理与判定定理是解本题

的关键.

【变式4-1]（2022•广东•佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非

常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF,GE=GF,则△4EG三△力FG的依

据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可.

【详解】解：在AAEG和AAR7中，

（EG=FG

<AE=AF,

\AG=AG

^AEG^^AFG（SSS）,

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.

【变式4-2]（2022•江苏•泰州市姜堰区第四中学八年级）如图,已知A碗。。，AD0BC,AC与6。交于点O,

4EUBO于点E,C脱1BD于点F,那么图中全等的三角形有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案.

【详解】解：①△/BE三

^ABWCD,AD^BC,

0AB=CD,Z.ABE=Z-CDF.

□ZF1BD^E,CF1BDfE,

^LAEB=乙CFD,

(3AABE三△CDF；

6AOEX:OF.

回4B|£D,AD\\BC,AC为A8CO的对角线，

(2。4=OC,£.EOA=Z.FOC.

^Z.AEO=乙CFO,

[HAAOE=△COF\

@LABO=LCDO.

团4BIICD,ADWBC,AC与BD交干点、O,

00。=08,乙AOB=LCOD,0A=0C,

皿ABOw△CDO；

©△BOC三△004.

IMBIICD,ADWBC,AC与BD交于点O,

(20D=0B,乙BOC=LDOA,OC=OA,

(HABOCz△DOA；

⑤△ABC三△CIM.

团4B|£D,ADIIBC,

WC=AD,DC=AB,/.ABC=LCDA,

^ABC=△CDA；

®^ABD=^CDB.

^ABWCD,AD\\BC,

⑦乙BAD=LBCD,AB=CD,AD=BC,

0AABD^△CDB；

QxADEcCBF.

0ZID=BC,DE=BF,AE=CF,

0AADE=△CBF.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三角形全等的•般

方法有：SSS、SAS、7L4S,ASA、HL,同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易.

【变式4-3］（2022・浙江•八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出0/WC的是（）

A.AB=5,BC=6,AC=7B.AB=5,BC=6,08=45°

C.AB=5,AC=4,0C=9O°D.AB=3,AC=4,0C=45°

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答.

【详解】解.：A.与3c两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出0A8C不符合

题意；

B.13B是A8、BC的夹角，故能唯一画出不符合题意；

C.A8=5,AC=4,0C=9O°,得出BC=3,可唯一画出不符合题意；

D.由于是SS4,所以4B=3,4C=4,0C=45°,不能唯一画出三角形ABC,符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握SS4不能判定三角形全等

是解答本题的关键.

【考点5尺规作图与全等的综合运用】

【例5】（2022•全国•九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A（与点A不重合），并以8C为一边作

△A'BC,使之与△48C全等，且A/BC不是等腰三角形，则符合条件的点A有（）

【答案】C

【分析】本题是开放题，要想使明山。与财3C全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解.

【详解】解：如图:

以B点为圆心，C4为半径上下画弧，C点为圆心，必为半径上下画弧，两弧相交分别得到点“、公二

以C点为圆心，。为半径画弧，以5点为圆心，8A为半径画弧，两弧的交点得到点4'，所以符合条件

的点A，有3种可能的位置.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等的判定综合.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，

然后再根据三角形全等的判定方法去求证.

【变式5-1］（2022•全国•八年级课时练习）如图，以0ABC的顶点4为圆心，以长为半径作弧；再以顶

点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点。；连结人。CD.由作法可得：△ABC三△CZM的根据是

A.SASB.ASAC./L4SD.SSS

【答案】D

【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABE3CD4的根据，本题得以解决.

【详解】解：由题意可得，

AD=BC,AB=CD,

在EAQC和I3CB4中，

（AD=CB

DC=BA,

VAC-CA

（SSS）,

故选:D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答.

【变式5-2］（2022•广东•普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：

画一个山△48C,使乙8=90。，它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了乙M8N=90。

之后，后续画图的主要过程分别如图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是；

【答案】SASHL

【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为S4s.

由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为HL.

【详解】小刘同学画了4MBN=90。后，再截取48,BC两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是54s定

理；

小赵同学画了乙MBN=90。后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是"L定理.

故答案为：①SAS；@HL.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键.

【变式5・3】（2022•北京口01中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条

件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点尸既能在以A为圆心、以8

为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动.图2是操作学具时,所对应某个位置的图形的示意

有以下结论:

①当乙P/1Q=3O。，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△P/Q

②当乙P/Q=90。，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△P4Q

③当乙PAQ=150°,PQ=12时，可得到形状唯一-确定的^PAQ

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③##③②

【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为。点，

作出AP4Q后可得答案.

【详解】如下图，当回阳。=30。，尸Q=6时，以P为圆心，尸。的长度为半径画弧，弧与直线4M有两个交点,

作出AP4Q,发现两个位置的Q都符合题意，所以A/MQ不唯一，所以①错误.

如下图，当朋4Q=90。，PQ=10时，以尸为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出AP4Q,

发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以AP/Q唯一，所以②正确.

如下图，当胡40=150。,PQ=12时，以P为圆心，尸Q的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出AP4Q,

发现左边位置的Q不符合题意，所以APAQ唯一，所以③正确.

综上：②③正确.

故答案为：②③

【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作佟，利用对称

关系作出另一个。是关键.

【考点6证明全等的常见辅助线的作法】

【例6】（2022・江苏・宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①,四边形ABCD中，AB=AD,0B=0ADC=9O0.E,

F分别是BC,CD上的点，且BE+FD=EF.试探究图中团EAF与国BA）之间的数量关系.小明同学探究此问题的

方法是：延长FD到G,使DG=BE,连结AG.先证明△力BE三△40G,再证明△4EF三△4G"，从而得出

团EAFWGAF,最后得U旭EAF与团BAD之间的数量关系是.

（2）将⑴中的条件饰=3ADC=90°"改为飞B+0D=18O0”（如图②）,其余条件不变,上述数量关系是否成

立，成立，请证明；不成立，说明理由

（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（0）北偏西30,的A处，俄

罗斯舰艇在指挥中心南偏东70。的B处，两舰艇到指挥中心距离相等.接到行动指令后，中国舰艇向正东方

向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指

挥中心观测到两舰艇分别到达E,F处且相距280海里.求此时两舰艇的位置与指挥中心（0处）形成的夹

角团EOF的大小.

【答案】（1）I2EAF?BAD；（2;仍然成立，见解析；（3）70°

【分析】（1）根据小明同学的探究方法不难得到既AF=扣BAD：

（2）延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出回BRIADG,然后利用“边角边"证明团ABE

和EADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,0BAE=0DAG,再求出团EAF=（3GAF,然后利用“边角

边"证明团AEF和团GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可；

（3）连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出团0AC+回OBC=180。，判断出符合探索延伸的条件，再根据

探索延伸的结论解答即可.

【详解】解：（1）如图①，延长FD到G,使DG=BE,连结AG.

在EABE和团ADG中，AB=AD,BE=DG,0B=[?1ADG=9O%

团团ABE团圆ADG,0AE=AG,

在EAEF和团AGF中，AE=AG,AF=AF,EF=BE+FD=DG+FD=GF,

团团AEF图2AGF,00EAF=HGAF=1aGAD+0DAF=[?lEAB+[21DAF

00BAD=0EAF+0EAB-H3DAF=20EAF

回回EAF=%BAD

2

(2)0EAF=^0BAD仍然成立.

证明：如图②，延长FD到G,使DG=BE,连接AG.

图2

E0B-H3ADC-18O0,0ADC+OADG-18O%团团B-I3ADG,

00ABE00ADG(SAS).0AE=AG,0BAE=0DAG.

又(3EF=BE+DF,DG=BE,0EF=DG+DF=GF.

回团AEF幽AGF(SSS).E0EAFWGAF.

乂制GAF=E)DAG+同DAF,电EAF=0DAGMDAF=mBAE+(3DAF.

而既AF短BAE+团DAFWBAD,

配IEAFASBAD

2

(3)如图③，连接EF,延长AE、BF相交于点C.

团2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，

即AE=120,BF=160.而EF=280,困在四边形AOBC中,有EF=AE+BF,

又仅OA=OB,且回OAC唱OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

团符合(2)中的条件.

又（a3AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°,00EOF=^?1AOB=70°.

2

答：此时两舰艇的位置与指挥中心（0处）形成的夹角回EOF的大小为70。.

【点睛】本题考查J'全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并

两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点.

【变式6-1］（2022•全国•八年级课时练习）如图，已知：AB=AC,BD=CD,乙4=60。，zD=140°,则

C.40°或70°D.30°

【答案】B

【分析】连接4D,可证△ABDOZMCD,根据全等三角形对应角相等可以得到=z&4D="B4C,

乙ADB=tADC,代入角度即可求出乙B4D和N/1DB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】连接4。，如图，

在么与△力CD中

(AB=AC

[BD=CD,

VAD=AD

:.△ABD^^ACD(5SS),

ALBAD=Z.CAD=-Z-BAC,Z-ADB=jADC,

2

vLA=60°,

：♦乙BAD=£.CAD=30°,

•••LD=140°,

LADB=Z.ADC=-(360°-140°)=110°,

•••LBAD+Z-ADB+Z.B=180°,

•••LB=40°.

故选:B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键.

【变式6-2］（2022•全国•七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定

长.（提示：添加辅助线证明）

（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC,若AB=AC,4ADB=

求证：AD平分484c.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）已知点P是等边三角形A8C内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点。、

点E、点E求证PD+PE+PF为定长，即可完成证明；

（2）（面积法）过点A作AE1BD交BD延长线于点E,再过点A作AF1CD殳CD延长线于点F.因为乙ADB=

Z.ADC,所以4ADE=因此△ACF会ADE（AAS）,得至1以尸=4E.进而△AFC会△AE8,得至1吐力8。=

^ACD,因止匕48Az）=4£40,即A。平分4BHC.

【详解】（1）已知：等边如图三角形ABC,P为三角形ABC内任意一点，PDSLAB,PF0AC,PE0BC,

求证：PD+PE+PF为定值.

证明：如图：过点A作力G，8C,垂足为点G,分别连接4P、BP、CP.

回S"8c=^t^ABP+SABCP+SKAP，

^■BC-AG=-BC-PE+-AC-PF+-AB-PD

2222

XEBC=AB=AC

团AG=PE+PF+PD,即PZ)+PE+PF=AG定长.

团等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.

(2)

过点A作1BD交BD延长线于点E,再过点A作/尸1CD交CD延长线于点F.

团4108=Z.ADC,

回ZJ10E=Z.ADF,

又EAD=AD

回△力。户三力。E(AAS),

^AF=AE

0A24FC=^AEB,

S8D=Z.ACD,

^BAD=Z-CAD,司JA。平分NBKC.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键.

【变式6-3](2022•全国•八年级课时练习)已知等腰团ABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DE0BC,交直

线AC与点E,且BD=BC,CH0AB,垂足为H.

A

E—D

ll

H

R

（l）当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；

（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图3,直接写出BH,

。£之间的数最关系，不需要证明.

【答案】（1）见详解；（2）图2：DH=BH—DE,图3：DE=DH+BH

【分析】（1）在线段AH上截取HM=BH,连接CM,CD,证明△DMCDEC,可得到DE=DM,即可

求解.

（2）当点。在线段BA延长线上时，在84的延长线上截取=连接CM,DC,由题意可证△8HC三4

CHM,可得NB=4CMB,由题意可得即可证△DMC三△DEC,可得DE=DM,则可得=

BH-DE；当点。在线段48延长线上时，在线段4B上截取B”=HM,连接CM,CD,由题意可证△8HC三

△CHM,可得="MB,由题意可得=Z.AED,即可证△DMC=△DEC,可得0E=DM,则可得DE=

DH+BH.

【详解】解：（1）证明：在线段AH上截取=连接CM,CD

0C/4=BC

团ZB=Z.CMB

[MB=AC

=Z.ACB

WE//BC

0Z/WF=CB=Z,AED=Z.ACB,乙CDE=乙BCD

^Z.AED=乙BMC

回NDEC=Z.DMC

BBD=BC

0ZFDC=乙BCD=Z-EDC

团CD=CD

0ACDMCDE

WM=DE

^BH+DE=DM+HM=DH

(2)当点。在线段ZM延长线上时，DH=BH-DE

如图2：在8月的延长线上截取M〃=3〃，连接CM,DC

^AB=AC

^/.ABC=Z.ACB

0FD=BC

⑦匕BDC=乙DCB

WE//BC

团/£=Z.ACB=Z.B=Z.EDB

^CH=CH,BH=MH,Z.BHC=LCHM

0ABHC=^CHM

团，B=4M

0zF=乙M

0ZAYDC=Z.B+^.DCB,乙EDC=^BDC+乙EDB

团iMDC=乙EDC

又叵4E=ZM,DC=CD

0ADEC=△DMC

WE=DM

WH=MH-DM

田DH=BH-DE

当点。在线段A8延长线上时，DE=DH+BH

如图3：当点0在线段48延长线上时，在线段4B上截取="M,连接CM,CD

团=HM,CH=CH,Z,CHB=乙MHC=90°

[?]△MHC"BHC

回匕ABC=乙BMC

团AB=AC

^Z-ABC=Z-ACB

团BD=BC

团NBDC=乙BCD

^BC//DE

回NBCD=Z.CDE,Z.ACB=Z.AED

^Z.BDC=/-CDE,/.BMC=Z-AED,且CD=CD

0ACDM=△CDE

WE=DM

国DM=DH+HM

团DE=DH+BH

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线

证全等是解题的关键.

【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】

【例7】（2022•全国•八年级专题练习）如图，班友?中，团4=45。，［MCB=30o,CO平分财C8,AD^CD,

求证：CD=AB-1-AD

【答案】见解析

【分析】遇到这种CO=A4+A。线段和差问题一般都是截长补短；

方法1：补短A3，构造4E=A3+AQ,证明。。=8£即可；

方法2：补短AO,构造=A8+AO,证明CO=D/即可：

方法3：截长，在CO上截取OE使得OE=A。，构造等腰直角三角形4BF,证明AAEC即可；

方法4：截长，在CO上截取OE使得。E=AO,在CB延长上取点“使得A”=AC,证明A8=EC即可;

【详解】方法1：补短，构造全等

证明：延长网至点E,使得A/）=4E,连接CE

财DECT)

团团。=90°

团团8=45°,(MC^=30°

团团"。=团8+团4。8=45°+30°=75°

(3CD平分(MCA

团酎CO=15°

(WMC=90°-15°=75°

00EAC=0DAC

在(L4QC和财£C中

^AD=AE

团E4C=团。AC

AC=AC

^DC^AEC(SAS)

©EC=CD,0E=0D=9O°,^ECA=^ACD=15°

皿ECB=I3B=45°

©EC=BE

团EC=BE=CD

BCD=AB-^AE=AB-^AD

方法2：补短，构造全等

证明：延长。A至点F,使得A/=A8

陇6=45°,a4c8=30°

013MC=180—0H—(MC5=180°-45°-30°=105°

(3CD是财CB的角平分线

(3财CO=15°

04D0CD,

0(2)0=90%

酿E4C=回。+财。。=900+15°=105°

^\EAC=WAC

在MAC和MEC中

A13=AE

^EAC=^BAC

AC=AC

配WBCmaAEC(SAS)

团团£=(3B=45°,

00fCD=9O°-QE=0^=45°

^CD=DE=AD+AE=AD-{-AB

方法3：截长，构造全等

证明：

在CD上截取DE使得DE=AD

IMD0CD

皿£0=45。，^AEC=135°

过点A作AF^AB交BC于点、F

:泾8=45°,

(3财产B=I3B=45°,a4FC=135°

^AB=AF,BAEC=BAFC

(3CD平分GL4CB

幽4CZ)=15°

回团OAC=90°—IMCQ=9Cr—15°=75°

酿EAC=囱DAC—回。AE=75°-45°=30°

^EAC=^ACF

在EAEC和回。用中

^EAC=^ACF

AC=AC

^AEC=^AFC

0(?L4EC00CM(ASA)

^CE=AF=AB

^CD=DE+CE=AD~\~AB

方法4：截长，构造全等

证明：

在CD上截取。石使得DE=AD

04D0CD

回西£7)=45°,a4EC=135°

在CB延长上取点从使得4H=AC

0a4BC=45o

^ABH=135°

^ABH=^AEC

^AH=AC

酿，=MC3=30°

(3CD平分MCB

13aAe77=15"

[3ia/MC=90°-财€7)=90°—15°=75°

0HEAC=0DAC-0DAE=75O-45O=3O°

团团，=团£4。

在EAB”和国CEA中

^H=^EAC

AH=AC

^ABH=^AEC

^BH^CEA{ASA)

^AB=CE

团CD=OE+CE=AO+A8

【变式7-1］（2022•安徽淮北•八年级阶段练习）如图，在四边形A8CD中，是48力。的平分线,

且力E_LC£若4C=a,BD=b,则四边形/WOC的周长为（）

A.1.5（a+6）B.2a+bC.3a—bD.a+2b

【答案】B

［分析］在线段AC上作AF=AB,证明13AEF00AEB可得（3AFEWB,0AEF=0AEB,再证明团CEF能ICED可得CD=CF,

即可求得四边形A8DC的周长.

【详解】解：在线段AC上作AF=AB,

0AE是48/1C的平分线，

00CAE=0BAE,

又EAE=AE,

(30AEFOAEB(SAS),

能1AFEWB,EAEF=®AEB,

0AB0CD,

团如+团B=180°,

00AFE+@CFE=18O°,

回国DWCFE,

团4E1CE,

00AEF+0CEF=9O°,0AEB+0CED=9O°,

图3CEF=0CED,

在(3CEF和13CED中

Z.D=心CFE

0Z.CEF=4CEO,

CE=CE

能］CEF励CED(AAS)

回CE=CF,

国四边形48。。的周|<<-AC+AB+BD+CD-AC+AF+CF+BD-2AC+BD-2a+b.

故选:B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断.能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

【变式7-2］（2022•山东烟台•七年级期末）在MBC中，0ACB=9OO,AC=BC,。是直线A8上一点（点。

不与点A、8重合），连接。C并延长到石，使得CE=CZ）,过点石作石质直线8C,交直线于点立

⑴如图1,当点。为线段上的任意一点时，用等式表示线段FACF、AC的数量关系，并证明；

⑵如图2,当点。为线段曲的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段石/、CF、AC的数量关系是否

发生改变，并证明.

⑶如图3,当点。在线段A3的延长线上时，直接写出线段AC之间的数量关系.

【答案】（1）AC=EF+FC,证明见解析

⑵补全图形见解析，AC=EF-CF,证明见解析

(3)AC=CF-EF

【分析】(1)过。作。M3C4于"由"4AS'可证团在。2团〃。C,可得CH=FC,DH=EF,可得结论；

(2)过。作。碓。5于〃，由“AA1，可证回"EOmiHOC,可得CH=FC,DH=EF,可得结论.

(3)过。作。加CB交C8的延长线于从由"A4S"可证回五七面”。。，可得C”=FC,DH=EF,可得结论.

(1)

结论：AC=EF+FC,

理由如下：过。作。M3C8于〃，

A

^DHC=WHB=90°

^EF^CF,

00£FC=0D77C=9O°,

在MFC和团〃。。中，

"FC=乙DHC=90°

；Z.FCE=乙DCH，

(EC=CD

^FEC^HDC(AAS),

0CH=FC,DH=EF,

团财6=90°,AC=BC,

005=45%

00D™=9OO,

(3团8=团〃。8=45°

^DH=HB=EF,

电BC=CB+HB

a4C=FC+EF；

(2)

依题意补全图形，结论：AC=EFCF,

理由如下：

过D作DM3CB交BC的延长线于H,

E

^EF^\CFf

□□£FC=0D//C=9O°,

在田产EC和团”OC中，

((FCE=乙DCH

\z-EFC=乙DHC=90°,

(EC=DC

^FEC^HDC(AAS),

^CH=FC,DH=EF,

团皿"75=90",

W=^HDB=45°

田DH=HB=EF,

©BC=HB-CH

^AC=EF-CF.

⑶

AC=CF-EF.

如图3,过。作。M3C4交CB的延长线于从

同理可证团正反国(AAS),

^CH-FC,DH-EF,

团回。“8=90°,

005=0//DB=45°,

⑦DH=HB=EF,

^AC=CF-EF.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题

的关键.

【变式7-3](2022•全国•八年级专题练习)在中，AE,CD为△4BC的角平分线，AE,CO交于点F.

(1)如图1,若乙B=60°.

①直接写出乙4尸C的大小;

②求证：AC=AD+CE.

(2)若图2,若乙B=90。，求证：Si”=SpFD+S«EF+SADEF.

BB

N\EE

A

AC图2

图1