湖南省长沙市名校联合体2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（A卷）含解析

名校联考联合体2025年秋季高二第二次联考(考试范围：必修一~选择性必修第一章)时量：75分钟满分：100分得分：一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.)1.设a=(1,-2,4),b=(2,k,8),若a1//b,,A.4B.-4【解析】【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可.2.在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线1,m的方向向量分别为a=(1,0,-1),b=(-1,1,0),则1,m所成角的余弦值为()【解析】【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】1,m所成角的余弦值3.若全集U=R,A=(-∞0,1),B=[-2,+∞),ABcAB.CA=(0,+∞)C.A∩B=[-1,2]D.AUB=R【解析】C:因为A=[-∞0,1],B=[4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面a,β的法向量分别为n₁=(2,a,3),n2=(1,-1,b),若α⊥β,则a-3b=()【解析】5.若向量m=(0,0,-1),n=(1,0,1),则m在n上的投影向量为()【解析】【解析】【分析】根据空间向量基底的概念进行判断【详解】对A:假设p,2q,3r在同一个平面内，则3x,y∈R,3r=xp+2yq,所以3x,y∈R,所以p,q,共面，这与{p,q,}是空间的一个基底矛盾，所以假设不成立，所以p,2q,3r不共面.所以{p,对C:因为(q+2F)=q+2i,故q,F,q+2r共面，所以{9,F,q+2F}不能构成空间的一个基底，故C错对D:因为(2F-p)=2F-p,错误.7.已知ac≠0,为常数”的()【答案】C【解析】【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可.8.若关于x的方程-4cos²x+cosx=a在内有两个不同的解，则(A.-3<a<0【答案】D【解析】【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可.【详解】u=f(x)=cosx,9y=g(u)=-4u²+u,y=a₂oy=a₁y=-3u工2元30要使得关于x的方在内有解，必须0<u≤1.当a=-3时，u=1,此时方程u=cosx,只有一个解，不符合题意；时，,此时方程u=cosx,有两个不同的解；只有一个解，不符合题意；,此时方程u=cosx,有两个不同的解；当时，此时方程u=cosx,只有一个解，不符合题意，综上，或故选：D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.z₁=1-√3iB.z₂=1+√3iC.Z₁Z₂=-2【解析】A.若P(N)<P(M),则N≤MB.若P(MN)=0.2,P(M)=0.4,P(N)=0.5,C.若M,N互斥，P(M)=0.1,P(N)=0.2,则P(MUN)=0.3D.若P(MUN)=0.8,P(M)=0.4,P(N)=0.5,则P(MN)=0.2【解析】B.因为P(MN)=0.2,P(M)=0.4,P(N)=0.5,所以P(MN)=P(M)P(N),C.因为M与N互斥，P(M)=0.1,P(N)D.因为P(MUN)=0.8,P(M)=0.4所以P(MN)=P(M)+P(N)-P(MUN)=0.1,11.如果正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,动点M满足AM=pAB+qAD+rAA₁,p,那么下列说法正确的是()【解析】【详解】得CM=rAA,所以C₁M的最小值为,所以B错误；当p+r=1,q=0时，得AM=pAB+rAA₁,则M在线段A₁B上运动，所以DM所在的平面为A₁BD,因为平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁平行，所以△A₁BD所在平面与平面BCC₁B₁所成夹角即为△A₁BD所在平面与平面ADD₁A₁取A₁D的中点为0,连接OA,OB,所以M的轨迹的体积,所以D正确.故答案为：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设P(0,1,-1),Q(1,-2,0)在xOz平面上的射影分别为P,Q₁,则线段PQ的长为【解析】【分析】根据射影的概念以及两点距离公式，可得答案.【详解】由己知得：P(0,0,-1),Q(1,0,0),则PQ|=√(0-1)²+(0-0)²+(-113.若空间三点A(-1,1,0),B(0,0,-1),C(1,-1,1),【答案】【解析】【分析】利用空间向量模及夹角的坐标表示，结合三角形面积公式求解.,在△ABC中，所以△ABC的面积【答案】2,3,4【解析】【分析】根据√7的整数部分与小数部分进行求解即可.【详解】因为b<c,所以由设故即→(√7-2)c+7+4-4√7=b=所以故答案为：2,3,4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学男生身高：170,170,172,169,175,180,182,171,171,176,177,178;女生身高：165,160,171,160,166,164,168,170.(1)试估计高一男生的平均身高；(2)试估计高一女生身高的中位数；(3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少?【答案】(1)174.25cm【解析】【分析】(1)根据平均数的运算公式进行求解即可；(2)根据计算中位数的步骤进行求解即可；(3)根据概率和频率的关系进行求解即可.【小问1详解】抽样的12名男生的平均身高为【小问2详解】女生身高从矮到高排列为：160,160,164,165,166,168,170,171,抽样的8名女生身高的中位数为所以可以估计高一女生身高的中位数为165.5cm;【小问3详解】从20个学生样本中，随机抽取一个，抽到女生的频率为用频率估计概率，从1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为0.416.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的法向量为n=(-1,1,1),直线l的方向向量为a=(0,1,0),且lnα=O(0,0,0).(1)求l与α所成角的正弦值；(2)求空间一点A(1,1,2)到I的距离.【答案】(1)【解析】【分析】(1)由向量法线面夹角公式即可求解；(2)由点到线向量法距离公式即可求解【小问1详解】设l与α所成的角为θ,即l与α所成角的正弦值【小问2详解】 因为a=(0,1,0),所以OA在1上的射影长度为(2)求f(x)的最小正周期，并写出单调递增区间；【答案】(1)【解析】【分析】(1)由诱导公式及辅助角公式进行求解；(2)由周期公式及单调性求解；(3)由由两角和的余弦公式求解.【小问1详解】【小问2详解】单调递增区间,k∈Z【小问3详解】因为,所以,即因为,所以,所以18.如左图，在平行四边形ABCD,已知AB=1,BC=2,AC=√3,将三角形BAC沿着AC折起得到右图中的二面角B-AC-D,(1)求证：AB⊥平面ACD;(2)求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值；(3)设,判断三棱锥E-ACD外接球的球心O与B所连线段和平面ACD是否有交点，并求此外接球的半径.【答案】(1)证明见解析(3)有交点，【解析】【分析】(1)由线面垂直的判定定理进行求解；(2)建立空间直角坐标系Axyz,进行求解；【小问1详解】因为AB=1,BC=2,AC=√3,所以BC²=AB²+AC²,所以AB⊥AC,CA⊥D,所以AB⊥AD,因为ACnAD=A,AC,ADc所以AB⊥平面ACD.平面ACD,【小问2详解】过A点在平面ACD内作一条直线/11D,因为CA⊥CD,所以直线AC,/,AB两两垂直，分别以直线AC,/,AB为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(√3,1,0),C(J3, 所以AD=(√3,1,0),CD=(0,1,0),BD=(√3,1,-1),设平面ABD的法向量为m=(a,b,c),不妨取m=(1,-√3,0),设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),不妨取n=(1,0,√3),【小问3详解】而AD的中点坐标因为AC⊥CD,所以三角形ACD的外心为AD的中点，所以可以设E-ACD外接球的球心为解得,所以O和B位于平面ACD的异侧，故线段OB与平面ACD有交点，(2)设函数φ(x),9₂(x)的定义域均为I,若3K>0,Vx₁,x₂∈I,q(x₁)+42(x₂)|≤K,则称请判断φ(x),Q2(x)是否是IUI₂上的“和有界函数对”,若是，请给出证明；若不是，请给出反例.【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②是，证明见解析【解析】【分析】(1)结合绝对值的几何意义取绝对值，再利用不等式的性质证明即可；(2)①根据题干所给定义证明即可；②根据题干所给定义，结合(1)的结论证明即可.【详解】(1)因为a,b∈R,所以-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,(2)①因为φ(x),2₂(x)是I上的“和有界函数对”,由x₁的任意性，得Vx∈I,q₁(x)+42(x)|≤K②φ(x),φ₂(x)是I₁UI₂上的“和有界函数对”,证明如下：因为φ(x),φ₂(x)是I₁上的“和有界函数对”,φ(x),φ₂(x)是I₂上的“和有界