山东省青岛市黄岛区2025-2026学年高三上学期10月考数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省青岛市黄岛区2025-2026学年高三上学期10月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A=x∈A．3 B．4 C．7 D．82．函数fx=sinA．π2 B．12 C．π3．命题“∀x∈[A．a≥4 B．a≤4 C．4．设复数z1=a+2i,z2A．23,1 B．23,+5．已知向量a=−1,3，b=(A．12 B．−12 C．−6．若sinα−β=35，cos2A．−2425 B．1325 C．7．函数fx的定义域为R，对任意的x1，x2A．f1<fC．f−2<8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点Px0，y0的坐标可以表示为acos3A．2 B．3 C．2 D．5二、多选题9．记△ABC的内角A, B,A．c=3 C．△ABC的周长为6+310．已知函数fx=sin

A．函数y=fx的图象可由yB．直线x=−11C．函数y=fD．直线y=12与函数y11．在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α (0<A．存在90°B．80°旋转函数一定是70C．若g(x)=D．若h(x)=三、填空题12．已知向量a与b的夹角为π4,b→13．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，AD=3，CD14．若函数y=fx的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=fx具有T性质.若函数gx=ax−c2+b四、解答题15．已知△ABC中，a, (1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC/(2)若PE=2ED17．如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4(1)求线段AD，B(2)求∠E18．已知函数fx（1）若a=0，求曲线y=（2）若a=12求证：当x（3）若对任意的实数x∈0,19．已知函数fx(1)证明：曲线y=fx(2)当x>0时，fx(3)证明：对于任意的n∈答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山东省青岛市黄岛区2025-2026学年高三上学期10月考数学试题》参考答案题号12345678910答案DCCDBDBDACDBD题号11答案ACD1．D【分析】先用列举法写出集合A=【详解】由已知得集合A={1故选：D.2．C【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案.【详解】因fx=sin故选：C3．C【分析】求出命题“∀x【详解】由x2－a当x∈[1,2则a的取值范围为A=满足其一个充分不必要条件的集合为B，则：B为A的真子集,故其一个充分不必要条件是：a>故选:C.4．D【分析】先表示复数z1−z【详解】由题意z1−z2因为z1所以a−1>02故选：D5．B【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解【详解】2a−b因为(2a−b)故选：B6．D【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得sin2α，cosα【详解】因为α,β都为锐角，所以0<α,所以−π因为cos2α=−3因为sinα−β所以cosα所以sin=4故选：D.7．B【分析】由条件推出fx在1，+∞上单调递减，又由函数fx+1【详解】因为fx且对任意的x1，x设x1<x2，则有fx又因为函数fx+1所以fx的图象关于直线x=1则f-故选：B.8．D【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可.【详解】∵x0y∴x令x0=a∴acos3∴sin∴sin∴x解得a=故选：D9．ACD【分析】首先根据正弦定理求出∠B，然后可求得sinC的值，然后根据正弦定理求出【详解】根据正弦定理asinA=因为0<B<所以sinC根据正弦定理，csinC=所以△ABC因为asinA=2R所以△ABC故选：ACD.10．BD【分析】由题，求出函数fx【详解】由题，可得T4=π12−∴f又fπ12=1，即sinπ∴f对于A，将y=sin2x的图象向左平移对于B，因为f−11π12=对于C，令−π2+2k所以函数fx的单调递增区间为−对于D，因为x∈0,10π所以函数y=sint在t即直线y=12与函数f

故选：BD.11．ACD【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将45°【详解】对A，如y=对B，如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是对C，若g(x)=ax+1x为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+当a=1时，当a≠1时，a−1x2−bx对D，同C，h(x)=bxex与y=又g′1=−1即y=ex图象在y=−当y=ex与y=−bx−1相切时，可设切点x0,ex故选：ACD12．3【分析】根据向量的模、向量夹角的余弦公式、向量的数量积等知识进行求解即可.【详解】向量a与b的夹角为π4所以2b即4−a→又a→>0故答案为：3213．1【分析】建立平面直角坐标系，设BF【详解】建立平面直角坐标系如图，则A0,0，B2,因为点O，E为AB,BC的中点，则可得OE=12,又因为点F在BC边上运动(包含端点)，设B则OF可得OE所以OE⋅O故答案为：1214．−【分析】根据三角函数辅助角公式和b2+c2=1将函数解析式中的b，c消去，再求出函数导数，根据题意利用导数列式表示出T性质，将式子展开后把等式当作一个关于a的方程的有解问题，根据一元二次方程有解条件化简等式求解出a值，再根据b2【详解】由题意可得，gx=ax+b2sin2x+c2cos2x=将上式视为关于a的方程，则其判别式：Δ=即Δ=cos2x1−1≤cos2x2+φ≤代入方程可得a2=0另一方面，由b2+c2=1，可设则b+c=cosθ故答案为：−2【点睛】思路点睛：对于函数新定义，解题第一步都是模仿定义列式求解，此题难度不在于新定义，而在于式子的复杂性，一方面需要根据题意优先化简函数解析式，为求导后的计算打下基础；另一方面，在求导后的计算中，要将a作为主元进行求解，因此展开方程即便系数复杂，也能看出方程本质为关a的一元二次方程，最终按照一元二次方程性质解题即可.15．(1)2(2)2【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案（2）利用三角形的面积关系S△AB【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及2化简可得：b2由余弦定理得cosA又0<A（2）AD是△AB由S△A因为b=3，c=故AD16．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行；（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面EAC和平面【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，因为E为PD所以EF因为AD所以EF所以四边形EFBC又BF⊂平面PA所以EC//（2）因为AB⊥AD,故可以A为原点，AB,A则A0因为PE=2所以AC=设平面EAC的法向量为则n取y=1，得所以n=因为AB⊥A所以AD⊥平面所以AD=0,设平面EAC与平面PA则cosθ所以平面EAC与平面PA17．(1)AD=(2)3【分析】（1）由BE2=（2）由AD与BE的夹角即为【详解】（1）解：由题意，AB=2又BE所以BE2=∴BE=2∵AD∴AD2∴AD=（2）解：∵B∴AD⋅BE=∵AD与BE的夹角即为∴cos18．（1）y=x；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）当a=0时，fx=e（2）当x∈0,1时，（3）由分析可得由（2）可知，当a≥12时，ex−x2∀x∈0,+∞,【详解】（1）当a=0时，则f′x=所以切线方程为：y=（2）当a=12当x∈0设gx则g当0<x<1时，所以，当x∈0,所以当x∈0,（3）由（2）可知，当a≥ex−x所以，当a≥12时，命题（3）结论不成立，所以以后遇到需要对a∀x∈设函数h则h=设tx=e当x>0,t′令h′x=所以，当0<x<当x>1时，所以，h(由于hx≥2所以对任意的实数x∈0,+∞【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了导数的几何意义，同时考查了转化思想和恒成立思想，计算量比较大，属于难题.本题的关键点为：（1）利用导数研究函数的单调性和最值以及证明不等式；（2）参变分离构造函数求参数范围.19．(1)证明见解析(2)a(3)证明见解析【分析】（1）求出定义域后证明fx（2）令t=1+1x>1，则f（3）令hn=2lnn!+【详解】（1）由题意可