专题03因式分解（期中复习讲义）

专题03因式分解（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律因式分解能判断是否是因式分解选择题考查居多，多以整式乘法与因式分解综合考查因式分解的方法熟练掌握5大方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法填空题和解答题考查居多，公式法、十字相乘法和分组分解法是高频考点知识点01因式分解的意义1.因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性；因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需要因式分解；因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数；因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子,符合以上条件则是因式分解.2.公因式（1）定义一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.（2）确定公因式的一般步骤①定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“”号，使括号内第一项的系数成为正数；②定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数；③定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次.上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略.知识点02因式分解的方法1.提取公因式法（1）提取公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.（2）提取公因式法的一般步骤①确定各项的公因式；②提出这个公因式并确定另一个因式；③把多项式写成因式积的形式.（3）提取公因式法的依据提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用【注意要点】1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项3.如果某项全部提出，括号里对应的项是14.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确2.公式法的定义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.3.因式分解的平方差公式（1）定义语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.（2）特点①等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反；②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积.4.因式分解的完全平方公式(1)定义这两个公式叫做因式分解的完全平方公式语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和(或差)的平方.（2）特征①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可.②等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方5.十字相乘法（1）定义利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.（2）用十字相乘法分解的多项式的特征①必须是一个二次三项式;注意:公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体.（3）用十字相乘法分解因式的符号规律①当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同;②当二次项系数为正数且常数项是“”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“”的，则负因数的绝对值大;③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项.6.分组分解法（1）分组分解法如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法.（2）分组原则①分组后能直接提取公因式,多见四项多项式.②分组后能直接运用公式法,多见四项多项式22分组.③分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式13分组.题型1判断是否是因式分解例1（2425七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（

）【答案】A【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确；B、是整式的乘法，此项错误；C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误；D、是整式的乘法，此项错误，故选：A．【变式11】（2324七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（

）【答案】D【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义依次判断即可．【详解】解：A、24不是一个多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；故选：D．【变式12】（2425七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．综上所述，因式分解有2个．故选：B【变式13】（2425七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（

）【答案】A【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．故选：A．题型2已知因式分解的结果求参数【答案】【知识点】已知因式分解的结果求参数故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键．A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6【答案】C【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数故选：C．A．14 B．2 C．16 D．【答案】C【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式故选：C．【变式23】（2425七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题：(1)上述式子中，；【答案】(1)，(2)【知识点】已知因式分解的结果求参数【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可；（2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可；故答案为：，；故答案为：；题型3提公因式法分解因式【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可．【知识点】提公因式法分解因式【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可．【知识点】提公因式法分解因式【知识点】提公因式法分解因式、多项式乘多项式——化简求值【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解．【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法．提出公因式即可．题型4平方差公式分解因式例4（2425七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：【知识点】十字相乘法、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】此题考查了因式分解．【知识点】平方差公式分解因式【分析】此题考查了因式分解．连续两次利用平方差公式进行分解即可．【答案】8016【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算．故答案为：8016．题型5完全平方公式分解因式【知识点】完全平方公式分解因式【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式因式分解即可．【知识点】完全平方公式分解因式【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键．【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、完全平方公式分解因式【知识点】完全平方公式分解因式题型6综合运用公式法分解因式【答案】5【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、综合运用公式法分解因式故答案为：5．【变式61】（2425七年级上·上海嘉定·期中）因式分解【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、提公因式法分解因式、综合运用公式法分解因式【分析】本题主要考查了分解因式：（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可；【知识点】分组分解法、综合运用公式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【知识点】综合运用公式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解．题型7综合提公因式和公式法分解因式【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】先找出多项式各项的公因式，通过提取公因式的方法将公因式提出，再对剩余的多项式进行分析，若还能分解则继续分解，直到不能再分解为止．本题主要考查了提公因式法与公式法（完全平方公式）的综合运用进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式的形式，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、积的乘方的逆用【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】36或60【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、通过对完全平方公式变形求值题型8因式分解在有理数简算中的应用【知识点】十字相乘法、因式分解在有理数简算中的应用【答案】16【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可．．【变式82】利用因式分解计算：(2)4(3)0【知识点】因式分解在有理数简算中的应用【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）利用提公因式法进行计算即可；（4）整理后，利用提公因式法进行计算即可．；；题型9十字相乘法【知识点】十字相乘法【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可．【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可．【知识点】十字相乘法【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解．【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解．【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．【知识点】十字相乘法【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式A．10 B．17 C．15 D．8【答案】C【知识点】十字相乘法【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和．∴整数k的值是或或，观察四个选项，C选项符合题意．故选：C．题型10分组分解法【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法【知识点】十字相乘法、分组分解法、综合运用公式法分解因式【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用．【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可．【知识点】分组分解法期中基础通关练（测试时间：10分钟）【知识点】平方差公式分解因式【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可．【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了分解因式，先利用平方差公式分解因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可．【答案】【知识点】已知字母的值，求代数式的值、构造二元一次方程组求解、完全平方公式分解因式故答案为：．期中重难突破练（测试时间：10分钟）【答案】C【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用故选：C．【答案】【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用∴异号，∵最小，∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数，故答案为：．【答案】【知识点】因式分解的应用利用上述规律，回答下列问题：【答案】(1)；【知识点】十字相乘法、分组分解法、加减消元法、因式分解的应用【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：(1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为；②求图中空白部分的面积．