专题34双曲线及其标准方程（举一反三讲义）数学人教A版选择性

专题3.4双曲线及其标准方程（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1双曲线的定义及辨析】 1【题型2曲线方程与双曲线】 3【题型3双曲线的标准方程的求解】 5【题型4根据双曲线方程求a、b、c】 8【题型5求双曲线的轨迹方程】 9【题型6双曲线中焦点三角形问题】 12【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 15【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】 17知识点1双曲线的定义1．双曲线的定义【题型1双曲线的定义及辨析】【例1】（2425高二上·云南曲靖·期末）双曲线x2−y216=1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么点A．2 B．6 C．2或6 D．4【答案】B【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.【解答过程】双曲线x2−y设双曲线的两个焦点为F1，F2，已知|PF1|=4当4−|PF2|=2当4−|PF2|=−2时，可得|PF2在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为c−a.对于双曲线x212那么c−a=17−1，因为16=4，17这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2，所以要舍去|PF因此|PF2|=6，即点P故选：B.【变式11】（2425高二上·广东·期中）已知双曲线C:x24−y212=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线A．9 B．1 C．1或9 D．11或9【答案】A【解题思路】根据双曲线定义可求得PF2，再根据PF2【解答过程】根据双曲线定义可得PF1−所以PF2=1又c2=a而PF2≥c+a=6所以PF故选：A.【变式12】（2425高二上·北京延庆·期末）已知P是双曲线C:x24−y2A．±4 B．4 C．8 D．4【答案】B【解题思路】根据双曲线定义可得P到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为2a，即可得解.【解答过程】由x24−y2再由双曲线定义可得P到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为2a=4.故选：B.【变式13】（2425高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点M为双曲线C:x29−y216=1左支上的一点，F1,F2A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解题思路】由双曲线的定义即可求解.【解答过程】因为M为双曲线C:x29−y所以MF2−由于a=3,b=4,c=a所以MF故选：B.知识点2双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系2．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程(2)用待定系数法求双曲线的标准方程【题型2曲线方程与双曲线】【例2】（2526高二上·全国·单元测试）已知方程x23+m−y2m+5=1表示双曲线，则A．(−5,−3) B．(−C．(3,5) D．(−【答案】B【解题思路】利用双曲线的标准方程即可得到结果.【解答过程】因为方程x23+m−y2m+5=1故m的取值范围为(−∞故选：B.【变式21】（2425高二上·北京延庆·期末）“m>3”是“方程x23−m−y2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解题思路】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论.【解答过程】若“方程x23−m−y21−m=1当m>3时，方程x23−m−因此“m>3”是“方程x23−m−故选：C.【变式22】（2425高二上·山东青岛·阶段练习）关于x，y的方程x2A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时，焦距为定值【答案】C【解题思路】根据m的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项.【解答过程】对于A，若方程表示双曲线，则(4−m)(3+m)>0，即−3<m<4，所以方程可以表示双曲线，故A正确；对于B，若方程表示椭圆，则4−m>0−(3+m)>04−m≠−(3+m)，即对于C，若方程表示圆，则4−m=−(3+m)，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误；对于D，由A可知当方程表示双曲线时−3<m<4，c2=a故选：C.【变式23】（2425高二上·全国·课后作业）对于方程x2+y2sinα=1A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若α为负角，则曲线C为双曲线C．若α为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则其焦点在x轴上【答案】B【解题思路】对A，根据α=0的取值，即可判断选项.；对B若α为负角，即−π2≤α<0【解答过程】对A，当α=0，即sinα=0时，曲线C的方程为x此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；对B，若α为负角，即−π2≤α<0此时曲线C为双曲线，故B正确；对C，若α为正角，即0<α≤π2，当α=π则曲线C的方程为x2对D，若C为椭圆，则0<sinα<1,1sinα则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误．故选：B．【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】（2425高三上·河北·期中）已知双曲线经过点A22,3A．x24−C．y23−x2【答案】A【解题思路】设双曲线方程为mx2+n【解答过程】设双曲线方程为mx则222m+所以双曲线的标准方程为x2故选：A.【变式31】（2425高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1,F2分别为−5,0和5,0，点PA．x22−C．x2−y【答案】D【解题思路】根据双曲线的定义确定a,b的值，可得双曲线的标准方程.【解答过程】不妨设点P在第一象限.设PF1=根据题意：t1所以t1−t22=t所以双曲线的方程为：x2故选：D.【变式32】（2425高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=25，经过点A2,−5，焦点在(2)过点A3,2和B【答案】(1)y(2)x【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为y2a2（2）设双曲线方程为mx2−ny2【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为y2由a=25，经过点A可得−5225故双曲线的标准方程为y2（2）依题意设双曲线方程为mx则9m−4n=1289m−144n=1，解得m=1所以双曲线方程为x2【变式33】（2425高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)半焦距为6，经过点−5,2，且焦点在x轴上；(2)两个焦点的坐标分别为F10,−5，F20,5，双曲线上一点P到(3)与双曲线x216−【答案】(1)x(2)y(3)x【解题思路】（1）可设双曲线的标准方程为x2a2−y（2）设标准方程为y2a2−x（2）方法一：设双曲线的标准方程为y2a2方法二：设双曲线的标准方程为x216−k−y24+k=1（−4<k<16【解答过程】（1）因为半焦距为6，且焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为x2因为双曲线经过点−5,2，所以25a解得a2=5或于是双曲线的标准方程为x2（2）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2因为2a=6，c=5，所以a=3，b2于是双曲线的标准方程为y2（3）方法一：设双曲线的标准方程为x2点32,2在双曲线上，故又a2+b2=16+4=20则双曲线的标准方程为x2方法二：设双曲线的标准方程为x216−k−y2将点32,2代入方程，解得k=4或k=−14（舍去），则双曲线的标准方程为【题型4根据双曲线方程求a、b、c】【例4】（2425高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线x2m−1−y29=1的一个焦点坐标为A．24 B．25 C．7 D．8【答案】D【解题思路】由双曲线标准方程得a2=m−1,b2=9【解答过程】由题意a2=m−1,b2=9故选：D．【变式41】（2425高二上·河南驻马店·期中）若椭圆x23+y27=1A．4 B．−4 C．−2 D．2【答案】D【解题思路】求出椭圆的半焦距，利用双曲线y22−【解答过程】由题知，椭圆x23+所以2+m=2，解得m=2故选：D.【变式42】（2425高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线x2m+y2A．m+n=1 B．m−n=1 C．m+n=−1 D．n−m=1【答案】D【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.【解答过程】因为知双曲线x2m+所以x2m+故n−m=c故选：D.【变式43】（2425高三上·上海虹口·期中）若椭圆x24+y2a2=1与双曲线A．1 B．3 C．±1 D．±【答案】C【解题思路】由双曲线方程可知焦点在x轴上，结合椭圆方程和双曲线方程列式求解即可.【解答过程】由双曲线x2a2由题意可得：4−a2=故选：C.【题型5求双曲线的轨迹方程】【例5】（2425高二上·山东·阶段练习）动点Mx,y与定点F3,0的距离和它到定直线l:x=43的距离的比是32A．x25−y24=1 B．【答案】B【解题思路】利用直接法求解.【解答过程】解：由题意可得x−32化简得x2故选：B.【变式51】（2425高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点A2,0，且和定圆C:x+22+yA．x2−yC．4x2−【答案】D【解题思路】根据动圆与定圆外切得出PC−【解答过程】定圆的圆心为C−2,0，与A设PA=r，由两圆外切可得PC=1+r，所以所以，点P的轨迹为双曲线的右支.设双曲线的方程为x2a2−y2b所以，点P的轨迹方程为4x故选：D.【变式52】（2425高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（

）的方程上.A．x2260100−y2229900=1C．y=0(x≤−700或x≥700) D．x【答案】D【解题思路】根据双曲线的定义进行求解即可.【解答过程】设炮弹爆炸点为P，由题意可知：PA−显然点P的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有2a=1020,2c=1400，可得：a=510,c=700，于是有b=c根据四个选项可知，只有选项D符合，故选：D.【变式53】（2425高二上·四川绵阳·期中）已知A(−1,0)，B(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率之积为1，则点M的轨迹方程为（

）A．x2+yC．x2−y【答案】B【解题思路】设点M(x,y),根据题意建立方程，化简即得点M的轨迹方程，同时要注意条件x≠±1的满足即得.【解答过程】设点M(x,y)，则kAM化简即得：x2即点M的轨迹方程为：x2故选：B.知识点3双曲线的焦点三角形1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1||PF2||=2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；(3)焦点三角形的常用结论【题型6双曲线中焦点三角形问题】【例6】（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:y24−x2=1的上、下焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线CA．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【解题思路】利用双曲线的定义可求得△ABF【解答过程】如图，由题意可得a2=4⇒2a=4，△ABF由双曲线的定义可得AF2−AF1=所以AF2+所以△ABF故选：B.

【变式61】（2425高二上·吉林·期末）已知F1，F2分别是双曲线C：x24−y23=1的左、右两个焦点，点PA．1 B．3 C．3 D．3【答案】D【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解．【解答过程】已知F1，F2分别是双曲线C：x24−则||PF1|−|P又∠F则|F即28=4即|PF即△F1故选：D.【变式62】（2425高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22(1)设点A的坐标为4,0，求PA的最小值；(2)若F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，【答案】(1)393(2)3.【解题思路】（1）设出点P的坐标为x0,y0，表示出（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出PF【解答过程】（1）

设点P的坐标为x0则|PA|因为x0≥2，所以当x0=（2）由双曲线的定义知PF由余弦定理得(23根据①②可得PF1P【变式63】（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:x2a(1)若双曲线C与椭圆x24+y2(2)若b=1，点P在双曲线右支上，且∠F1P【答案】(1)x2(2)3.【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.【解答过程】（1）椭圆x24+y2依题意，4a2−1b2=1（2）设|PF1|=m，|P在△PF1F则mn=4c2−4a2【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】【例7】（2425高二上·河南南阳·期中）已知P为曲线C:x=1+y22上任意一点，A(−3,0)，B(0,A．2+15 B．C．43 D．【答案】D【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.【解答过程】由x=1+y22，得x2A(−3,0)为该双曲线的左焦点．设右焦点为A'所以PA=PA当且仅当点P在线段A′B上时，等号成立，所以PA+故选：D.【变式71】（2025·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【答案】A【解题思路】利用双曲线的定义表示PF【解答过程】因为F1，F2为双曲线C:x24所以PF所以P=PF2+16因为c=a2+b2=6故选：A.【变式72】（2425高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点A,B，且AB=8，动点P满足PA−PB=4，则【答案】6【解题思路】根据动点P满足PA−PB=4<AB=8，得到点P的轨迹是以A，B【解答过程】因为动点P满足PA−所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，则2a=4,2c=8，即a=2,c=4,b不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为x2左焦点为A−4,0，右焦点为B设Px0,所以PA=所以PA的最小值是6，故答案为：6.【变式73】（2425高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线C：x29−y216=1的左焦点为F，且【答案】2【解题思路】设Px0,y0【解答过程】设Px0,y0又PF2又x0≤−3或所以PF即PF的最小值为2，当点P为双曲线左顶点时取最小值.故答案为：2.【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】【例8】（2425高二上·江西·阶段练习）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F2，点P在C的右支上，且A．4−23 B．C．15−23 【答案】D【解题思路】利用双曲线的定义将PQ+PF【解答过程】由题知，a2=3，b2设双曲线C的左焦点为F1，则F1−2,0，F22,0由双曲线的定义知PF所以PQ+当F1所以PQ+PF故选：D.【变式81】（2425高二上·江苏苏州