专题01三角形（期中知识清单）（原卷版）八年级数学上学期人教版2024

专题01三角形（6知识&7题型&3易错&7方法清单）【清单01】三角形1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．2.按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．3.三角形具有稳定性．4.三角形的重心是三角形三边中线的交点．【清单02】三角形三边关系1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【清单03】三角形的角平分线、中线和高1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【清单04】三角形内角和定理1.三角形的内角和定理文字语言几何语言图形三角形的内角和等于180°在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°2.三角形内角和定理的操作探究如图，把△ABC的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ABC三个内角的和等于180°.3.三角形内角和定理的证明思路证明思路利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC的三个内角转化为一个平角利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ABC的三个内角转化为一个平角利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角【清单05】三角形的外角1.三角形的外角：如图①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.特别提醒：如图②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.2.外角性质(三角形内角和定理的推论)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.符号语言：如图①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.3.三角形的外角和定理在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和.三角形的外角和为360°如图，∠1＋∠2＋∠3＝360°【清单06】直角三角形的性质与判定1.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’2.直角三角形的性质与判定文字语言几何语言图形性质直角三角形的两个锐角互余在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=90°判定有两个角互余的三角形是直角三角形在△ABC中，∵∠A＋∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形【题型一】三角形的相关概念【例1】（2425八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（

）【变式11】（2425八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（

）A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形【变式12】（2425八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型二】三角形的三边关系【例21】（2425八年级上·安徽合肥·期末）一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（）A．13 B．18 C．23 D．26【变式21】（2425八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（

）A．3 B．5 C．7 D．8【变式24】（2425八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，．(1)求的取值范围；(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？【题型三】三角形的重要线段【题型四】三角形的内角与外角A． B． C．或 D．【题型五】三角形的中线与周长A．0 B．1 C．2 D．3A． B．4 C．或4 D．或4【题型六】三角形的中线与面积A．3 B．2 C．1 D．【题型七】等积法的应用

【题型一】忽略三角形三边关系而致错【例1】若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为____.易错警示对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形.【变式11】（2425八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（

）A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对【题型二】忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解【例2】［2025河南商丘期末］在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:m:3，则m的值是易错警示没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，注意不要漏解.A． B． C．或 D．【题型三】忽视点的位置导致漏解【例3】在△ABC中，∠ABC=30∘，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点P为边AC上一点，PO⊥BD，垂足为O，则易错警示点P的位置需分两种情形：点P在线段CD上或在线段AD上,不要漏解.【变式31】已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高（点D不与点B重合），若AD=4，CD=5，则BD的长为(A.1B.1或11C.7 D.7或17A． B． C．或 D．无法确定【题型一】A字模型【模型解读】【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A.证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°.【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E.证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180°,∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E.【题型二】飞镖模型（或燕尾模型）【模型解读】结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D.证明：延长BC交AD于点F.∵∠1=∠A+∠B,∠BCD=∠1+∠D,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D.A． B． C． D．A． B． C． D．【题型三】8字模型【模型解读】结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D.证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B.∵∠BEC是△CDE的外角,∴∠BEC=∠C+∠D,∴∠A+∠B=∠C+∠D.【变式32】（2425八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系．【题型四】双内角平分线模型【模型解读】如图,BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则∠P=90∘A． B． C． D．．【题型五】内外角平分线模型【模型解读】如图,BP，CP分别是∠ABC，∠ACE的平分线，则∠P=12【变式5