2025-2026学年重庆市南开中学九年级（上）期中数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市南开中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中最小的数为（）A.-3 B.-1 C.0 D.12.以下四个省份的文旅logo,是轴对称图形的是（）A. B.

C. D.3.下列问题适合使用全面调查（普查）的是（）A.检测重庆市的饮水质量 B.检查音乐节进场观众是否携带违禁品

C.调查一批盲盒的质量达标情况 D.了解全国学生每天的运动量4.如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，若△ABC的周长为9，则△A′B′C′的周长为（）A.4

B.5

C.6

D.85.已知，则a的取值范围为（）A.3＜a＜4 B.4＜a＜5 C.5＜a＜6 D.6＜a＜76.已知二次函数y=x2-4x+3，其图象上有两点A（-1，y1），B（4，y2），则y1和y2的大小关系为（）A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1=y2 D.不能判断7.用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有7颗棋子，第③个图案中有10颗棋子，第④个图案中有19颗棋子，……以此类推则第⑧个图案中，棋子的个数是（）

A.65 B.66 C.67 D.688.为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习.本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了50%.为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为x,若小南周四跳绳量为500个，则小南周日跳绳量y关于x的函数关系式为（）A.y=500（1+50%）（1+x） B.y=500（1-50%）（1+x）

C.y=500（1-50%）（1+x）2 D.y=500（1+50%）（1+x）29.如图，正方形ABCD中，点E为线段AB上一点，满足AE=2BE，连接CE，点F为线段AD上一点，过点F作FG⊥CE交CE于点H，交AB延长线于点G，若DF=BG，则的值为（）A.

B.2

C.

D.3

10.已知四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0，a1，a2，a3，a4都是非零整数.则下列说法中，正确的个数为（）

①若x=1与x=-1是方程的两个实数根，则a4+a2+a0=0；

②若++++=31，且0≤a0≤a1≤a2≤a3≤a4，a0为整数，则符合条件的情况有2种；

③若该方程存在4个实数根记为x1，x2，x3，x4，若a0+3a4=0，则x1x2x3x4=-3.A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.重庆市统计局发布的数据显示2025年初我市常驻人口约34090000人，数据“34090000”用科学记数法表示为

.12.某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加.现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是

.13.如图，△ABC中，∠C=70°，l1∥l2.若∠2比∠1的3倍还多10°，则∠2的度数为

.

14.如图，菱形ABCD的顶点A在反比例函数图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，且O为CD的中点，若AB=4，则k的值为

.

15.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=6，连接AC，点E、F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿线段EF翻折，点A，B的对称点分别为A′，B′.若点B′恰好落在线段AC上，且AC=3B′C.则BF=

，B′G=

.

16.对于任意一个四位正整数m,若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”.将“叁叁数”m的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数m′，记，则最小的“叁叁数”是

；已知s,t都是“叁叁数”，其中s=1000a+100b+10c+d,t=1100x+3047（1≤b,c,x≤6，且a,b,c,d,x均为整数），若3F（s）+2F（t）+7b为完全平方数，且满足F（t）除以5的余数为1，则s的值为

.三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解不等式组：，并写出所有整数解.18.(本小题8分)

在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰△ABC中，AC=BC，点D是AC的中点，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，∠CAE的平分线与BC延长线相交于点F，连接EF，则四边形ACFE为菱形.请根据他的思路完成以下作图和推理填空：

（1）用尺规完成以下基本作图：作∠CAE的平分线交BC延长线于点F，连接EF；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：四边形ACFE为菱形.

证明：∵AE∥BC，

∴①______，

∵D是AC的中点，

∴AD=CD，

在△AED和△CBD中，

∴△AED≌△CBD（AAS）

∴②______

∵AF平分∠CAE，

∴∠CAF=∠EAF，

∵AE∥BC，

∴∠EAF=∠CFA，

∴∠CAF=∠CFA，

∴③______，

∵AC=BC，

∴AE=BC=AC=CF，

∵AE∥BC，

∴四边形ACFE是平行四边形，

∵AC=CF，

∴平行四边形ACFE是菱形；

小明进一步研究发现：若∠ABC=45°，则四边形ACFE为______.19.(本小题10分)

先化简，再求值：，其中.20.(本小题10分)

近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验.主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分.从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了20个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A.x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.x≥90），下面给出了部分信息：

抽取的青年组的打分：

66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100；

抽取的中年组打分在C组的数据：

88，87，82，87，80，87，85.

抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表组别平均数中位数众数D组所占百分比青年组8686b40%中年组86a8745%根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=______，b=______，c=______；

（2）根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若共有1200人对榨菜咖啡进行打分，估计其中打分在C等级（80≤x＜90）的人数.21.(本小题10分)

某商店销售A、B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年九月份A款水杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量是A款水杯的1.2倍.

（1）求A、B两款水杯的售价分别是多少元？

（2）十月份，该商店对A款水杯进行降价促销；已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价比A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；B款水杯售价和销量都和九月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款水杯降低了多少元？22.(本小题10分)

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是BC的中点，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A→D→C运动，同时动点Q从E出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线E→C→D运动，当P、Q两点相遇时，立即停止运动.设运动时间为x秒（0＜x＜6），△PBQ的面积为y1，线段AD的长与点Q的运动路程之比为y2.

（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；

（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围.

（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）

23.(本小题10分)

周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点A、B在同一水平线上），在A处测得山顶E的仰角为30°，在D处测得山顶E的仰角为37°，斜坡BC=1300米，坡度为1：2.4，水平观景步道CD=2600米，山顶E到山底的垂直高度为1400米.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

（1）求DE的长度；

（2）入口F在水平道路AB中点处，若小南和小开从点F同时出发，小南由F→A→E的线路到达山顶E，小开由F→B→E的线路到达山顶E，若小南的平路速度为50米/分，小南的爬山速度为40米/分，小开的平路速度为70米/分，小开的爬山速度为56米/分（小开在斜坡BC，斜坡DE的速度相同），请问谁先到达山顶E处？请通过计算说明理由.（结果保留小数点后一位）24.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接BP与直线AC交于点D，连接AP，设△PAD的面积为S1，△BAD的面积为S2，点M是x轴上的动点，连接PM，当取得最大值时，求的最小值；

（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y′，点Q为点P的对应点，点K为抛物线y′上的一动点，若∠KQB=∠ABQ-∠AQO，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程.

25.(本小题10分)

在△ABC中，AB=AC，将AB绕点A逆时针旋转α至AD，连接BD交AC于点E.

（1）如图1，点F是AD的中点，连接CF，若tan∠CAF=，AB=10，求CF的长度；

（2）如图2，当α=60°时，延长BC与∠CAD的角平分线交于点F，连接DF，连接CD与AF交于点G，求证：CD+AF；

（3）如图3，在（2）的条件下，在线段DF上取一点P，使得，将DP绕点D逆时针旋转90°至DP′，连接BP′.若AB=2+2，当BP′最小时，请直接写出点A到直线BP′的距离.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】3.409×107

12.【答案】

13.【答案】100°

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】41256314

17.【答案】解集为：；整数解为：1，2．

18.【答案】如图，

∠AED=∠CBD；AE=BC；AC=CF；正方形

19.【答案】；．

20.【答案】87.5，86，5；

更受中年组年龄段的人喜欢，理由：中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组中位数（答案不唯一）；

估计其中打分在C等级（80≤x＜90）的人数为390人

21.【答案】A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元；

A款水杯降低了6元

22.【答案】，（0＜x＜6）；

函数y1，y2的图象，如图2即为所求；

y1的性质：当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大；当4＜x＜6时，y1随x的增大而减小；

1.8＜x＜5.5

23.【答案】ED=1500米；

小开先到达山顶E处，

由

得EM=900米，ED=1500米，BG=1200米，

∵，

∴，

∴MD=1200米，

∴CM=CD+MD=2600+1200=3800（米），

∴GH=3800米，

在Rt△AEH中，∠A=30°，EH=1400米，

∴AE=2800米，

∴（米），

∴（米），

∵F为AB中点，

∴（米），

∴小南先到达山顶E处的时间为：

=74.22+70

≈144.2（分）；

小开先到达山顶E处的时间为：

≈90.1571+50

≈140.2（分），

∵144.2＞140.2，

∴小开先到达山顶E处

24.【答案】抛物线表达式为；

；

3或

25.【答案】；