北师数学八上1.3勾股定理的应用教学设计

第一章勾股定理3勾股定理的应用一、学习任务分析本节课是北师大版数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第3节。学生已经初步掌握勾股定理及其逆定理，也掌握了一些较为零散的解决此类问题的方法，但知识和方法尚未形成完整的体系。本节课的具体要求是，在解决这些实际问题的过程中，学生需经历对实际问题中的文字描述、数学符号以及几何图形的理解与抽象过程，把抽象出的问题转化为与直角三角形相关的问题，或利用三角形三条边长度的数量关系a2+b2=c2判定是否为直角三角形。在勾股定理的一些实际应用中，要求学生能够抽象出数学图形，通过构建数学模型（构建直角三角形），建立方程求解边长。“勾股定理的应用”一节的教学，不仅需要学生加强对以往知识的理解，更强调学生要从实际问题中提炼出直角三角形的模型，继而通过分析某个直角三角形中三条边长度的数量关系，建立方程解决问题。二、学情起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式和一元一次方程，对用未知数表示数量及利用数量关系建立方程的思想已经有了一定的认识；也掌握了判定一个三角形是直角三角形的两种方法：判断三角形三个内角中某个角为直角或者三角形三条边的长度满足a2+b2=c2的数量关系。在方程和整式的学习中，学生还经历了知识的应用过程，培养了一定的应用意识。学生的活动经验基础：在基本平面图形和三角形等章节的学习中也经历过相应的实践活动，具备了一定的猜想、归纳、类比、推理的能力。多数学生思维活跃，交流意愿强烈，对现实生活中的数学知识充满强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的引导下，通过小组成员间的互助合作，开展实践探索活动，发表自己的见解。三、教学目标1.通过构建直角三角形，巩固勾股定理及逆定理的应用。2.在实际问题中抽象出数学问题，并通过列方程加以解决，培养和提高抽象能力、运算能力、数学模型思想和应用意识等核心素养。3.通过勾股定理相关的古算题，感受数学在生活中的应用，体会中华优秀传统文化的源远流长，进行爱国主义教育。教学重点：勾股定理及逆定理的应用。教学难点：将实际问题进行转化，利用勾股定理或逆定理解决实际问题。四、教学过程设计【第一环节】情境引入，提出问题1.活动内容装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。图1（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？图1教师通过提问，引发学生思考，但是困难在于学生是否能够想到利用勾股定理的逆定理来解决问题。由于地砖是四边形，需将其转化为三角形来求解，从而转变为证明直角三角形的问题。因此在教学中，教师可以适当引导学生构造三角形，通过化归思想突破这一思维障碍，以解决问题。（2）李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？当在问题（1）中建立了解决问题的策略之后，问题（2）在问题（1）的基础上，教师直接给出具体的数值，学生可以直接代入，运用勾股定理的逆定理进行计算，从而验证是否是直角三角形。这一过程既能验证学生的猜想，也能验证前面的探索方法的正确性，激发了学生的学习热情和动力。（3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？思考问题（3）会进一步提升学生的思维能力，探讨当尺子长度不够用的时候如何应用勾股定理的逆定理解决问题。学生在前面两问中已经积累了解决问题的策略，但这里需要进一步思考如何构造三角形来解决问题，明确构成直角三角形的条件：三边的长度满足a2+b2=c2。在教学过程中，若学生存在困难，教师可以让学生尝试回忆之前学习过的勾股数的结论，让学生用尺子试着测量自己书本的某个角是不是直角，以此获得更真切的体验感。最后，教师可以再给予发问和总结：测量的长度能否为别的数值？从而让学生发现验证勾股定理逆定理的时候，与边长的具体数值无关，只与三条边的长度是否满足a2+b2=c2有关。2.活动目的在引入环节，通过问题串的方式层层递进，引发学生对生活实际问题的思考。这不仅能让学生学会用数学的眼光观察现实世界，还能促使他们尝试用同样的数学思维去思考并解决问题，有效地落实核心素养。该环节不仅复习了勾股定理的逆定理，也为本节课的应用学习起到了很好的承上启下作用。3.注意事项（1）对于问题（1），学生可能想不到用勾股定理的逆定理来解决问题，因为地砖是四边形的，需要转化成三角形才能求解。在教学中，教师可以适当引导学生构造三角形，通过化归思想突破这一思维障碍并解决问题。（2）对于问题（3），如果学生无法解决，教师可以引导学生回忆之前学习过的内容，让学生用尺子测量自己书本的某个角是不是直角，以此获得更真切的体验感。通过代入数据进行计算，得到三边长度的数量关系，从而理解相应的方法。【第二环节】合作探究，解决问题1.活动内容BCAGBCAGDFE图2如图2，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？请同学们观察折叠前后，哪些边和角有特殊的数量关系。由于本图具有对称性，总体比较好理解，因此教师可以选择实际图形，也可选择利用信息技术进行展示，让学生去观察其中成轴对称的图形。2.活动目的学生对于图形折叠问题并不陌生，在七年级“生活中的轴对称”一章中已经有所接触，但本题中的数量关系仍然是一个难点。在观察折叠过程时，要让学生自己分析其中存在的等量关系。3.注意事项（1）若学生只能写出部分相等的线段和角，教师需要加以引导。可以通过学生现场演示或动画展示的方式让学生感悟其中的等量关系。（2）可以在解决“尝试·思考”后，进行适当变式训练，解决下面的问题：你能求出DF的长吗？本题需要求解DF的长度。在教学中可以引导学生设未知数，这样学生可以更容易表示出其余未知量，为后续思考扫清障碍。学生通过分析，能够标出数量明确的边长，对于DF，CF，EF等未知的边长，可尝试用字母x去表示，从而比较自然地找到直角三角形DEF的三边关系，并尝试列方程求解。在这一过程中，学生主动分析数据，建立方程模型，其几何直观、推理能力、模型意识等核心素养都得到不同程度的培养。此处学生的困难点如下：首先设出未知数后，能否表示出相应的数量；其次能否找到相对应的直角三角形并建立三边关系。最后，由于涉及完全平方公式，在求解过程中也会遇到比较大的障碍。教师应该给学生充分的时间去进行表示、列式计算，并通过板书的方式解决学生的困惑，从而帮助学生建立起此类题目的解题思路和规范格式。【第三环节】典例分析，应用知识1.活动内容例今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》，1丈=10尺）图3题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图3）。如果把图3这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？教师需及时进行梳理和点拨。2.活动目的通过本题，进一步提高学生学习并应用数学知识的能力，使学生明白在解决该问题时方程思想的重要性，也更加深刻地认识到数学来源于生活，并能服务于生活的本质。教师要详细、规范地书写本题板书，让学生能够有观察、学习和模仿的过程。3.注意事项如果学生对题意理解不清，教师要带着学生一起阅读，理解题目大意，并让学生自己尝试画出平面图形，把已知量和未知量表示在图上。教学核心是如何让学生知道把生活问题数学化，如何建立有效和合理的数学模型来解决它。【第四环节】解题反思，感受策略1.活动内容完成习题。（1）五根小木棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图4所示的三个图形中哪个是正确的？图5图4图5图4（2）如图5，一座城墙高11.7m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9m处架一架长为15m的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？图6（3）如图6所示，当秋千OA静止的时候，踏板距离地面的竖直高度为1尺（即AC=1尺），将秋千往前推动两步（这里“两步”在古代计量中，一步约为5尺，即EB=10尺）后，此时踏板距离地面的竖直高度增加到5尺（即BD=5尺），求秋千绳索OA（或OB）的长度。图62.活动目的通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理的认识和应用，并且考查学生在不同生活背景中解决问题的能力，巩固本节课所运用的方程建模思想。3.注意事项上述三道习题中存在一定的难度梯度，第（1）题可以让学生自行审题并自主完成；第（2）（3）题涉及勾股定理的实际应用，题意比较复杂。在教学中，教师可以对部分有困难的学生加以点拨，也可以让学生结合图形理解题意，培养学生运用建立直角三角形来解决问题的思路和策略。【第五环节】反思小结，强化策略1.活动内容本节课的学习，你学习到了什么？你是如何学到的？学生展开总结，基本内容包括以下几点：（1）加深了对勾股定理的认识，并掌握了基本的方法；（2）对生活化的问题情境要善于提炼信息，运用数学建模完成问题分析；（3）如果直角三角形中只知道一条边的具体长度，则可以结合勾股定理通过建立方程完成问题分析；（4）运用勾股定理解决问题，关键是要发现直角三角形，如果没有现成的直角三角形，就需要构建直角三角形。2.活动目的通过小结，学生可以梳理本节课的主要知识和学习的方法，体会到在实际生活中数学知识的广泛应用以及数学建模的重要性。更重要的是在复盘这节课的学习时，要去思考知识形成的过程，学会如何在以后的生活中，常常带着数学的眼光观察现实世界，做一个数学的“有心人”。3.注意事项让学生各抒己见，针对问题自由发挥，锻炼学生的表达能力和对知识的复盘整理能力。【第六环节】布置作业，拓展资源1.活动内容（1）必做题：习题1.3第1,2,3题。（2）选做题：实践作业。问题：你能设法测量学校操场上旗杆的高度吗？工具：旗杆、旗杆上的绳子（长度可变化）和卷尺。方案：4人一组进行合作探究，将旗杆上的绳子拉直，使绳子底端与旗杆底端在同一地面上（其他小组可以改变绳子的长度），测量绳子比旗杆多出的长度，以及绳子拉直后底端与旗杆底端的距离。2.活动目的除了让学生掌握今天的教学内容之外，更重要的是培养他们能够用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。通过实际问题引领学生自主探究，充分训练他们的实践能力、合作能力和数学建模能力，让学生在真实的场景中理解知识的真正价值，感受最纯粹的数学探究过程。3.注意事项作为勾股定理的应用，实践性作业能让学生更好地感受数学的应用。相比于常见的作业，在实践性作业活动之前要给予活动指导，活动之后要交流分享。五、教学反思1.精选素材内容勾股定理及其逆定理是数学里的基本定理，在生活中有着广泛的应用。本节课在素材的选择上充分考虑这点，给出的问题情境涉及多个领域，有生活中的垂直判断，有折纸中直角三角形的数量关系，有估算题中的河宽、草长等问题，让学生进一步感受了勾股定理及其逆定理的广泛应用。2.凸显数学文化勾股定理及其逆定理的证明反映了不同的数学文化，本节课的内容是勾股定理及其逆定理的应用，本节课在选择的素材上也继续彰显其文化价值。在例题中选择了一道《九章算术》中的问