2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线

第32页（共32页）2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线一．选择题（共8小题）1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．5 B．22 C．23 D．332．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．33 B．23 C．22 3．过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则OM→•ONA．34 B．14 C．-144．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2=32x B．y2＝9x C．y2=92x D．y5．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP6．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→•OB→=2（其中O为坐标原点），则△ABO与A．2 B．3 C．1728 D7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（）A．7 B．6 C．5 D．48．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1 B．y=33（x﹣1）或y=-33（xC．y=3（x﹣1）或y=-3（x﹣1D．y=22（x﹣1）或y=-22（二．多选题（共4小题）（多选）9．设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x=-32于E，过点A作准线l的垂线，垂足为A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18（多选）10．已知点P(-12，1)，O为坐标原点，A，B为曲线C：y＝2A．点F的坐标为(1B．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为﹣2 C．若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，则|AB|＝10 D．若直线AB过点F，曲线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，则l1⊥l2（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2，⋯，Pn（n≥2且n∈N*）满足∠P1FP2＝∠P2FP3＝…＝∠Pn﹣1FPn＝∠PnFP1=2A．n＝2时，1|B．n＝3时，|P1F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9 C．n＝4时，1|D．n＝4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8（多选）12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是（）A．若抛物线上的点E（2，t）到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2＝4x B．以AB为直径的圆与准线相切 C．线段AB长度的最小值是2p D．sin∠PMN的取值范围为[三．填空题（共4小题）13．已知点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为．14．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是．15．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x29+y2516．已知点Q(22，0)及抛物线y=x24上一动点P（x0，y0），则y0四．解答题（共4小题）17．已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．18．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QM→=λQO→，QN→=19．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S1S220．已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCDDBBDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDBCDBCBCD一．选择题（共8小题）1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．5 B．22 C．23 D．33【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为3的直线：y=3（x﹣1过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：y2=4xy=3(x可得N（﹣1，23），NF的方程为：y=-3（x﹣1），即3则M到直线NF的距离为：|33+23故选：C．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．33 B．23 C．22 【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】方程思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】由题意可得F（p2，0），设P（y022p，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得OM【解答】解：由题意可得F（p2，0），设P（y022显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，设y0＞0，则OM→=OF=13OP→+可得kOM=y当且仅当y02＝2p2，取得等号．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．3．过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则OM→•ONA．34 B．14 C．-14【考点】抛物线的焦点与准线；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入y2＝2x求得y的值，即可求出OM→•ON【解答】解：y2＝2x的焦点坐标是（12，0则过焦点且垂直x轴的直线是x=12，代入y2＝2x得y＝故OM→•ON→=（12，1）•（12故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．4．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2=32x B．y2＝9x C．y2=92x D．y【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；压轴题；数形结合；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，根据抛物线定义可知|BD|＝a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴1p=23因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．5．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象．【答案】B【分析】本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，不妨设P（1，2），∴Q（﹣1，2），设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，故选：B．另解：由抛物线的定义知，|PF|＝|PQ|，所以△PQF为等腰三角形，且FQ为等腰三角形PQF的底边，所以线段FQ的垂直平分线经过点P．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．6．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→•OB→=2（其中O为坐标原点），则△ABO与A．2 B．3 C．1728 D【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】B【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA→•OB→【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由x=ty+my2=x⇒y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有∵OA→•OB→=2，∴x1•x2+y1•y2结合y12=x1∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F(∴S△ABO+S△AFO=12×2×（y1﹣y2）+=9当且仅当98y1=2y1∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模．【答案】D【分析】本题只需将点M到x＝﹣3的距离，转化为到准线x＝﹣2的距离，再根据抛物线定义即可求得．【解答】解：如图所示，因为点M到直线x＝﹣3的距离|MR|＝5，∴点M到直线x＝﹣2的距离|MN|＝4．由方程y2＝8x可知，x＝﹣2是抛物线的准线，又抛物线上点M到准线x＝﹣2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1 B．y=33（x﹣1）或y=-33（xC．y=3（x﹣1）或y=-3（x﹣1D．y=22（x﹣1）或y=-22（【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得k4y2-y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得【解答】解：法一：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）由y=k(x-1)y2=4设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4k，y1y2＝﹣4…（∵|AF|＝3|BF|，∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=4k且﹣3y22＝﹣消去y2得k2＝3，解之得k=±∴直线l方程为y=3（x﹣1）或y=-3（x﹣法二：做出抛物线的准线，以及A、B到准线的垂线段AA'、BB'，并设直线l交准线与M，设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB'|＝m，|AA'|＝|AF|＝3m，由BB'∥AA'可知，|BB'||所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA'＝30°，根据斜率与角度的关系可得选C选项．故选：C．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x=-32于E，过点A作准线l的垂线，垂足为A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18【考点】直线与抛物线的综合．【专题】对应思想；数形结合法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】由抛物线的定义可判断A；当直线AB⊥x轴时，可判断B；由通径最短，可判断C；当直线AB⊥x轴时，可判断D成立，再利用三角形的面积判断m≠0时，D也成立．【解答】解：由题意可得F(由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，所以A正确；由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确；设AB：x=my+32，A（x1，y1），B由x=消x可得y2﹣6my﹣9＝0，y1+y2＝6m，y1y2＝﹣9，所以x1所以|AB当m＝0时，E(-32，0)，|AB|＝2p＝6，|AE此时|AB|＝6，|AE|≠|AB|，所以B不正确；此时|AE当m≠0时，EF：x=-1则|EF|=9+9所以SΔAEB|AE综上|AE|•|BE|≥18，所以D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了抛物线的定义及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．（多选）10．已知点P(-12，1)，O为坐标原点，A，B为曲线C：y＝2A．点F的坐标为(1B．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为﹣2 C．若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，则|AB|＝10 D．若直线AB过点F，曲线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，则l1⊥l2【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；设而不求法；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】根据抛物线的性质，利用直线和抛物线联立方程，结合设而不求思想进行转化求解判断即可．【解答】解：由y＝2x2得x2=12y＝4×18y，则焦点坐标F（0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y＝kx+b，代入y＝2x2得kx+b＝2x2，即2x2﹣kx﹣b＝0，则x1+x2=∵P为线段AB的中点，∴x即x1+x2=k2=-1，得k＝﹣若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，则|AF||BF|＝|PO|2＝（-12）2+1＝1由抛物线的准线方程为y＝kx+18，代入y＝2x2得2x2﹣kx-则x1+x2=k2，x1x则|AF|＝y1+18，|BF|＝y2|AF||BF|＝（y1+18）（y2+18）＝y1y2+18（y1∵y1+y2＝k（x1+x2）+14=k22+14，y1y2＝4（x代入y1y2+18（y1+y2）得164+18（得k2＝19，满足判别式Δ＞0，则|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+18+y2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＝2x12得y1＝2x12，函数y＝2x2的导数f′（x）＝4x，即在A处切线斜率k1＝f′（x1）＝4x1，在B处切线斜率k2＝f′（x2）＝4x2，则k1k2＝4x14x2＝16x1x2，由选项C知，x1x2=-1则k1k2＝16×（-116）＝﹣1，即l1⊥l2，故故选：BCD．【点评】本题主要考查抛物线的性质，结合直线和抛物线的位置关系，利用设而不求思想转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键，是难题．（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2，⋯，Pn（n≥2且n∈N*）满足∠P1FP2＝∠P2FP3＝…＝∠Pn﹣1FPn＝∠PnFP1=2A．n＝2时，1|B．n＝3时，|P1F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9 C．n＝4时，1|D．n＝4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BC【分析】以P1P2为抛物线的通径，可求得1|P1F|+1|P2F|的值，判断A；n＝3时，写出焦半径|P1F|，|P2F|，|P3F|的表达式，利用换元法，结合导数求函数的最值，判断B，n＝4时，写出焦半径|P1F|，|P2F|，|P【解答】解：当n＝2时，∠P1FP2＝∠P2FP1＝π，此时不妨到P1P2过焦点垂直于x轴，不妨取P1（1，2），P2（1，﹣2），则1|P1Fn＝3时，∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP1=2此时不妨设P1，P2，P3在抛物线上逆时针排列，设∠P1Fx＝α，α∈（0，π2则|P1F|=21-cosα，则|P2F|=21-cos(α∴|P1F|+|P2F|+|P3F|=2令t＝cosα+12，t∈（12，32），则|P1F|+|P2F|+P3令f（t）=43-2t+2t+3t当12＜t＜1时，f′（t）＞0，f（t）递增，当1＜t＜32时，f′（t）＜0，故f（t）min＝f（1）＝9，故t＝1，即cosα=12，α=π3时，∴|P1F|+|P2F|+P3F|取到最小值n＝4时，∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4+∠P4FP1=π此时不妨设P1，P2，P3，P4在抛物线上逆时针排列，设∠P1Fx＝θ，θ∈（0，π2|P1F|=21-cosθ，则|P2F|=21-cos(θ+π2)=21+|P1F|+|P3F|=2|P2F|+|P4F|=2∴1|P1由C的分析可知|P1F|+|P3F|+|P2F|+|P4F|==4si当sin22θ＝1时，取等号，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性强，以及利用导数求最值，和三角函数的相关知识，属难题．（多选）12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是（）A．若抛物线上的点E（2，t）到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2＝4x B．以AB为直径的圆与准线相切 C．线段AB长度的最小值是2p D．sin∠PMN的取值范围为[【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】由抛物线的定义求得p，可得抛物线的方程，可判断A；设直线l的方程为x＝my+p2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、结合直线和圆相切，可判断B；由m＝0，可得弦长|AB|的最小值，可判断C；运用弦长公式和点到直线的距离公式，求得sin∠PMN关于m的表达式，求得最小值，可判断【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），准线方程为x=-对于A，若抛物线上一点E（2，t）到焦点F的距离等于4，由抛物线的定义可得2+P2=4，解得p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x对于B，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my+p2，与抛物线y2＝2消去x，可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，可得y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，可得P的坐标为（pm2+p2，pm），|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2pm2+2可得P到准线的距离为pm2+p=12|AB|，则以AB为直径的圆与准线相切，故对于C，由|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2pm2+2p，可得m＝0时，|AB|的最小值为2p，故C正确；对于D，由上面的分析可得Δ＝4p2m2+4p2＞0，y1+y2＝2pm，∴x1+x2＝m（y1+y2）+p＝2pm2+p，|AB|＝x1+x2+p＝2p（m2+1），P到y轴的距离为d=x1+x∴sin∠PMN=d12|AB当且仅当m＝0时，取得等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题是直线与抛物线的综合问题，抛物线的焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为94【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】94【分析】根据已知条件，先求出p，再结合抛物线的定义，即可求解．【解答】解：点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则5＝2p，解得p=5由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为xA故答案为：94【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．14．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是1516【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M的纵坐标．【解答】解：根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1．又∵抛物线的准线为y=-1∴M点的纵坐标为1-1故答案为：1516【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及点到焦点，准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决．15．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程【考点】抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】由题设中的条件y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆x29+【解答】解：由题意椭圆x29+y2又y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆x2故p2=2得p＝∴抛物线的准线方程为x=-p2故答案为：x＝﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．16．已知点Q(22，0)及抛物线y=x24上一动点P（x0，y0），则y0【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y0+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1最后利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y0+|PQ|的最小值是2．【解答】解：用抛物线的定义：焦点F（0，1），准线y＝﹣1，设P到准线的距离为dy0+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1＝2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y0+|PQ|的最小值是2．故答案为：2．【点评】本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定义，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）方法一：设过点（0，12）的直线方程为y＝kx+12，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=1-kk2方法二：根据直线的截距和中点坐标即可证明．【解答】解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），∴1＝2p，解得p=1∴y2＝x，∴焦点坐标为（14，0），准线为x=-（2）证明：设过点（0，12y＝kx+12，M（x1，y1），N（x2，y∴直线OP为y＝x，直线ON为：y=y2由题意知A（x1，x1），B（x1，x1由y=kx+12y2=x，可得k2x2+∴x1+x2=1-kk2，x∴y1+x1y2x2=kx1+12+x1(kx2+12)x2=2kx∴A为线段BM的中点．方法二：过点（x1，y1）和点（x2，y2）的直线的横截距a与纵截距b分别为a=x2y设M（m2，m），N（n2，n），则m2n-此时A（m2，m2），B（m2，m2因此A为BM的中点，即m+m2n=问题得以证明．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QM→=λQO→，QN→=【考点】直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入抛物线方程，由Δ＞0，即可求得k的取值范围；（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直线PA的方程，令x＝0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得1λ【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得y2=4xy=kx+1，消y可得k2x2+（2k﹣∴Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2=-2k-4k2，又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），则QM→=（0，yM﹣1），QO→=（因为QM→=λQO→，所以yM﹣1＝﹣λ，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣直线PA的方程为y﹣2=2-y11-x1（x﹣1）=2-y11-y令x＝0，得yM=2y12+y因为1=8-2=8-2[=8-2(1+=4-2×4-2∴1λ+1μ=【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．19．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S1S2【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），令yA＝2t，t≠0，则xA=t2，从而直线AB的方程为x=t2-12ty+1，代入y2＝4x，得：y2-2(t2-1)ty-4=0，求出B（1t2，-2t），由重心在x轴上，得到2t-2t+yC=0，从而C（（1t-【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），令yA＝2t，t≠0，则xA由于直线AB过F，故直线AB的方程为x=t代入y2＝4x，得：y2∴2tyB＝﹣4，即yB=-2t，∴B（1t又xG=13（xA+xB+xC），yG=13（yA+yB+y∴2t-∴C（（1t-t）2，2（1t-t）），∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，∴S1S2令m＝t2﹣2，则m＞0，S1S2=2-mm2∴当m=3时，S1S2取得最小值为1+32，此时【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，直线OM的方程为y=y1x1x，即直线ON的方程为y=y2x2x，即可得A（4x1，﹣1），B（4x可得AB的中点的横坐标为2（1x1+1x2即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），半径为|AB|2=12|4x可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，由x＝0，可得y＝1或﹣3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．【分析】（Ⅰ）代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，直线OM的方程为y=y1x1x，即直线ON的方程为y=y2x2x，即可得A（4x1，﹣1），B（4x可得AB的中点的横坐标为2（1x1+1x2即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），半径为|AB|2=12|4x可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，由x＝0，可得y＝1或﹣3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

考点卡片1．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b（3）分配律：（a→⋅b→）•c平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．抛物线的定义【知识点的认识】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．标准方程①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．性质我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（p2，0）；②准线方程为：x=-p2；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x【解题方法点拨】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，x），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|==x=(∴当x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案为：112这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转