2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系

第31页（共31页）2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系一．选择题（共8小题）1．已知x＝lnπ，y＝log52，z=A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x2．当0＜x≤12时，4x＜logax，则A．（0，22） B．（22，1） C．（1，2） D．（2，3．已知x，y都是正实数，则4xA．32 B．43 C．52 4．已知正实数a，b满足4a+b+1A．6 B．8 C．10 D．125．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，若存在两项am，an使得aman=4aA．32 B．53 C．94 6．已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则（）A．a2+b2有最小值 B．ab有最小值 C．1a+1b有最大值 7．已知x＞﹣2，则x+1A．-12 B．﹣1 C．2 D8．设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则1aA．8 B．4 C．1 D．1二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法正确的是（）A．若x＞1，则y＝3x+1x-1的最小值为B．已知x＞﹣1，y＞0，且x+2y＝1，则1x+1+C．已知m≥0，n≥0，且m+n＝1，则m2m+2D．若x＞0，y＞0，z＞0则x2+（多选）10．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且abc＝4，则下列结论正确的是（）A．a2b＜4+ab2 B．ab+a+b＞4 C．a+b2+c2＞4 D．a+b+c＜4（多选）11．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a+C．1a+1b（多选）12．给出四个选项能推出1aA．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0三．填空题（共4小题）13．已知x＞0，y＞0，且1x+1y=1，则9x14．设二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则1c+1+9a+915．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．四．解答题（共4小题）17．正数x，y满足1x+（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．18．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-3x500)万元（a＞（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？19．（1）已知x＜54，求函数y＝4x﹣2（2）已知x＞0，y＞0且1x+9y=120．已知f（x）＝ax2+x﹣a，a∈R．（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

2026年高考数学复习热搜题速递之相等关系与不等关系（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBBBAADB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDABCADABD一．选择题（共8小题）1．已知x＝lnπ，y＝log52，z=A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；压轴题．【答案】D【分析】利用x＝lnπ＞1，0＜y＝log52＜12，1＞z【解答】解：∵x＝lnπ＞lne＝1，0＜log52＜log55=12，即y∈（01＝e0＞e-12=1e＞∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．2．当0＜x≤12时，4x＜logax，则A．（0，22） B．（22，1） C．（1，2） D．（2，【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【答案】B【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤12时，1＜4要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜logax，∴0即0＜a＜1a2∴0解得22＜a故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题3．已知x，y都是正实数，则4xA．32 B．43 C．52 【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】则4x4x+y+y【解答】解：因为x，y都是正实数，则4x4x+y当y＝2x时取等号，∴4x4x故选：B．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．已知正实数a，b满足4a+b+1A．6 B．8 C．10 D．12【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正实数a，b满足4a则a+2b+1＝（a+b+b+1）（4a+b+1当且仅当4b+4a+b=a+b1+b所以a+2b＝9﹣1＝8，所以a+2b取得最小值8．故选：B．【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，若存在两项am，an使得aman=4aA．32 B．53 C．94 【考点】基本不等式及其应用；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【答案】A【分析】由a7＝a6+2a5求得q＝2，代入aman=4a1求得【解答】解：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，∴q∵aman=4a1，∴qm+n﹣2＝16，∴2m+n﹣2＝24，∴∴1m+4n故1m+4n故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．6．已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则（）A．a2+b2有最小值 B．ab有最小值 C．1a+1b有最大值 【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【答案】A【分析】根据基本不等式的性质判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥16﹣2（a+b2）2＝16﹣8有最小值，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．7．已知x＞﹣2，则x+1A．-12 B．﹣1 C．2 D【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【答案】D【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞﹣2，则x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2∴x+1x+2故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则1aA．8 B．4 C．1 D．1【考点】基本不等式及其应用；等比中项及其性质．【专题】不等式的解法及应用．【答案】B【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b＝1，代入1a+1b【解答】解：因为3a•3b＝3，所以a+b＝1，1a当且仅当ba=ab即a=故选：B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法正确的是（）A．若x＞1，则y＝3x+1x-1的最小值为B．已知x＞﹣1，y＞0，且x+2y＝1，则1x+1+C．已知m≥0，n≥0，且m+n＝1，则m2m+2D．若x＞0，y＞0，z＞0则x2+【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对每一个选项逐项计算判断即可．【解答】解：对于A：y＝3x+1x-1=3（x﹣1）+1x-当且仅当3（x﹣1）＝）1x-1，即x＝1+对于B：x+1+2y＝2，∴1x+1+2y=12（1x+1≥12（5+22y当且仅当2yx+1=2(x+1)y，即对于C：m＝m+2﹣4+4m+2+n+1﹣2+1n＝﹣2+（4m+2+1n+1）×14×（m+2+≥﹣2+14×（5+24(n+1)m+2×m+2n+1对于D：x2+y2+z23xy+4yz故选：ABD．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属难题．（多选）10．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且abc＝4，则下列结论正确的是（）A．a2b＜4+ab2 B．ab+a+b＞4 C．a+b2+c2＞4 D．a+b+c＜4【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；分析法；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】由分析法说明A正确；利用不等式的性质结合放缩法说明B正确；直接由基本不等式证明C正确；举例说明D错误．【解答】解：对于A，a2b＜4+ab2，即a2b﹣ab2＜4，也就是ab（a﹣b）＜4＝abc，△ABC中，ab＞0，a﹣b＜c，则ab（a﹣b）＜abc成立，故A正确；对于B，ab+a+b≥ab当a＝b时，不等式取“＝”，此时c=4ab=4a2，a+b＞得a＞32，ab+a+b＝ab＞(3(1.25)3)2+23（也可用ab+a+b＞ab+c≥2abc=4），故B对于C，a+b2+c2≥a+2bc≥22abc=42对于D，边长为1，2，2的三角形，满足abc＝4，当a+b+c＝5＞4，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查基本不等式的性质及其应用，考查运算求解能力，属难题．（多选）11．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a+C．1a+1b【考点】基本不等式及其应用．【专题】综合题．【答案】AD【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A对对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴b故选：AD．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．（多选）12．给出四个选项能推出1aA．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0【考点】不等关系与不等式．【专题】应用题；对应思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】利用不等式的性质，代入验证即可．【解答】解：1a＜1b⇔b-aab＜0A，ab＜0，a﹣b＜0，ab（a﹣b）＞0成立B，ab＞0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＞0成立C．ab＜0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＜0，不成立，D．ab＞0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＞0成立故选：ABD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知x＞0，y＞0，且1x+1y=1，则9x【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】1x+1y=1，所以x+yxy=1，即x+y＝xy，且x【解答】解：依题意，x＞0，y＞0，且1x+1y=1，所以x＞1，y＞1，且x+y所以9x1-x+4y因为9x-1＞0所以9x1-x+4y1-y=-13﹣（9x-1+4y-1当且仅当x=52，y故答案为：﹣25．【点评】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本题属于难题．14．设二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则1c+1+9a+9【考点】基本不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】由于二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且Δ＝0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把1c【解答】解：因为二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0Δ=16-4ac=0⇒ac所以1c+1由于a+36a≥12（当且仅当a所以1+5a+故答案为：6【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是63【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．【解答】解：∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴bc=12•（2=12[（b+c）2﹣（b2+c2＝a2-∴b、c是方程：x2+ax+a2-12∴△≥0∴a2﹣4（a2-12即a2≤∴-63即a的最大值为6故答案为：63【点评】本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【考点】运用基本不等式解决实际问题．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x≥4×2当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．正数x，y满足1x+（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用基本不等式的性质求解．（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，1x+那么：1=1x+9y≥21x⋅9y=6xy，当且仅当即：xy≥6所以：xy的最小值36．（2）∵x＞0，y＞0，1x+那么：x+2y＝（x+2y）（1x+9y）=1+2yx+9xy+18所以：x+2y的最小值为19+62【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用能力．属于基础题．18．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-3x500)万元（a＞（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．【解答】解：（1）由题意，得10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-x则10(a所以ax-所以ax≤2x2因为2x500+1000当且仅当2x500=1000x，即x＝又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为（0，5]．【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．19．（1）已知x＜54，求函数y＝4x﹣2（2）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵x＜54，∴4x﹣5＜∴y＝4x﹣5+14x-5+3＝﹣[（5≤﹣2(5-4x)⋅15-4x+3＝∴ymax＝1．（2）∵x＞0，y＞0且1x+∴x+y＝（x+y）(1x+9y)=10+9xy+y∴x+y的最小值为16．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．20．已知f（x）＝ax2+x﹣a，a∈R．（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式及其应用；函数恒成立问题．【专题】转化思想；分类法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）{x|x≤﹣2，或x≥1}．（2）（2，+∞）．（3）当-12＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x当a=-12时，不等式的解集为当a＜-12时，不等式的解集为{x|-a【分析】（1）当a＝1，不等式即（x+2）（x﹣1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a＝﹣2时，显然不满足条件，故有a+2＞0（3）若a＜0，不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+a+1a）＜0．再根据1【解答】解：（1）当a＝1，不等式f（x）≥1即x2+x﹣1≥1，即（x+2）（x﹣1）≥0，解得x≤﹣2，或x≥1，故不等式的解集为{x|x≤﹣2，或x≥1}．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a+2＝0，即a＝﹣2时，显然不满足条件．而当a+2＜0时，由二次函数的性质可得，（a+2）x2+4x+a﹣1＞0不可能恒成立，∴a+2解得a＞2，故a的范围为（2，+∞）．（3）若a＜0，不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+a+1a∵1﹣（-a+1a∴当-12＜a＜0时，1＜-a+1a，不等式的解集为{当a=-12时，1=-a+1a，不等式即（x﹣1）2当a＜-12时，1＞-a+1a，不等式的解集为{综上可得，当-12＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x当a=-12时，不等式的解集为当a＜-12时，不等式的解集为{x|-a【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

考点卡片1．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．2．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案为：1+35．运用基本不等式解决实际问题【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）【解题方法点拨】均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．【命题方向】运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，则y＝2x×3×800+12＝4800（x+9x）+5800（x＞∵x+9x≥29=6，当且仅当x=9∴y的最小值为4800×6+5800＝34600，则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．6．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：7．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有x-1＞3-x1＜当1＞a＞0时，有x-1＜3-x1＜综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．8．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p2④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．9．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我