2026年高考数学一轮复习专题1.3 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题1.3等式性质与不等式性质(举一反三讲义)【全国通用】题型归纳题型归纳【题型1不等式性质的应用】 【题型2用不等式表示不等关系】 4【题型3比较数(式)的大小】 【题型6不等式的综合问题】 1【题型7糖水不等式】 考情分析考情分析(1)等式性质能简单应用个重点内容.知识梳理知识梳理知识点等式性质与不等式性质性质1对称性：如果a=b,那么b=a;性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c;性质3可加(减)性：如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性：如果a=b,c≠0,那2.不等式的性质(1)对称性：如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a.(4)可乘性：如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(7)同正可乘方性：如果a>b>0,那么a">b"(n∈N,n≥2).3.不等式的两类常用性质若a>b>0,m>0,则②假分数的性质4.比较大小的基本方法关系【方法技巧与总结】有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数(式)的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解.举一反三举一反三【题型1不等式性质的应用】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得.【解答过程】若x²+y²>0,如x=-1,y=1,但xy>0不成立，充分性不成立；若xy>0,显然x,y同号且不为0,则x²+y²>0成立，必要性成立；A.a>b+cB.a²<bcC.ac>b²D.ab+bc>b²+ac【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.ab+bc-(b²+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D项正确.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可【解答过程】若ab>0,a>b,则b-a<0,A.a²<b²B.a+b<b+cC.D.【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.【解答过程】对于A,由于a<b<0,a²>b²,故A错误，对于B,由于a,c关系不确定，故a+b<b+c不一定【题型2用不等式表示不等关系】A.5x+4y<100B.5x+4y≥100C.5x+4y>100【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.【解答过程】由已知可得，30x+24y≥600,所以有5x+4y≥100.【变式2-1】(2024-江西抚州·模拟预测)2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有()个A.20B.22C.24出.则由题意得a≥c+1,c≥d+1,d≥b+1,2b≥a+1,可得b≥4,所以a≥7,c≥6,d≥5,即至少有4+5+6+7=22个.负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是()A.第一象限点比第二象限点多B.第二象限点比第三象限点多C.第一象限点比第三象限点少D.第二象限点比第四象限点少【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可.第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的所以x+w>y+z①,且z+w>x+y②,由不等式性质可知，①+②可得w>y,即第二象限点比第四象限点少【变式2-3】(2024-浙江金华·一模)某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.【解答过程】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生已知该班女生人数多于男生人数，即y+n>x+m;又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即x+y>将这两个不等式相加得到：2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+n得到2y这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.【题型3比较数(式)的大小】A.y>z>xB.x>y>ZC.y>x>Z果.又x²<yz,即,化简可得2x³-x²z-z³<0,,所以y>Z,【变式3-1】(2024·全国·模拟预测)已知x>y,则下列不等式正确的是()A.1-x<1-yB.x²>y²【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.当x=-1,y=-2时，满足x>y,但x²=1,当z<0时，由x>y可得xz<yz,故选项D错误.A.N<PC.N<MD.M判断正负即可比较出大小.少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的下列说法正确的是()A.当且仅当a₁>a₂时，方案一的平均购买成本比方案二更低B.当且仅当a₁>a₂时，方案二的平均购买成本比方案一更低C.无论a₁,a₂的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低D.无论a₁,a₂的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断.【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为m,则平均购买成本方案二：设每次购入的黄金金额为n,则平均购买成本为无论a₁,a₂的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.【题型4利用不等式的性质证明不等式】【解题思路】(1)由结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案.(2)利用作差法求证,同,结合不等式的性质可得答案.【解答过程】(1)因为a,b,c为三角形的三边，所以a,b,c∈(0,+∞),且a+b>c,(关键：根据三角形的三边关系得到a,b,c满足的条件)(2)因为c≥b≥a,【解题思路】由x+y+z>x+y,x+y+z>x+Z,x+y+z>y和【解题思路】(1)利用不等式的性质证明即【解答过程】(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0,故(a-1)(b-1)>0,所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0,即a(2)已知a>b,e>f,c>0,求证：f-ac<e-bc.【解题思路】(1)(2)利用不等式的性质推理即得.【解答过程】(1)由a>b,得-a<-b,则c-a<c-b,又c>a,则c-a>0,【题型5利用不等式的性质求目标式的取值范围】【例5】(2025·吉林长春·模拟预测)已知则2α-2β的取值范围是()【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出2α-2β的取值范围.【解答过程】因,所,又α<β,所以2α-2β<0,故选：B.A.(4,9)B.(4,9)C.(5,8)【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果.【解答过程】因为2<a≤4,-1<b≤0得4<2a≤8,0≤-b<1,【变式5-2】(2024·江苏南通·模拟预测)设x,y为实数，满贝的最大值为()A.27B.24【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解.【解答过程】由3≤xy²≤8,,所以1则t的范围是()【解答过程】由题可知：对于任意a∈[-4,t],总存在b,c∈[-4,t],所以a的取值范围的子集即可，因为t<0,所以【题型6不等式的综合问题】【例6】(24-25高一上云南·期中)回答下列问题(2)已知1<a+b<3,-2<a-b<2,求2a+3b的取值范围.【解题思路】(1)将相减并化简，分类讨论判断差的符号即可比较大小；(2)根据不等式的性质求解即可.【解答过程】(1)因为a,b都是正实数，所以ab>0,a+b>0,(a-b)²≥0,所,当且仅当a=b时等号成立.(2)设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),因为1<a+b<3,-2<a-b<2,所【变式6-1】(24-25高一上·上海宝山阶段练习)(1)已知x∈R,比较2x²+3x-1与7x-3的大小；【解题思路】(1)运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；(2)用反证法，假推出a+b≤4矛盾，即得证.【解答过程】(1)∵(2x²+3x-1)-(7x-3)=2x²-4x+2=2(x-1)²≥0,两式相加得，a+b≤4,这与a+b>4矛盾，所以假设错误.【变式6-2】(24-25高一上·四川南充·阶段练习)(1)已知-1≤x+y≤4,2≤x-y<3,求x+2y的取值求证：【解题思路】(1)根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求x+2y的取值范围；(2)根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论.【解答过程】(1)设x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,(2)证明：∵-c>-d>0,a>b>0,【解题思路】(1)利用作差比较即可判断；(2)利用反证法即可证明.【解答过程】(1)因为a>b>0,(2)假设a,b,c,d都不小于1,即a≥1,b≥1,c≥1,d≥1,不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加n克糖(n>0)(假设全部溶解),糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.【解答过程】解：由题意可知，加入n克糖(n>0)后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，b加糖之前，糖水的浓度为：a;加糖之后，糖水的浓度为：b【变式7-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比,这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解),生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式(a>b>0,m>0),这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是()【解题思路】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.【解答过程】对于A,√11>√7>2,,A错误；贝对于B,√5>√3,2>0,,B错误.贝对于D,D错误；故选：C.【变式7-2】(2025高二·全国·专题练习)下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢?写出式子并证明.(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【解题思路】(1)首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小；(2)首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明(3)根据条件建立不等式，再作差证明.【解答过程】(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为,加入m克糖，求证：不等式(其中a,b,m不妨用作差比较法，证明如下：∵a,b,m为正实数，且a<b,∴b+m>0,b-a>0,(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为,且求证：(其中b>a>0,d>c>0).证明：且b>a>0,d>c>0,即(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度,加入m克水，求证：(其中b>a>0,m>0).【变式7-3】(24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0),(假设全部溶解)糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；(2)利用(1)的结论比较的大小；(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0,,(m>0),,(m>0),结合作差比较法，即可得证；利用上述结论，即可求解；,证,再由,证,再由(3)由(1)中的结论，得到,进而证,即可得证.,进而证【解答过程】(1)由题意，可得不等,(m>0).【解答过程】(1)由题意，可得不等因为b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0,(2)由由(1)中的结论，可得(3)证明：因为x>0,y>0,z>0,由(1)中的结论，可得同理可一、单选题1.(2024·青海西宁.一模)下列命题中，正确的是()C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b,则a+c>b+c【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解.【解答过程】对于A选项，令则所不成立，故A错误；对于B选项，令a=-1,b=-2,则(-1)²<(-2)²,所以a²>b²不成立，故B错误；对于C选项，令a=-1,b=-2,c=3,d=1,则(-1)×3<(-2)×1,所以ac>bd不成立，故C错误；对于D选项，由a>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D正确.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解.【解答过程】若|a|+|b|≤1,则a²+b²≤a²+b²+2|a||b|=(la|+|b|)²≤1,充分性成立；C.2a>b+c【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项【解答过程】对于A选项，不妨取a=2,b=1,,A错；对于B选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-6,,B错；对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对；对于D选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,D错.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断.【解答过程】因为x,y为实数，当x=-2<0,y=1时，满足x<y,但是|x|=2>y=1,所以若p则q是假命题；而由0≤|x|<y,当x≥0时，得x<y;所以若q则p是真命题；所以p是q的必要不充分条件.5.(2025·山西临汾·二模)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的范围是()A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]【解题思路】根据不等式的性质即可求解.【解答过程】由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12,A.a-c<bB.a+b>cC.|a|<|b|+|c|【解题思路】对A,B,根据题意可得-b||<a-c<|b|,当b<0时易判断；对C,根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D,举反例说明.【解答过程】因为a,b,c为均不为零的实数，且|a-c|<|b|,对于D,举反例，如a=c=2,b=1,满足条件，但|2|+|2|>|1|,故D错误.A.y>z>xB.x>y>ZC.y>x>Z【解题思路】易得x²+z²≥2xz,再结合已知可得y>z,由x²-2xy+z²=0,得x²-2xy+y²=y²-z²,即可比较x,y,利用作差法即可比较x,z,即可得解.【解答过程】由x²-2xy+z²=0,得x²+z²=2xy,所以2xy≥2xz,又因为x>0,z>0,所以x-z<0,所以x<Z,【解题思路】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.二、多选题A.B.ab²>cb²C.a+b>cD.a²+c²>b²【解题思路】对于A,可以用作差法判断，对于BC,举反例判断即可，对于D,分b>0,b=0,b<0三种情况讨论即可判断.【解答过程】对于A,因为a>b>c,对于B,取a>b=0>c,此时ab²=cb²=0,故B错误；对于C,取a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c=-3,故C错误，则a²+c²>a²>b²综上所述，只要a>b>c,就一定有a²+c²>b²,故D正确.B.若a<b<0,则b²<ab<a²【解题思路】举出反例即可判断A,由不等式的性质代入计算即可判断BD,由作差法即可判断C.【解答过程】对于A,取a=1,b=-2,满足a>b,但是a²<b²,故A错误；对于B,因为a<b<0,不等式两边同时乘以负数a,不等式方向改变，所以a²>ab,不等式两边同时乘以负数b,不等式方向改变，所以ab>b²,又因而a>b>0,即b-a<0,m(a+m)<0,对于D,设3a+b=x(a+b)+y(a-b),即3a+b=(x+y)a+(x-y)b,则解得x=2,y=1,所以3aA.c²<cdB.a-c<b-dC.ac<bdD.【解题思路】根据不等式的相关性质可得A,D项正确；通过举反例可说明B,C项错误.【解答过程】对于A,由0>c>d和不等式性质可得c²<cd,故A正确；对于B,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,对于C,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,C=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C错误；12.(2025·吉林长春·二模)正整数a,b满足3<a<b<9,则的最大值为【解题思路】当a,b取最小的正整数时，所求最大.【解答过程】要使其最大，则a,b都最小即可，因为3<a<b<9,且a,b为正整数，故取a=4,b=5,故答案为：13.(2024-河北石家庄·二模)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则的【解题思路】先得到,并根据x,y,z≥0得到0≤z≤3,从而求出故答案为：[15,19].【解题思路】分a是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，,则可以得到min,并即可得解.所以a和3b中至少有一个小于等于2,所以min的最大值为2.若则ab>1,此时mi因,所中至少有一个小于2,综上，的最大值为2.故答案为：2.【解题思路】(1)取c=0即