2025-2026学年上海市闵行区九校联考九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年上海市闵行区九校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，每题只有一个选项正确）1．（4分）已知线段a＝3，c＝12，如果线段b是线段a和c的比例中项（）A．±6 B．6 C．36 D．﹣62．（4分）下列各组图形不一定相似的是（）A．两个等腰直角三角形 B．两个含有100°内角的等腰三角形 C．两个含有50°内角的等腰三角形 D．两个含有50°内角的直角三角形3．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，那么下列各式中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AE：AD＝AB：AC D．AE：DE＝AC：BC5．（4分）下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝6．（4分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（）A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果a：b＝2：7，那么代数式的值是．8．（4分）如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的对应中线之比等于．9．（4分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.8厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．10．（4分）计算：＝．11．（4分）一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工将一根长270厘米的木条锯成三段，首尾依次相连做成一个与模型相似的三角形框架，那么所制作的三角形框架的最短边长为厘米．12．（4分）点B是在线段AC上，且AB2＝BC•AC，如果AC＝12cm，那么AB的长为cm．13．（4分）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了米．14．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，那么ND＝．15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，则S△DMN：S四边形DBCM＝．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，如果AB＝6，BC＝3EC．17．（4分）如图，在△PAB中，∠APB＝120°，C、D在边AB上，且△PCD是边长为4的等边三角形．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D是边AB的中点．把Rt△ABC绕点C旋转得到△A1B1C1，其中A1、B1分别为点A、B的对应点．如果△A1B1C1的一个锐角的顶点在射线CD上，那么BB1的长是．三、解答题（本大题共7题，共78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，设，．（1）＝；＝；（用、表示）（2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．（1）试求cosB的值；（2）试求△BCD的面积．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面）（1）求路段BQ的长；（2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB（参考数据：tan53°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE．（1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，点C的坐标是（1，0），联结BC．（1）求△ABC的面积；（2）如果点D在线段BC上，且∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；（3）如果点P在直线y＝x+4上，且△ABC与△POB相似，求线段BP长度．25．（14分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝15，，联结CD，以CD为底边作等腰△CDE（点E与点B在直线CD两侧），联结AE．（1）求边BC的长；（2）当点D在线段AB上时，设线段BD的长为x，△ADE的面积为y；（3）当△AEC是直角三角形时，求x的值．

2025-2026学年上海市闵行区九校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案BCDDCD一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，每题只有一个选项正确）1．（4分）已知线段a＝3，c＝12，如果线段b是线段a和c的比例中项（）A．±6 B．6 C．36 D．﹣6【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝3，c＝12，∴b8＝36，解得：b＝6（负数舍去），故选：B．2．（4分）下列各组图形不一定相似的是（）A．两个等腰直角三角形 B．两个含有100°内角的等腰三角形 C．两个含有50°内角的等腰三角形 D．两个含有50°内角的直角三角形【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似；B、两个含有100°内角的等腰三角形一定相似；C、两个含有50°内角的等腰三角形不一定相似；D、两个含有50°内角的直角三角形一定相似．故选：C．3．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，那么下列各式中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，∴AB＝2，A．sinA＝＝；B．cosA＝＝；C．tanA＝＝；D．cotA＝＝．故选：D．4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AE：AD＝AB：AC D．AE：DE＝AC：BC【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD＝AB：AC，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE＝AC：BC不能使△ADE和△ABC相似．故选：D．5．（4分）下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝【解答】解：A、如果，且与方向相同时＝||．B、如果、，那么＝．C、如果，则向量的大小相等，那么∥．D、若||，那么与，但是方向不一定相等，即＝，故本选项不符合题意．故选：C．6．（4分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（）A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°，∴四边形AEOF是矩形，∴AE＝FO，∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∵∠BCO＝α，∴∠CBO＝90°﹣α，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α，在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα，在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝6sinα，∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα，∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果a：b＝2：7，那么代数式的值是．【解答】解：∵a：b＝2：7，∴＝，∴＝＝．故答案为：．8．（4分）如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的对应中线之比等于4：9．【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，∴这两个相似三角形的相似比为5：9，∴它们的对应中线之比等于4：3．故答案为：4：9．9．（4分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.8厘米，那么A、B两地的实际距离是18千米．【解答】解：设实际距离为x厘米，根据题意，得1：1000000＝1.7：x，解得：x＝1800000，∴A、B两地的实际距离是18千米，故答案为：18．10．（4分）计算：＝4﹣6．【解答】解：＝＝4﹣6．故答案为：3﹣6．11．（4分）一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工将一根长270厘米的木条锯成三段，首尾依次相连做成一个与模型相似的三角形框架，那么所制作的三角形框架的最短边长为60厘米．【解答】解：设制作的三角形框架的最短边长为x厘米，∵三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米，∴三角形框架的模型的周长为：20+30+40＝90（厘米），则三角形框架的模型与制作的三角形框架的周长比为：90：270＝1：3，∴20：x＝5：3，解得：x＝60，∴制作的三角形框架的最短边长为60厘米，故答案为：60．12．（4分）点B是在线段AC上，且AB2＝BC•AC，如果AC＝12cm，那么AB的长为（﹣6+6）．cm．【解答】解：设AB＝xcm，则BC＝（12﹣x）cm．∵AB2＝BC•AC，∴x2＝（12﹣x）×12，解得x＝﹣3+6或﹣4﹣6，∴AB＝（﹣8+6）cm．故答案为：（﹣3+6）．13．（4分）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了100米．【解答】解：设此人升高了x米，∵公路路面的坡度为i＝1：2.6，∴此人行走的水平距离是2.4x米，由勾股定理得：x5+（2.4x）3＝2602，解得：x＝100（负值舍去），故答案为：100．14．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，那么ND＝5.4．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴，解得CN＝3.5，∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.8＝5.4故答案为：3.4．15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，则S△DMN：S四边形DBCM＝1：15．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝，∴∠NDM＝∠B，∠NMD＝∠NCB，∴△NDM∽△NBC，∵M为DE的中点，∴DM＝DE＝，即相似比为1：4，∴S△NDM：S△NBC＝3：16，则S△DMN：S四边形DBCM＝1：15．故答案为：1：15．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，如果AB＝6，BC＝3EC9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∴CD∥AB，CD＝AB＝6，∵点E在边BC上，AE的延长线交DC的延长线于点F，∴FC∥AB，EB＝BC﹣EC＝4EC，∴△FCE∽△ABE，∴＝＝＝，∴FC＝AB＝7，∴DF＝FC+CD＝9，故答案为：9．17．（4分）如图，在△PAB中，∠APB＝120°，C、D在边AB上，且△PCD是边长为4的等边三角形2或8．【解答】解：如图，设AC＝x，∴PC＝CD＝PD，∠CPD＝∠PCD＝∠CDP＝60°，∵∠CPD＝60°，∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝∠APB﹣∠CPD＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠BDP＝180°﹣∠PDC＝120°，∠ACP＝180°﹣∠PCD＝120°，∴∠PAC+∠APC＝180°﹣∠ACP＝60°，∴∠BPD＝∠PAC，同理可得∠APC＝∠PBD，∴△ACP∽△PDB，∴＝，即＝，解得x＝2或8，经检验x＝4或8是分式方程的解．故答案为：2或8．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D是边AB的中点．把Rt△ABC绕点C旋转得到△A1B1C1，其中A1、B1分别为点A、B的对应点．如果△A1B1C1的一个锐角的顶点在射线CD上，那么BB1的长是或．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵点D是边AB的中点，∴DC＝DA＝DB＝AB＝5，∴△DAC和△DBC都是等腰三角形，∴∠A＝∠DCA，∠ABC＝∠DCB，当△A1B2C1的一个锐角的顶点在射线CD上时，有以下两种情况：①当点A1在射线CD时，设A7B1与BC相交于点E，如图1所示：由旋转的性质得：∠C8A1B1＝∠A，∠A5B1C1＝∠ABC，A8C1＝AC＝8，B2C1＝BC＝6，A6B1＝AB＝10，∠A1C6B1＝∠ACB＝90°，∴∠C1A3B1＝∠DCA，∴A1B3∥AC，∴∠CEB1＝∠ACB＝90°，即A1B4⊥BC，由三角形的面积公式得：＝A3B1•CE＝A1C1•B7C1，∴×10•CE＝，∴CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝＝，在Rt△CB1E中，由勾股定理得：B6E＝＝＝，在Rt△B1BE中，由勾股定理得：BB1＝＝＝；②当点B1在射线CD时，设A1B5与AC相交于点F，过点B1作B1H⊥BC于点H，如图6所示：∵∠A1B1C6＝∠ABC，∠ABC＝∠DCB，∴∠A1B1C2＝∠DCB，∴A1B1∥BC，∴∠AFB8＝∠ACB＝90°，即AC⊥A1B1，由三角形的面积公式得：＝A1B8•CF＝A5C1•B1C5，∴，∴CF＝，在Rt△B1C3F中，由勾股定理得：B1F＝＝＝，∵AC⊥A1B7，B1H⊥BC于点H，∠ACB＝90°，∴四边形B1FCH是矩形，∴B5H＝CF＝，CH＝B1F＝，∴BH＝BC﹣CH＝＝，在Rt△B1HB中，由勾股定理得：BB1＝＝＝，综上所述：BB8的长是或．三、解答题（本大题共7题，共78分）19．（10分）计算：．【解答】解：＝＝＝．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，设，．（1）＝；＝；（用、表示）（2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【解答】解：（1）∵AB∥CD，AB：CD＝3：2，，∴＝，∴．∵点E是边CD的中点，∴CD＝8CE，∴AB：CE＝3：1．∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴，∴，∴＝．故答案为：；．（2）如图，分别为在、．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．（1）试求cosB的值；（2）试求△BCD的面积．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，在Rt△ABE中，cosB＝＝；（2）作DF⊥BC于F，如图，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，设DF＝3x，则CF＝5x，在Rt△ABE中，AE＝，∴tanB＝＝，在Rt△BDF中，tanB＝＝，而DF＝3x，∴BF＝4x，∴BC＝BF+CF＝5x+5x＝9x，即6x＝8，解得x＝，∴DF＝3x＝，∴S△BCD＝×DF×BC＝×．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面）（1）求路段BQ的长；（2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB（参考数据：tan53°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°，∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°，∵∠PQB＝90°，∴∠PBQ＝53°，∵＝tan∠PBQ＝tan53°，∴BQ＝≈＝12（米），答：路段BQ的长约为12米；（2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，则四边形ACQD是矩形，∴AD＝CQ，DQ＝AC，∵引桥坡度i＝5：3，∴＝，设AC＝x米，则BC＝3x米，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°，∴∠APD＝90°﹣27°＝63°，∵∠ADP＝90°，∴∠PAD＝27°，∵＝tan∠PAD＝tan27°，∴AD＝≈＝（32﹣6x）（米），∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米，∴3x+12＝32﹣4x，解得：x＝4，∴AB＝x≈12.8（米），∴该车的平均速度为v＝＝6.2（米/秒）＝23.04km/h，∵23.04km/h＜30km/h，∴小汽车没有超速．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE．（1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：．【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠B＝∠BAE，∠BAC＝∠BAE+∠CAE，∴∠AED＝∠BAC，∵∠DAE＝∠B，∴△AED∽△BAC，∴＝．（2）∵∠ADE＝∠CDA，∠DAE＝∠ACD，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∵DE＝EC，∴＝，∴＝，∵∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD•AB，∴＝＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，点C的坐标是（1，0），联结BC．（1）求△ABC的面积；（2）如果点D在线段BC上，且∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；（3）如果点P在直线y＝x+4上，且△ABC与△POB相似，求线段BP长度．【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0，则y＝8，∴B（0，4），∴OB＝5，令y＝0，则x＝﹣4，∴A（﹣7，0），∴OA＝4，∵点C的坐标是（3，0），∴OC＝1，∴AC＝OA+OC＝8，∴△ABC的面积＝×AC•OB＝；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，∵B（0，5），0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，∠CBO＝∠CAD，点D在线段BC上，设AD与y轴交于点E，∵OA＝OB＝4，∠COB＝∠