27.4 正多边形和圆（同步课件）-华东师大版九下

第二十七章圆27.4正多边形和圆1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.(重点)3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）

问题1

什么叫做正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2

矩形是正多边形吗？为什么？

菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.注意正多边形各边相等各角相等缺一不可正多边形的对称性问题3

正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

正

n边形都是轴对称图形，都有

n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.问题3

正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳OABCD问题1

以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGH∵EF是边

AB、CD的垂直平分线，∴

OA=OB，OD=OC.同理，OA=OD，OB

=

OC.∴OA

=

OB

=

OC

=

OD.∴正方形

ABCD有一个以点

O为圆心的外接圆.正多边形的性质OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC和∠ADC的平分线，∴

OE=OH

=OF

=OG.∴

正方形

ABCD还有一个以点

O为圆心的内切圆.OABCDERr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于

正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角

=中心角完成下面的表格：练一练如图，已知半径为

4的圆内接正六边形

ABCDEF：①

它的中心角等于

度；②

OC

BC(填＞、＜或＝）；③

△OBC是

三角形；

④

圆内接正六边形的面积是

△OBC面积

的

倍.⑤

圆内接正

n边形面积公式：___________________.CBDOEFAP60=等边6S正多边形

=正多边形的有关计算例1

如图27.4-1，三角形AOB

是正三角形，以点O

为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO

的延长线交⊙O

于点D，E，求证：六边形ABCDEF为⊙O

的内接正六边形.证明：∵三角形AOB

是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴点B在⊙O

上.∵FC∥AB，∴∠

FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.例1

如图27.4-1，三角形AOB

是正三角形，以点O

为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO

的延长线交⊙O

于点D，E，求证：六边形ABCDEF为⊙O

的内接正六边形.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六边形ABCDEF

为⊙O的内接正六边形.1-1.下列图形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五边形；(4)正六边形；(5)线段；(6)圆；(7)菱形；(8)平行四边形.其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是______________(填序号)(2)(4)(5)(6)(7)1-2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是()A.

矩形 B.

菱形C.

正方形 D.

不能确定C例2

已知正六边形ABCDEF

的半径为6，求这个正六边形的边长a6，周长l6和面积S6.解：如图27.4-2，设正六边形ABCDEF的中心为点O，过点O

作OG⊥AB

于点G，连结OA，OB.

D2-2如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°D正多边形的画法正n

边形的画法：将圆n等分，然后顺次连结各等分点，即得到所要作的正n边形.画正多边形的原理是在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

2.用尺规等分圆对于一些特殊的正n

边形，如正方形、正八边形，可以用圆规和直尺作图.如图27.4-3②.在⊙O

中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等.例3

作一个正三角形，使其半径为0.9cm.解：作法一(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)用量角器画∠AOB=∠BOC=120°，其中A，B，C均为圆上的点；(3)连结AB，BC，CA，则△ABC为所求作的正三角形,如图27.4-4．作法二(1)作半径为0.9cm的⊙

O；(2)作⊙O

的任一直径AB；(3)以B

为圆心，以0.9cm为半径作弧，交⊙O于D，E；(4)连结AD，DE，EA，则△ADE

为所求作的正三角形，如图27.4-5.B2.如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(

)A．a＜bB．a＝bC．a＞bD．a，b大小无法比较AC4.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．A5.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图②：1.作直径AF;2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N;3.连结AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度数．(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．【解】△AMN是正三角形．理由：连结ON，NF，如图所示．由题意可得FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°.∴∠NMA＝60°.同理可得