吉林省长春市星恒中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页吉林省长春市星恒中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣15的倒数为（）A．15 B．﹣15 C． D．﹣2．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．﹣3.3 B．2.3 C．﹣0.3 D．﹣2.33．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆的长可表示为（

）A． B．米 C．米 D．米6．如图，在中，，分别以、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点、，连接，与、分别相交于点、，连接，当，时，周长为（

）A．7 B．8 C．9 D．107．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（）A． B． C． D．8．如图，在轴正半轴上，，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，交边于点，则点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题9．分解因式：n2﹣100=．10．买一包医用口罩需x元，买一包酒精消毒湿巾需y元，那么买5包医用口罩和3包酒精消毒湿巾共需元．11．一元二次方程的根的判别式的值是．12．一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6,梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，则DE=.14．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；；；四边形的面积为，其中正确的结论是．三、解答题15．先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．16．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量?17．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．（1）若抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是．（2）若随机抽率取是2名，求甲同学在其中的概率(用画树状图法或列表法求解)．18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为）．画出线段；（2）将线段绕点逆时针旋转90°得到线段．画出线段；（3）以为顶点的四边形的面积是_______个平方单位．19．如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．(1)求证：OE＝OF；(2)若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．20．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；(1)请将条形统计图补充完整；(2)在扇形统计图中，计算出这一组对应的圆心角是______度；(3)所抽取学生成绩的中位数在哪个组内，并说明理由；(4)若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在组的学生有多少人？21．四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：（1）甲队在队员受伤前的速度是千米/时，甲队骑上自行车后的速度为千米/时；（2）当t＝时，甲乙两队第一次相遇；（3）当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？22．模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程．【模型探究】探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________．探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：．【模型应用】如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则．23．如图，在矩形中，，，，点P沿运动，将点P绕点E逆时针旋转得到点(1)平分矩形面积时，直接写出的长；(2)、Q、C三点共线时，求的长；(3)当点P在线段上运动时，证明点Q到的距离为定值；(4)的最小值为______，点Q的路径长为______．24．直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发匀速运动，点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线运动，P、Q同时到达A点，运动停止．(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．(2)点运动的速度为每秒______个单位长度．(3)设点Q的运动时间为秒，的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．(4)当时，直接写出点P的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《吉林省长春市星恒中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷》参考答案题号12345678答案DDACCABB1．D【分析】互为倒数的两个数乘积为，进而可求得的倒数．【详解】解：的倒数为故选D．【点睛】本题考查了倒数．解题的关键与难点在于理解倒数含义．2．D【分析】根据数轴上数字的特点可知，从原点向左边，数字依次是，，，，，由此可求出答案．【详解】解：从原点向左边，数字依次是，，，，，∴据题意得，数轴上墨迹的位置在到之间，∴符合题意的只有D选项，故选：．【点睛】本题主要考查数轴的知识点，掌握和理解数轴上点对应数的知识是解题的关键．3．A【分析】根据从左面观察物体所得到的视图是左视图进行解答即可得．【详解】解：这个几何体的左视图是，故选：A．【点睛】本题考查了左视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4．C【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：移项得，2x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，系数化为1得，x≤2，在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．5．C【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，然后根据中点的定义可得出结论．【详解】解：∵，∴，∵点C是的中点，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义．6．A【分析】根据勾股定理可求出的长，周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，可求出，由此即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，∴，∴周长为，故选：．【点睛】本题主要考查直角三角形，垂直平行线的综合，掌握直角三角形的勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键．7．B【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键．【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴是的中位线，∴，，∵点，分别是，的中点，∴是的中位线，∴，，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，故选：．8．B【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，解方程组等，求得直线的解析式是解题的关键．作于，根据反比例函数系数的几何意义求得，即可求得的坐标，从而求得直线的解析式，根据平行线的性质设直线的解析式为，根据待定系数法即可求得解析式，然后与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．【详解】解：作于，∵，四边形为平行四边形，∴，∵反比例函数的图象经过点C，∴，∴，∴，，∴，设直线为，把代入得，，解得，∵，设直线的解析式为，代入，解得，，∴直线AB的解析式为，由，得或，∴点的坐标为，故选：．9．（n-10）（n+10）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．故答案为：（n-10）（n+10）．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．10．/（3y+5x）【分析】根据总费用=医用口罩数量医用口罩单价酒精消毒湿巾数量酒精消毒湿巾单价即可得．【详解】解：由题意得：总共所需费用为元，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，掌握总费用的计算方法是解题关键．需要注意的是，代数式的书写规则．11．13【分析】根据△=b2-4ac计算可得答案．【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1，∴△=32-4×(-1)×1=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键．12．【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，把顶点标注字母，故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．3【详解】首先根据题目中的三角形和四边形的面积求的三角形ADE和三角形ABC的面积的比，然后求的相似三角形的相似比，然后求得对应边的值即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∴DE：BC=1：2，∵BC=6，∴DE=3，故答案为3．14．【分析】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识，解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断，通过证明，即可判断；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形，可判断；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，通过，从而判断．【详解】解：如图，连接，∵为等边三角形，∴，；由题意得：，，∴为等边三角形，，∴，，故选项正确；在与中，，∴，∴，∴可以由绕点逆时针方向旋转得到，故选项正确；在中，，∴为直角三角形，∴，，故选项正确；如图，过作于点，∵为等边三角形，∴，∴，由勾股定理得：，∴，故选项正确．综上所述，正确选项为，故答案为：．15．，．【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．【详解】解：原式，将代入得：原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．16．卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．【详解】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本由题意列方程，得解得x=20，经检验x=20是方程的解．答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本【点睛】本题考查了分式方程的应用．找到题中的等量关系，列出分式方程，注意分式方程一定要验根．17．（1）；（2）．【分析】（1）直接利用概率公式解题；（2）利用画树状图解题．【详解】（1）因为有4名同学，且抽取1名，故恰巧抽取到甲同学的概率是，故答案为：；（2）画树状图，如图：抽取到2名同学共有12种等可能结果，其中甲同学被抽中的结果有6种，故甲同学在其中的概率为．【点睛】本题考查概率、树状图法或列表法求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20【分析】（1）结合网格特点，连接OA并延长至A1，使OA1=2OA，同样的方法得到B1，连接A1B1即可得；（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点，连接A2B1即可得；（3）根据网格特点可知四边形AA1B1A2是正方形，求出边长即可求得面积．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）结合网格特点易得四边形AA1B1A2是正方形，AA1=，所以四边形AA1B1A2的面积为：=20，故答案为：20．【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键．19．(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF；（2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）解：由（1）得OE=OF=3.5，∴EF=7，∵AD∥BC，EF⊥AD，∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，∵四边形ABCD的面积为63，∴，∴AD=9．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．20．(1)见解析(2)；(3)这一组内；见解析(4)这次竞赛成绩在组的学生有人【分析】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．（）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到组的人数；（）用乘以组人数所占比例即可；（）根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（）根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在组的学生有多少人．【详解】（1）解：本次抽取的学生有：（人），组学生有：（人），补全条形统计图如下：（2）这一组对应的圆心角是，故答案为：；（3）∵一共有个数据，其中位数是第个数据的平均数，而第个数据均落在组，所抽取学生成绩的中位数落在这一组内；（4）（人），答：这次竞赛成绩在组的学生有人．21．（1）4，8；（2）0.8；（3）当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲队在队员受伤前的速度和甲队骑上自行车后的速度；(2)根据函数图象中的数据，可以计算出当t为多少时，甲乙两队第一次相遇；(3)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米.【详解】解：（1）由图象可得，甲队在队员受伤前的速度是：2÷＝4（千米/时），甲队骑上自行车后的速度为：（10﹣2）÷（2﹣1）＝8（千米/时），故答案为：4，8；（2）由图象可得，乙队的速度为：10÷（2.4﹣）＝5（千米/时），令5×（t﹣）＝2，解得t＝0.8，即当t＝0.8时，甲乙两队第一次相遇，故答案为：0.8；（3）由题意可得，[5×（t﹣）]﹣[2+8（t﹣1）]＝1或[2+8（t﹣1）]﹣[5×（t﹣）]＝1或[5×（t﹣）]＝10﹣1，解得t＝1或t＝或t＝，即当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.22．探究1：；探究2：见解析；探究3：【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可；探究2：证明，得出，，即可证明；探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可．【详解】探究1：解：∵，∴，∴，∵，∴；探究2：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；探究3：∵四边形为正方形，∴，。，，∴，∵点E为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法．23．(1)；(2)；(3)见解析(4)2，【分析】连接，交于点O，射线交于P，此时平分矩形的面积，证明得，进而可求出的长；可得出，，从而得出，进而得出，从而；作，作于G，可证得，从而得出，即可得证；当点P在上时，作，作于G，所在的直线交于，可证得，从而得出，从而得出点Q在过点G且与的距离是3的线段上运动，当点P在B时，点Q在处，进一步得出结果；当点P在上时，作于W，可得出，进一步得出结果．本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，配方法