广东省部分重点中学2025-2026学年高三上学期10月标准学术能力诊断性测试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省部分重点中学2025-2026学年高三上学期10月标准学术能力诊断性测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．3．命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（

）种．A．36 B．108 C．120 D．1445．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（

）A．2 B．4 C．6 D．107．双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．8．若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（

）

A．直线AB B．直线BCC．直线CD D．直线DA10．已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（

）A．的周长为4 B．为等边三角形C．的最小值为1 D．存在点N，使得11．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知，，则13．掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为．14．一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为．四、解答题15．为了研究生活习惯M与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示．无习惯M者有习惯M者合计没患疾病N者120160280患有疾病N者154560合计135205340(1)根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？(2)常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，．(1)证明：数列为等差数列；(2)数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值．17．如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点．(1)证明：平面PAB；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的大小（用反三角函数表示）．18．已知抛物线的焦点为F，点在上，且．(1)求抛物线的方程；(2)直线l经过点F，且与交于A、B两点．①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值；②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程．19．已知．(1)当时，证明：对于任意，均有；(2)①若是R上的增函数，证明：；②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省部分重点中学2025-2026学年高三上学期10月标准学术能力诊断性测试数学试卷》参考答案题号12345678910答案CBADADCBCDBC题号11答案ABD1．C【分析】利用复数的运算法则化简所求复数.【详解】因为，则.故选：C2．B【分析】利用集合的运算法则可得答案.【详解】由及，可得：，又因为，所以.故选：B3．A【分析】应用特殊值法及不等式的性质结合充分条件必要条件定义判断即可.【详解】当时，，则，即“”可推出命题“”；当时，，但是不成立，即由命题“”推不出“”；故命题“”是命题“”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．故选：D．5．A【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解．【详解】当时，得，由函数是定义域为R的奇函数，得，即当时，，等号成立时，，则当时，的最小值为1，故选：A6．D【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可.【详解】因为，所以力对该物体做的功为.故选：D.7．C【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，故，即为坐标原点O到直线的距离，则，所以，由双曲线定义可得，所以，又，由勾股定理得，故，解得，故离心率为.故选：C8．B【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使的最大值最小时的，从而求得实数a的最小值.【详解】当时，的取值是以12为周期的序列.在一个周期内的取值组成的集合为.根据的单调性、对称性及的周期性，不妨令，则的最大值在或中取得.可使的最大值取得最小值，需使.根据正弦函数的对称性，此时两角关于对称，即.此时，解得，.故选：B.9．CD【分析】由异面直线的定义依次分析选项.【详解】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点，

正方体中有且，四边形为平行四边形，有且，又，，所以且，所以为梯形，故直线与相交，A错误；正方体中，因为，所以，故B错误；因为平面平面，平面，平面，所以直线与直线无公共点，又，，所以直线与直线不平行，即直线与直线是异面直线，故C正确；因为平面，平面，，故直线与异面，D正确.故选：CD10．BC【分析】根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点，对于A，的周长为，A错误；对于B，点，则，为等边三角形，B正确；对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确；对于D，假设存在点，令，由，得，则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误.故选：BC11．ABD【分析】将切化弦，整理得到，从而得到或，当时计算出角，代入已知，得到，产生矛盾，从而得到；由，计算出，利用求出，由和得到，代入整理后得到，将此式子放缩后得到，即，整理后得到，从而得到的范围；由和得到，由和得到和，从而得到；设，则，转化为且，设，利用导数法得到在内是减函数，利用二分法思想得到的零点在内，即，求出的范围，得到，由得到，由正弦定理得到，从而得到.【详解】，，，，，，，或，若，，代入已知，得到，这是不可能的，则舍去，，故选项A正确；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选项B正确；，，，，，，，，，故选项C错误；设，，，，，，设，，在内是减函数，，，在内有唯一的零点，利用二分法思想，，的零点在内，，，，，，，，，，，，故选项D正确.故选：ABD.12．【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值.【详解】由题设，，根据换底公式，则.故答案为：13．/【分析】根据概率的性质和期望的定义分析求解.【详解】设，则，且，由，得，因为，当且仅当时，等号成立，，即，此时，，，合题意，所以的最小值为.故答案为：.14．【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，圆锥轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为．由小球的半径1cm，，得，又都是等边三角形，则，圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，因此圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为故答案为：15．(1)认为患有疾病N与有生活习惯M有关；(2).【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对作答.（2）由给定公式，利用条件概率公式列式求解.【详解】（1）零假设：患有疾病N与有生活习惯M无关，依据列联表中的数据，经计算得，根据小概率的独立性检验，推断零假设不成立，即认为患有疾病N与有生活习惯M有关．（2）.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，等式两边同除，结合等差数列的定义即可证得结论成立；（2）求出数列、的通项公式，可得出数列的通项公式，分析数列的单调性，可得出数列的最小项，即可得出的值.【详解】（1）因为当时，，，所以，可得当时，，因为，所以当时，等式两边同除可得，数列是公差为的等差数列．（2）因为，当时，，所以，故，因为数列是首项和公比均为的等比数列，则，所以，，所以当时，，当时，，即，所以数列的最小项为，所以对任意正整数，均有，．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设AD中点为Q，根据三个中点M、N、Q推导平面平面PAB即可求证；（2）设AB中点为O，以O为原点，OB为x轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的大小即可．【详解】（1）设AD中点为Q，连接,因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，平面NQM，平面NQM，且，所以平面平面PAB，因为平面，所以平面．（2）设AB中点为O，CD中点为R，因为，所以，因为平面平面ABCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD，进而，因为四边形ABCD是正方形，所以，以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因为若，，所以，，，，，N为PD中点，所以，设平面AMN的法向量为，因为，，，，所以，，取，则，，，平面AMD的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以．18．(1)(2)①1；②或【分析】（1）根据抛物线定义即可求解；（2）①设，，，，直线l的方程为，联立得，，再利用点到直线的距离求解；②设方程为，，，AB中点，联立得到，，再由得到即可．【详解】（1），

所以，抛物线的方程为．（2）①设，，，，为直线l与x轴正半轴的夹角，则直线l的方程为，将直线方程代入抛物线方程得，不妨设，则，，，所以，即，点P到直线l的距离（当时取等）所以（，时取等），所以的最小值为1．②设方程为，，，AB中点，直线的方程为，，，因为垂直平分，且四点共圆，所以关于对称，且MN是直径，将方程代入抛物线方程得，所以，，因为C既在AB上，又在MN上，所以，，得，将方程代入抛物线方程得，因为，所以，得，即，进而，又因为，所以，因为，所以，得，所以直线l的方程为或．19．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，并得到其最小值为0，从而证得对于任意，均有；（2）①由是R上的增函数，得在R上恒成立，分别讨论时的情况，可证得；②当时，利用导数讨论函数在上单调性，可得到其极值点和零点的情况.【详解】（1）当时，，定义域为.所以.当时，；当时，，所以在上递减，在上递增.所以在处取得最小值，最小值为.进而对任意，均有．（2）①由，得.因为是R上的增函数，所以在R上恒成立.设，则.若，则恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.所以在上递减，在上递增.不合题意.若.令，则.当时，.设，则，所以在上递减，存在，与是R上增函数矛盾；当时，则，设，则.所以在上递增，，与是R上增函数矛盾；当时，由（1）知，所以满足要求