2025年东京大学数学试题及答案

2025年东京大学数学试题及答案

一、单项选择题1.函数$f(x)=x^3-3x$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-1,1)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A.5B.10C.11D.133.抛物线$y=2x^2$的焦点坐标是（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,\frac{1}{16})$4.等差数列$\{a_n\}$中，$a_2=3$，$a_5=9$，则公差$d$为（）A.1B.2C.3D.45.若函数$y=\sin(2x+\varphi)$为偶函数，则$\varphi$的值可以是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{6}$6.曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程为（）A.$y=x+1$B.$y=2x+1$C.$y=x$D.$y=2x$7.已知集合$A=\{x|x^2-2x-3\leq0\}$，$B=\{x|x>1\}$，则$A\capB$等于（）A.$(1,3]$B.$(1,+\infty)$C.$[-1,+\infty)$D.$[-1,3]$8.若复数$z$满足$z(1+i)=2i$，则$z$等于（）A.$1+i$B.$1-i$C.$-1+i$D.$-1-i$9.一个正方体的棱长为$2$，则该正方体的外接球体积为（）A.$4\sqrt{3}\pi$B.$8\sqrt{3}\pi$C.$12\sqrt{3}\pi$D.$16\sqrt{3}\pi$10.函数$y=\log_2(x^2-4x+3)$的定义域为（）A.$(1,3)$B.$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$C.$(-3,-1)$D.$(-\infty,-3)\cup(-1,+\infty)$答案：1.D2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.A9.B10.B二、多项选择题1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.$y=x^-\frac{1}{3}$B.$y=3^x$C.$y=x^3$D.$y=\log_3x$2.已知直线$l$过点$(1,2)$，且与直线$2x-y+1=0$垂直，则直线$l$的方程可以是（）A.$x+2y-5=0$B.$2x+y-4=0$C.$x-2y+3=0$D.$2x-y-3=0$3.下列说法正确的是（）A.若事件$A$与$B$互斥，则$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$B.若事件$A$与$B$对立，则$P(A\cupB)=1$C.若事件$A$与$B$独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$D.$P(A)+P(\overline{A})=1$4.已知函数$f(x)=x^2-2ax+1$，在区间$[1,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围可以是（）A.$a\leq1$B.$a<1$C.$a\geq1$D.$a>1$5.已知圆$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=4$，直线$l$：$x+ay-1=0$，则（）A.直线$l$恒过定点$(1,0)$B.当$a=1$时，直线$l$与圆$C$相切C.当$a=\frac{3}{4}$时，直线$l$被圆$C$截得的弦长为$2\sqrt{3}$D.直线$l$与圆$C$相交时，弦长的最小值为$2\sqrt{3}$6.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_1=1$，则（）A.$a_2=3$B.$a_3=7$C.$a_4=15$D.$a_5=31$7.若函数$y=\sin(\omegax+\varphi)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位后与原图象重合，则$\omega$的值可以是（）A.$6$B.$-6$C.$12$D.$-12$8.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为$2$，则（）A.$b=\sqrt{3}a$B.渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$C.过焦点且垂直于实轴的弦长为$\frac{2b^2}{a}$D.焦点到渐近线的距离为$b$9.已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec{b}=(1,n)$，$\vec{c}=(2,-4)$，且$\vec{a}\perp\vec{c}$，$\vec{b}\parallel\vec{c}$，则（）A.$m=2$B.$n=-2$C.$\vec{a}+\vec{b}=(3,-1)$D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=5$10.已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x-1,x\leq0\\\log_2(x+1),x>0\end{cases}$，则（）A.$f(0)=0$B.$f(1)=1$C.若$f(x)=2$则$x=3$D.函数$f(x)$的值域为$(-1,+\infty)$答案：1.C2.A3.ABCD4.A5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABC10.ABD三、判断题1.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上单调递增，则$f^\prime(x)>０$在$(a,b)$上恒成立。（）2.若向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}=0$或$\vec{b}=0$。（）3.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率越大，椭圆越圆。（）4.若数列$\{a_n\}$是等比数列，则其通项公式一定是$a_n=a_1q^{n-1}$。（）5.函数$y=\sinx$与$y=\cosx$的图象在区间$[0,2\pi]$上有两个交点。（）6.若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$。（）7.直线$x=a$与函数$y=f(x)$的图象至多有一个交点。（）8.若集合$A\subseteqB$，则$A\capB=A$。（）9.复数$z=a+bi$（$a,b\inR$）的模为$\sqrt{a^2+b^2}$。（）10.若函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上有最大值$M$，最小值$m$，则$M-m$就是函数在该区间上的振幅。（）答案：1.错2.错3.错4.错5.对6.错7.对8.对9.对10.对四、简答题1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,3]$上的最值。先求导$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$得$x=0$或$x=2$。分别计算$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$。所以最大值为$2$，最小值为$-2$。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_3=5$，$S_5=25$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。设公差为$d$，由$a_3=5$得$a_1+?ert2d=5$，由$S_5=25$得$5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25$，即$a_1+2d=5$，联立解得$a_1=1$，$d=2$，所以$a_n=1+2(n-1)=2n-1$。3.求曲线$y=x^2$与直线$y=2x$所围成图形的面积。联立方程得$x^2=2x$，解得$x=0$或$x=2$。所求面积$S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx=(x^2-\frac{1}{3}x^3)\vert_{0}^{2}=\frac{4}{3}$。4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,1)$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$与$\vec{a}-\vec{b}$夹角的余弦值。$\vec{a}+\vec{b}=(4,3)$，$\vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$。设夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\vert\vec{a}-\vec{b}\vert}=\frac{-8+3}{\sqrt{16+9}\sqrt{4+1}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。五、讨论题1.讨论函数$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在区间$(-2,+\infty)$上的单调性。$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$。当$1-2a>0$即$a<\frac{1}{2}$时，在$(-2,+\infty)$上单调递减；当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=\frac{1}{2}$无单调性；当$a>\frac{1}{2}$时，在$(-2,+\infty)$上单调递增。2.讨论椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与直线$y=kx+m$的位置关系。联立方程得$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0$，判别式$\Delta=