第五章直角三角形（答案版）数学湘教版2024八年级上册

第五章直角三角形1、直角三角形的性质（1）两锐角互余：这是直角三角形最基本的性质，常用于进行角度计算。（2）斜边上的中线性质：斜边上的中线等于斜边的一半。（3）30°角所对的直角边：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。2、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。证明：了解通过图形割补（赵爽弦图等）的证明方法，有助于加深对定理的理解。3、勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。4、直角三角形全等的判定一般判定方法：之前学过的SAS,ASA,AAS,SSS同样适用于直角三角形。特有判定方法（HL定理）：注意：HL定理是SSA原理在直角三角形中的特例。5、角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。6、角平分线的判定定理（逆定理）在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。一、直角三角形两锐角互余易错点：忽略该性质的前提是三角形必须为直角三角形。策略：已知直角三角形时，立即联想两锐角和为90°，用于角度计算。A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：如图，故选：B．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可．∵是上的高，故选：B．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】故答案为：．5．（2526八年级上·山西大同·阶段练习）直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为．【答案】/65度【分析】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，正确掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角为，故答案为：．二、锐角互余的三角形为直角三角形易错点：混淆性质与判定，误将任意三角形两角和为90°当作直角。策略：通过计算证明两锐角互余，可判定该三角形为直角三角形。A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可．故①正确，符合题意；故②正确，符合题意；故③错误，不符合题意；故④正确，符合题意；故⑤错误，不符合题意；综上，符合题意的选项为①②④，故选：C．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；三、直角三角形斜边上的中线易错点：误将斜边当作中线，或记错中线与斜边的关系。策略：牢记“斜边上的中线等于斜边一半”，这是重要解题突破口。11．（2526八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（

）【答案】B【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．故选：B．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长．【答案】/58度【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解决本题的关键；故答案为：．【答案】(1)见解析(2)是线段的中点，又∵是线段的中点，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握基本性质是解题的关键．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质．点是的中点，四、30°的锐角所对的直角边易错点：忽略该性质需在含30°角的直角三角形中才成立。策略：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边必为斜边一半。A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论．故选：A．A． B． C． D．【答案】D故选：D．19．（2526八年级上·江苏连云港·阶段练习）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（

）A．100米 B．120米 C．240米 D．480米【答案】B【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可．故选：B．【答案】∵D是的中点，故答案为：．【答案】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，故答案为：．【答案】5故答案为：5．五、用勾股定理理解三角形易错点：未确定斜边就直接套用公式，导致三边关系错误。策略：先确定斜边，再列关系式a²+b²=c²，注意c必须为斜边。A． B．3 C．1 D．【答案】A【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理．先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据勾股定理解得即可．故选：A．【答案】D【详解】解：如图，连接，故选：D．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据勾股定理进行计算即可．故答案为：．【答案】15故答案为：15．【答案】8六、勾股定理逆定理的应用易错点：与勾股定理混淆，在已知直角三角形时仍用逆定理验证。策略：仅当需判定三角形是否为直角三角时使用逆定理，先计算三边平方关系。A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A故这个三角形是直角三角形；故选：AA．12 B．14 C．24 D．26【答案】D故选：D如图：【答案】114【详解】解：连接，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．(1)求花卉区的面积；(2)这两条步道的长度相差6米．【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质．∴这两条步道的长度相差6米．(1)请计算这个四边形对角线的长度；(2)请用学过的知识求出这块空地的面积；(3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？【答案】(1)【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求解即可；（3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案．答：这个四边形对角线的长度为；七、直角三角形全等的判定易错点：滥用“边边角”判定，忽略HL定理的适用条件。策略：除一般全等条件外，牢记HL定理需满足斜边和一直角边对应相等。【答案】A故选：A．A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对【答案】C综上所述，和的关系是相等或互补．故选：C．【答案】∵两把直尺完全相同，故答案为：．【答案】见解析【答案】(1)见解析(2)4（2）根据含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再由线段中点的定义可得的长．∵为的中点，∵为的中点，【答案】(1)见详解八、角平分线的性质易错点：忽略“距离”必须是垂直距离，误用任意线段。策略：角平分线上的点到角两边距离相等，使用时必须构造垂线段。【答案】D故选：D．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C故选：C．【答案】3【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．将点到的距离转化为的长度即可作答．∴点到的距离等于点到的距离，∴点到的距离为．故答案为：3．【答案】M【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．【详解】解：如图，故答案为：M．【答案】故答案为：．【答案】2故答案为：2．【答案】33【详解】解：如图，连接，故答案为：33．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．九、角平分线的判定定理易错点：将性质定理与判定定理混淆，条件与结论颠倒。策略：到角两边距离相等的点在角平分线上，用于证明角平分线。52．（2526八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等【答案】A【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可．【详解】解：A.在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意；B.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意；C.到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意；D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意；故选：AA．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是【答案】B【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可．故选：B．【答案】/21度【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．故答案为：．【答案】见解析【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．57．（2526八年级上·山东滨州·阶段练习）教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容．我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(1)定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；是的中点，

【答案】(1)详见解析(2)10【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质．(1)在边上找一点D，使得点D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了角平分线的作图，判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．（1）根据角平分线的判定可知，点D在的角平分线上，作的角平分线，交于点D，点D即可求解；【详解】（1）解：如图①，点D即为所求，重难点01直角三角形性质的综合应用A． B． C． D．【答案】B垂线段最短，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．【答案】2【分析】本题主要考查的是度所对的直角边是斜边的一半，过一点作已知直线的垂线的尺规作图以及三角形的外角定理和等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：由题意知：直线是的垂线，故答案为：2【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余．【答案】(1)证明见解析(2)本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．∵是的中点，又∵为中点，故答案为：．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【详解】（1）证明：∵垂直平分，【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形角度关系、全等三角形证明线段相等，结合等边三角形性质进行推理计算．∵是边的中点，【答案】(1)(3)【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的高，垂线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上定义和性质．（1）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可；（2）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可；【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论；【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．重难点02勾股定理的实际应用【答案】C【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解．把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可．蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1，蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2，故选：C．【分析】此题考查平面展开最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为的长度，然后根据勾股定理计算的长即可．【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，(1)求的长．【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．（2）如图．71．（2526八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【答案】走私艇最早在时分进入我国领海【分析】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键．∴走私艇进入我国领海的最短距离是，时分分时分．答：走私艇最早在时分进入我国领海．(1)求点C到公路的距离；(2)会造成噪声污染，污染的时间为【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识．∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．重难点03勾股定理的证明73．（2526八年级上·江西九江·阶段练习）【初步感知】【深入探究】【答案】（1）12；（2）3【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．74．（2526八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法：(1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理；【答案】(1)见解析(2)米【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可；∴两个站点C，D之间的直线距离为米；（3）解：如图所示：75．（2526八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．(2)用图验证勾股定理；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)这个图形外围轮廓（实线）的周长为．【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：如图，设与交于点，（2）证明：如图，连接，∴这个图形外围轮廓（实线）的周长为．76．（2526八年级上·河南平顶山·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用．（1）运用勾股定理可得的值；故答案为：；77．（2025八年级上·全国·专题练习）活动目标巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式活动任务任务一：测量河两岸A、B两点间的距离测量工具：测量角度的仪器，皮尺等测量方案示意图：④测得的长度为．请你根据以上方案求出A、B两点间的距离任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为．（2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．任务二：（1）根据图形利用正方形和直角三角形的面积公式即可求解；【详解】任务一：即A、B两点间的距离为；任务二：78．（2526八年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】【问题探究】【问题解决】【分析】本题考查的是勾股定理的证明以及应用，全等三角形的性质，化为最简二次根式．79．（2526八年级上·全国·期中）综合与实践．【知识迁移】【方法运用】【拓展延伸】【答案】（1）见解析（3）x的值为．【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．(1)请结合图①，证明勾股定理．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键．∴大正方形的面积为；又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，∵该八边形的周长为48，故答案为：；故答案为：．重难点04勾股定理与图形的折叠【答案】故答案为：．【答案】；．【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可；故答案为：；故答案为：．【答案】或（或）【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时，当点位于靠近点的三等分点时，的长为．如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时，当点位于靠近点的三等分点时，的长为．综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或．故答案为：或（4.5或1.8）．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．故答案为：．【答案】折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是，折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、勾股定理、等边对等角、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握折叠性质．重难点05角平分线性质与判定的综合应用【答案】D【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．∴点到的距离与点到的距离相等，∵C村到公路的距离为，∴C村到公路的距离是．故选：D．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．故选：C．【答案】④【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析：如图，延长交于点，综上所述，正确的有④，故答案为：④．新知应用：【答案】(1)(2)【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系．故答案为；∴点D到，的距离相等，连接，过点F作,，分别垂直于，，，∴点F到，，三边的距离相等，(4)【能力设问】如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．①判断与的位置关系，并说明理由；【答案】(1)直角(2)5(3