专题04圆（期中复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题04圆（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律圆的基本概念与垂径定理①利用垂径定理及其推论求弦长，半径及其弦心距；②证明线段相等、垂直关系常考小题与综合题圆心角、弧、弦的关系①能直接证明角、弧、弦的相等关系；②能与其他定理（如圆周角定理）结合进行证明或计算常考小题与综合题圆周角定理①能利用定理求角度；②证明角相等；③利用内接四边形的性质求角度常考小题与综合题（求角度最常考）切线的性质与判定（绝对核心）①证明切线；②利用切线性质求长度或角度常考小题与综合题（必考点）切线长定理①求线段长度、角度；②证明线段相等、角相等、线段垂直或平行；③能够与三角形的内心、外心等知识点结合解决相应题目。常考小题与综合题弧长与扇形面积①能够直接套用公式计算；②能与实际问题结合，如计算弯管长度、羊吃草的面积、零件面积等③能熟练求阴影部分面积（割补法）常考小题圆锥的侧面积和全面积①求侧面积或全面积常考小题知识点01圆的定义及其相关概念1.圆的定义：静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。2.圆的相关概念：(1) 弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。(2) 直径：过圆心的弦叫做直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。(3) 弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为EQ\*jc2\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AOC)。读作弧AOC。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AC)。读作弧AC。(4) 等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。(5) 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。知识点02垂径定理及其推论1.垂径定理的内容：垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。2.垂直定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。知识点03弧、弦以及圆心角1.圆心角的认识：顶点在圆心的角叫做圆心角。大小范围为0°＜α＜360°。2.弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。3.弧、弦、圆心角的关系的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。4.弧的度数：弧的度数等于它所对的圆心角的度数。知识点04圆周角1.圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。3.圆周角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。如图：若EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),AC)＝EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),BD)，则∠ABC＝∠BAD；若∠ABC＝∠BAD，则EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),AC)＝EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),BD)。（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝90°。若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的直径。4.圆的内接四边形：（1）概念：如图：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。（2）圆的内接四边形的性质：①圆的内接四边形的对角互补。即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）即：∠EAD＝∠C。知识点05点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r点在圆外。（2）如图2：d＝r点在圆上。（3）如图3：d＜r点在圆内。2.三角形的外接圆与外心：（1）外接圆：如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。（2）外心：三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三个顶点的距离相等。特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。知识点06直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图（1）d＜r直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。（2）d＝r直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的切点。（3）d＞r直线与圆相离，与圆没有公共点。2.切线的判定：（1）判定定理：经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。（2）切线的判定的方法：①直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。③利用三角形的全等转换证明垂直。④利用平行线转换证明垂直。②直线与圆无公共点：作垂直，证半径。3.切线的性质：（1）圆的切线垂直于经过切点的半径。（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。（2）切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。推广：由切线长定理的结论可得：①△APO≌△BPO∠AOP＝∠BOPEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AM)＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AM)AB⊥OP。5.三角形的内切圆与内心：（1）内切圆如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。（3）直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：（4）三角形的面积与内切圆半径的关系：6.弦切角与弦切角定理：（1）弦切角：如图，像∠ACP这样顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。（2）弦切角定理：弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。知识点07正多边形与圆1.正多边形及其相关概念：（1）正多边形的概念：各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。（2）圆的内接正多边形：把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。（3）圆的内接正多边形的相关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。④边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心距。2.正多边形的有关计算：(1) 正多边形的内角计算：(2) 正多边形的中心角：(3) 正多边形的外角：(4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：(5) 正多边形的周长和面积：知识点08弧长与扇形的面积1.扇形的弧长：（1）扇形弧长的定义：扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。（2）扇形弧长的计算公式：2.扇形的面积计算：3.圆锥的侧面积与全面积：（1）圆锥的认识：如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。（2）圆锥的母线长、高与底面半径的关系：圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。（3）圆锥的侧面展开图的认识：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。（4）圆锥的侧面积计算：题型一利用垂径定理求弦长、半径及弦心距解｜题｜技｜巧在垂径定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦长2＝半径2”解决相关题目【典例1】已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm【答案】B【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为R，∵CD⊥AB，∴∠APO＝90°，在Rt△OAP中，∵OP＝OD﹣PD＝r﹣2，OA＝r，AP＝4，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径为5cm．故选：B．【变式1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为25cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，设圆的半径为r，则：OA＝OC＝rm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，AD=12∵AO2＝AD2+DO2，∴r2＝202+（r﹣10）2，∴r＝25cm；∴圆形工件的半径为25cm．故答案为：25cm．【典例2】如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3，∴AC=52∴AB＝2AC＝8．故选：C．【变式1】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为92【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DE=12设BE＝x，则CE＝x+2，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝42﹣x2，在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2＝AC2﹣CE2，即AE2＝52﹣（x+2）2，所以42﹣x2＝52﹣（x+2）2，解得x=5即BE=5∴CE=54+∴CD＝2CE=13∴BD＝CD﹣BC=9故答案为：92【典例3】（2025春•道县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则OE的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴ED=12CD=12∵OD＝5，∴OE=OD故选：B．【变式1】日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是1cm．【答案】1cm．【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD，∴四边形ACDB是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵OG⊥CD，∴OG⊥AB，∴AE＝EB＝8cm，∴OE=OA2-∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），∵EG＝AC＝BD＝5cm，∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，故答案为：1cm．题型二利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系解｜题｜技｜巧【典例1】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，∴CF＝DF，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接OC，∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，∴CF=12CD=3，∴CO2＝CF2+OF2，设⊙O的半径是r，∴r2＝32+（r﹣1）2，解得r＝5，∴⊙O的半径是5．【典例2】已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝43cm．（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由；（3）求∠ACM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OM，∵点M是弧AB的中点，∴OM⊥AB，过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理，得MD=12MN＝2在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝23，∴OD=OM故圆心O到弦MN的距离为2cm．（2）猜想：OM⊥AB连接OA、OB，由M是弧AB的中点，得∠AOM＝∠BOM，又因为OA＝OB，所以OM⊥AB．（3）cos∠OMD=MD∴∠OMD＝30°，∵OM⊥AB，∴∠ACM＝60°．题型三垂径定理的应用解｜题｜技｜巧把实际问题抽象为数学问题，在利用垂径定理中的勾股定理解决问题。易｜错｜点｜拨注意实际问题中的量对应的数学问题中的量，不能混淆。【典例1】（2025春•郓城县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．2米 C．(3-5)米 D．【答案】C【解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝2（米），∠ADO＝∴OD=O∴CD＝OC﹣OD＝（3-5即点C到弦AB所在直线的距离是（3-5故选：C．【典例2】（2025春•石景山区校级期中）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为1尺．”【答案】1．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵CD⊥AB，AB＝8寸，∴AE＝BE＝4（寸），∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，∴CD＝2r＝10寸＝1（尺），故答案为：1．【典例3】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（）cm．A．42 B．6 C．8 D．8.4【答案】C【解答】解：由题意得：OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB，∠OCA＝由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知：OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=52-3∴AB＝2AC＝8（cm）．故选：C．题型四弦、弧及圆心角之间的关系易｜错｜点｜拨在判断弦和弧的关系时，前提条件必须是同圆或等圆中，注意相等关系成立，加减运算关系不成立。涉及加减运算关系时，弦的大小关系要利用三角形的三边关系判断。【典例1】下列说法中，正确的个数为（）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧长相等的弧则所对的圆心角不一定相等．错误；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：A．【典例2】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD D【答案】D【解答】解：∵AB＝CD，∴AB=∴AB-即AC=∴AC＝BD，∵AD和BD无法确定相等，∴无法判断AD＝BD，故选：D．【典例3】如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（）A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点H，连接AH、BH，则AH=∵弧AB长等于弧AC长的2倍，∴AH=∴AH＝BH＝AC，在△ABH中，AH+BH＞AB，∴AB＜2AC，故选：C．题型五利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵AB＝CD，∴AB=∴AB-∴AC=∴∠AOC＝∠BOD＝84°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO=12（180°﹣∠AOC）=12×（180°故选：D．【变式1】（2025春•江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接BD、AC，∵AB＝BC＝AD，∴AB=∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，解得，∠DBP＝15°．∴CD的度数为30°，故答案为：30°．【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，AB=BE，连接AE交BD于点（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．【答案】（1）32；（2）100°【解答】解：（1）如图1，连接OB，∵直径AC⊥弦BD，∴AB=∵AB=∴AE⏜∴AE＝BD＝4，∴BG＝2．设OG＝x，∵AG＝1，∴OA＝OB＝x+1．在Rt△OBG中，OG2+BG2＝OB2，即x2+22＝（x+1）2，解得x=32（2）如图2，连接OB交AE于点H，由（1）知AE＝BD，∴OH＝OG．∵AC⊥BD，OF＝OF，∴Rt△OHF≌Rt△OGF，∴∠GOF＝∠HOF＝20°，∴∠AOH＝40°，∴∠A＝50°，∴∠COE＝2∠A＝100°．【变式3】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．（1）求证：点D为BC的中点；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴BD=即点D为BC的中点；（2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴BE＝EC＝4，∴BC＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，∴AB=∴OD＝OB＝5，∴OE=∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．题型六圆周角定理解｜题｜技｜巧在解决圆周角相关的题目时，遇圆周角找到其对应的弧及其这段弧对应的其他圆周角；遇直径则找到其所对的直角；在复杂的图形中，学会化简剥离图形。易｜错｜点｜拨在运用圆周角定理时，同样要注意前提条件必须是同圆或等圆中应用。还要注意特殊的弦（直径）。【典例1】（2025春•平舆县期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接CD．若CD=32cmA．3cm B．32cm C．6cm D．【答案】C【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CAD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC=2CD=2×32=故选：C．【变式1】（2025春•高州市期中）如图，在圆O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD等于（）A．40° B．60° C．50° D．45°【答案】C【解答】解：∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠D＝90°，又∵∠ABC＝40°，∴∠D＝∠ABC＝40°，∴∠CAD+40°＝90°，解得：∠CAD＝50°，故选：C．【变式2】（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（）A．35° B．37° C．37.5° D．52.5°【答案】C【解答】解：如图，连接OD．∵∠BOC＝35°，∴∠OAC=12∠BOC=12∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝17.5°，∵∠ACD＝35°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝17.5°+35°＝52.5°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝52.5°，∴∠COD＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°，∴∠DAC=12∠COD=12故选：C．【典例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1＝∠2；（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴BC=∴∠A＝∠2，又∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6，∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3，设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32，解得：R=∴⊙O的半径是R=【变式1】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）证明：∠BCO＝∠ACD；（2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的长．【答案】（1）见解析；（2）8．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴AC=∴∠ACD＝∠B，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∴∠BCO＝∠ACD；（2）解：∵AE＝2，BE＝8，∴OA＝5，OE＝3，在Rt△OCE中，CE=52∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2CE＝8．题型六内接四边形的性质及其应用【典例1】（2025春•前郭县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝110°，则∠AOC的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝110°，∴∠D＝180°﹣110°＝70°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，故选：D．【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（）A．128° B．100° C．120° D．132°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴180°＝∠A+∠BCD，∵180°＝∠BCD+∠DCE，∴∠DCE＝∠A＝64°，∵所对的圆周角是∠A，AB所对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD＝2∠A＝2×64°＝128°，故选：A．【变式2】（2025春•泗县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝73°，则∠ABC的度数为（）A．117° B．107° C．105° D．97°【答案】B【解答】解：∵BE∥CD，∴∠ADC＝∠AEB＝73°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣73°＝107°，故选：B．题型七切线的性质与判定解｜题｜技｜巧在进行切线的判定时，通常情况下要么连半径，证垂直，要么你作垂直，证半径。注意证明垂直时可利用勾股定理证明垂直；利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直；利用三角形的全等转换证明垂直；利用平行线转换证明垂直。在进行角度计算时，利用半径与切线垂直构造直角三角形解决问题。【典例1】如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠FED+∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE，∵OE是半径，∴EF为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，∴FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得，FE2+OE2＝OF2，∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，解得r＝3，或r＝1（舍去），∴⊙O的半径为3．【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝25，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OA；∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝25，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，∴R2+（R﹣2）2＝（25）2，解得R＝4，作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，则AH＝BH，∵12OH•AE=12•OE∴OH=OE在Rt△AOH中，AH=O∵OH⊥AB，∴AB＝2AH=16题型八切线长定理解｜题｜技｜巧回归切线长的概念以及切线长定理，注意圆心与圆外一点的连线，是平分两条切线形成的夹角的。【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．【变式1】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（）A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B，∴PA＝PB，∵C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，∴CD＝AD，CE＝BE，∵△PDE的周长为12，∴PD+DC+CE+PE＝PD+AD＝BE+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6，故选：B．题型八三角形的内切圆与外接圆解｜题｜技｜巧解决内切圆有关的题目时，抓住关键点“圆心到三边的距离相等”；解决外接圆有关的问题时，抓住关键点“圆心到三个顶点的距离相等”【典例1】（2025春•沈丘县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（）A．22 B．1 C．2 D．2【答案】C【解答】解：如图，连接OB，由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴OA＝AB•cos∠OAB＝2×2故选：C．【变式1】（2025春•宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（）A．52° B．62° C．68° D．72°【答案】B【解答】解：如图，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝90°﹣76°＝14°，由圆周角定理得：∠DCA＝∠DBA＝14°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝76°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝76°﹣14°＝62°，故选：B．【典例2】（2025春•叶县期中）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】D【解答】解：如图，连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，∴DI∥AC，EI∥BC，∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，∴DA＝DI，EB＝EI，∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．所以图中阴影部分的周长为4．故选：D．【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】C【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∴∠ABD∴∠CAD＝∠CBD＝25°，故选：C．题型九正多边形和圆解｜题｜技｜巧熟记相关计算公式并应用【典例1】（2025春•泗阳县期中）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（）A．60° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解答】解：∵正六边形ABCDEF，∴∠ABC＝∠C=(6-2)×180°6又∵正方形ABHG，AH是对角线，∴∠HAB＝45°，在四边形ABCM中，∠HMC＝360°﹣120°﹣120°﹣45°＝75°，故选：B．【变式1】（2025春•富顺县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（）A．18° B．36° C．54° D．72°【答案】B【解答】解：连接OA、OE，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠AOE=15×360°∵P为AB上一点，∴∠APE=12∠AOE=12故选：B．【变式2】（2025春•固安县期中）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若CE＝2，则正六边形的周长为46．【答案】46．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，∵∠EBF是正六边形的外角，∴∠EBF=360°6∵∠ECF是正八边形的外角，∴∠ECF=360°8在Rt△ECF中，EC＝2，∠ECF＝45°，∴EF＝FC=22EC在Rt△EBF中，EF=2，∠EBF＝60°∴BE=2∴正六边形的周长为263×6＝故答案为：46题型十扇形的弧长与面积解｜题｜技｜巧熟记相关计算公式并应用【典例1】（2025春•乌当区校级期中）如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧AC的长度为（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm【答案】D【解答】解：∵圆饼的直径为20cm，∴圆饼的半径为10cm，∵圆弧AC的圆周角为45°，∴圆弧AC的圆心角为90°，∴圆弧AC的长度为：90π故选：D．【变式1】（2025春•宝山区校级期中）如图所示，将一个半径OA＝10cm，圆心角∠AOB＝90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上，则点O运动的路线长为15πcm．（计算结果不取近似值）【答案】15π．【解答】解：点O运动的路径为：3×90故本题答案为：15π．【典例2】（2025春•重庆校级期中）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（）A．89π B．29π C．8【答案】A【解答】解：由圆周角定理可知∠AOB＝2∠ACB＝80°，根据扇形面积公式计算可得：S阴影故选：A．【变式1】（2025春•新野县期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE＝2，则阴影部分的面积为（）A．2π3 B．4π3 C．2π【答案】D【解答】解：∵∠DAB＝30°，∴∠DOE＝2∠DAB＝60°，∴∠ODE＝30°．又∵OE＝2，∴OD＝4，DE=23则⊙O的半径为4，∴△AOD的面积为：12∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE=23，∠AOB＝∠BOD＝60°∴下面阴影部分的面积为：60⋅π∴阴影部分的面积为：43故选：D．题型十一圆锥侧面积与全面积的计算解｜题｜技｜巧熟记相关计算公式并应用，注意原图形与展开图之间的对应关系不能混淆。【典例1】（2025春•杨浦区校级期中）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：设底面圆的半径为rcm．由题意：π•r2＝16π，∴r＝4（负根已经舍弃），∴圆锥的侧面积=12•2π•4•6＝24π（cm故选：D．【变式1】（2025春•祁东县期中）将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为4．【答案】4．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r．根据题意，得2πr=90360×2解得r＝4，∴这个圆锥的底面圆半径为4．故答案为：4．【变式2】（2025春•杨浦区校级期中）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为400π9cm【答案】400π【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr解得r=10即该圆锥底面圆的半径为103∴S=所以该圆锥的全面积为400π9cm故答案为：400π题型三（跨章节/学科题型）易｜错｜点｜拨解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题【典例1】如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了4πcm．（结果保留π）【答案】4π．【解答】解：砝码被提起了：120π×6180=4故答案为：4π．【典例2】物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为n°，由题意可知，点A转过的弧长为4πcm，∴nπ×12解得n＝60，∴滑轮上点A转过的度数为60°，故答案为：60°．【典例3】苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为120°．【答案】120．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝∠AFE=(6-2)×180°6∴△BAF≌△AFE（SAS），∴∠ABF＝∠FAE，∴∠1＝∠ABF+∠BAE＝∠FAE+∠BAE＝∠BAF＝120°．故答案为：120．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧【答案】D【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选：D．2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB（AB所对的弦的长）约为36m，拱高CD（AB的中点到弦AB的距离）约为6m，则AB所在圆的半径OA为（）A．30m B．27m C．617m D．【答案】A【解答】解：如图，点O圆心，连接OA、OB，∵CD＝6m，AD=12AB=18∴∠ADO＝90°，设圆的半径为xm，则OD＝（x﹣6）m，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴OA＝30m，故选：A．3．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（）A．2 B．210 C．5 D．【答案】A【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD，∴CD＝AB＝3+7＝10，过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°，∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O，∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5，∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB，∴ON＝OM，∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB，∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，∴四边形ONEM是正方形，∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2，故选：A．4．如图，在⊙O中，AB=2BC且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为5【答案】5．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交AB于点F，连接OB．∵OF⊥AB，AB＝8，∴AF=BF=12AB，AE＝BE=∵AB=2BC∴BC=12∴∠BOC＝∠BOF，∴OB是∠COF的平分线，∵BD⊥OC，∴BD＝BE＝4，设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，∵CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2，在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2，∴42+（r﹣2）2＝r2，∴r＝5，∴⊙O的半径为5．故答案为：5．5．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（）A．45° B．90° C．135° D．180°【答案】B【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF．∵∠AOD＝2∠1，∠DOE＝2∠2，∠EOF＝2∠3，∠BOF＝2∠4，∴∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF＝2（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°．故选：B．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】见试题解答内容【解答】解：延长EB至F'，使BF′＝DF，连接AF′，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABF′＝∠ADC，∵∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在△ABF′和△ADF中，AB=∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF，∴∠BAF′+∠BAE＝30°，∴∠EAF′＝∠EAF＝30°，在△AEF′和△AEF中，AF'=∴△AEF′≌△AEF（SAS），∴EF′＝EF＝3，∴BE＝3﹣1＝2，故选：B．7．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，∴四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG，∵DE是⊙O的切线，∴MD＝MF，EM＝EG，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=AC∵⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆的半径=12（AC+BC﹣AB）＝∴CG＝1，∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6．故选：C．8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（）个这样的正五边形．A．5 B．7 C．9 D．10【答案】B【解答】解：如图，设正五边形的两边交于点O，正五边形的外角为360°5∴∠1＝180°﹣2×72°＝36°，∵360°36°∴要完成这一圆环还需要10﹣3＝7个这样的正五边形．故选：B．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（）A．π4 B．π3 C．2π3【答案】A【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形∴S阴影故选：A．期中重难突破练（测试时间：10分钟）10．如图AB，CD是⊙O中两条互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，则⊙O的半径为（）A．10 B．22 C．25 D【答案】A【解答】解：作直径AE、DF，连接CE、BF，如图，∵AE、DF为直径，∴∠ACE＝∠FBD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AMD＝90°，∴∠ADC+∠DAB＝90°，∵∠ADC＝∠AEC，∠DAB＝∠DFB，∴∠AEC+∠DFB＝90°，∵∠AEC+∠EAC＝90°，∠EAC＝∠DFB，在△ACE和△FBD中，∠EAC∴△ACE≌△FBD（AAS），∴CE＝BD＝6，在Rt△ACE中，AE=AC2∴⊙O的半径为10．故选：A．11．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝12，设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，∵⊙O的直径为20，∴DF＝OC＝10，∴AF＝10﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，解得x1＝4，x2＝18．∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，∴x＝4，∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝12．故选：B．12．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）A．120° B．125° C．135° D．140°【答案】D【解答】解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C=12∠∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=1∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°-12（∠CAB+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+14∠∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．∵∠AIB＝125°，∴∠AOB＝140°．故选：D．13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为170，则大正方形的边长为（）A．25 B．26 C．30 D．34【答案】D【解答】解：如图所示，△ACB为四个全等的直角三角形其中之一，DH⊥AB，EG⊥AB，DI⊥EG，EF∥AB．DJ⊥AC，DK⊥CB．易得四边形EFGB和DHGI均是矩形．由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形．根据题意，EF＝DH＝IG＝6，OE＝OD=170，则DE=2OE根据对称性可得AH＝FB＝EG．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．在Rt△ACB中，⊙D为内切圆，易得四边形CJDK为边长等于6的正方形．由切线长定理可得AJ＝AH，BK＝BH．∴AB＝AH+BH＝AJ+BK+CJ+CK，即c＝a+b﹣12．又∵AC＝AJ+CJ＝b，AB＝AH+GB+HG＝c，∴HG＝DI＝c﹣（AH+GB）＝c﹣（AJ+CJ）＝c﹣b．∴EI＝EG﹣DH＝AC﹣CJ﹣DH＝b﹣2×6＝b﹣12．在Rt△DIE中，DE2＝EI2+DI2，即（c﹣b）2+（c﹣a）2＝340．整理得：2c2+a2+b2﹣2c（a+b）＝340．∵a2+b2＝c2，a+b＝c+12．∴c2﹣24c﹣340＝0，解得c＝34．故答案为：D．14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，AE的长为2π，则CE的长4﹣22．【答案】4﹣22．【解答】解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝CE，∴CM＝BC，∵AE的长为2π，∴90π×R解得：R＝4，即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝22，∴CE＝4﹣22，故答案为：4﹣22．15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是25+2【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，因此CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA=2=在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2，O'C=∴CM＝CO′+O′M＝25+2故答案为：25+216．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OA，在△OBP和△OAP中，PA=∴△OBP≌△OAP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线；（2）连接OC∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，设OA＝r，则r2+42＝（r+2）2，解得，r＝3，则OA＝3，BC＝6，设BP＝x，则AP＝x，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，解得，x＝6，∴BP＝6，∴BD＝3，∴QD=(6+2即QD的值是73．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．（1）求证：∠CAD＝∠DAB；（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）（2π-332）（【解答】（1）证明：∵DM＝DE，∴DM=∴∠CAD＝∠DAB；（2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠CAD＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴∠MDC+∠MDO＝90°，∵OM＝OD，OH⊥MD，∴∠DOH=12∠∵∠CAD=12∠∴∠CAD＝∠DOH，∵∠DOH+∠MDO＝90°，∴∠DOH＝∠CDM，∴∠CAD＝∠CDM，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM＝∠ADM，∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°，∴∠CAD＝30°；（3）解：∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B，∵∠DOB+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAB＝30°，∴∠BOD＝60°，∵AD＝6cm，∴DF=12AD＝3∴OF=33FD=∴OD＝2OF＝23cm，∴扇形ODE的面积=60π×(23)2360=2π（cm2），△ODF的面积=12∴阴影的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODF的面积＝（2π-332）（期中综合拓展练（测试时间：15分钟）18．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形Bm