第二十九章直线与圆的位置关系（知识清单）（挖空版）

第二十九章直线与圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O_____；d=r点P在⊙O____；d>r点P在⊙O_____．知识点二直线与圆的位置关系知识点三切线的性质与判定定理（2）性质定理：切线______于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点．推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心．以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线知识点四切线长定理知识点五三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的______________的交点，它叫做三角形的内心．注意：内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到________的距离相等．（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=____________．知识点六正多边形和圆一点和圆的位置关系易错点一：概念理解混淆，忽视前提条件易错点总结：1.认为“圆上的点”到圆心的距离都相等，但“圆内的点”到圆心的距离也可能等于半径。（错误！圆内的点距离一定小于半径）2.在判断点与圆的位置关系时，没有先明确哪个圆和哪个点，尤其是在复杂图形中。注意事项：1.牢记定义：严格依据d与r的数量关系进行判断，不要凭感觉或图形估算。2.明确对象：读题时圈出“点”和“圆”，确保判断的对象是正确的。易错点二：与其它知识点结合时，逻辑链条断裂易错点总结：1.在动点问题或函数图像问题中，无法建立点的坐标与距离的函数关系。2.在证明“几点共圆”时，不理解其本质是证明这几个点到某一定点的距离相等。注意事项：1.问题转化：将“位置关系”转化为d与r的不等式关系”。2.数形结合：画出草图，帮助理解动点的运动轨迹和满足条件的区域。(1)求A、B两点的坐标．(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切．(3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？易错点三：忽视多解情况或图形位置的不确定性易错点总结：1.在解答关于位置关系的分类讨论题时，答案不完整。2.过于依赖单一位置的草图，忽略了图形可能存在多种情况。注意事项：1.临界点检查：在列出不等式后，务必单独考虑d=r的临界情况，检查该点是否符合题意（“圆上”通常不属于“圆内”或“圆外”）。2.全面思考：养成分类讨论的习惯，思考图形是否有其他可能的位置或形状。二切线的性质和判定易错点一性质使用前提不清易错点总结：在未证明某直线是切线的情况下，直接使用“切线与半径垂直”的性质。注意事项：必须明确，只有已知（或已证）某线是切线，并且明确指出了切点，才能使用“切线与过切点的半径垂直”这一性质。例：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．易错点二判定方法选择错误易错点总结：已知公共点时，却用“作垂直，证半径”；或者未知公共点时，盲目地“连半径”。注意事项：1.题目条件中明确给出了直线和圆的公共点优先用“连半径，证垂直”。2.题目条件中没有明确公共点必须用“作垂直，证半径”。例：已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.．易错点三“连半径，证垂直”时，推理不严谨易错点总结：连接半径后，证明垂直的步骤不完整，逻辑跳跃。注意事项：证明垂直通常需要利用三角形全等、勾股定理逆定理、或者“直径所对的圆周角是直角”等性质。要写出完整的推理过程。例：如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．三正多边形与圆易错点一计算失误——中心角、边数、半径关系的混淆易错点总结：正多边形的计算核心是围绕中心角展开的。中心角是将正多边形的中心与各个顶点连接后，形成的每个等腰三角形的顶角。注意事项：1.画图标量：遇到计算题，务必画出正多边形、它的外接圆，并连接中心与两个相邻顶点，构造出一个等腰三角形。这个三角形的顶角是中心角，底角是内角的一半，腰是半径，底边是边长。2.明确目标：你的所有计算几乎都是在这个等腰三角形中进行的。明确已知什么（是半径？边长？边心距？），求什么，然后再选择用三角函数还是勾股定理。(1)求圆内接正六边形面积．(2)圆内接正八边形的面积为_____．(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____．易错点二：思维定式——“正多边形”与“等分圆周”的等价关系易错点总结：认为“将圆周四等分，依次连接各点，得到的是正方形”；但忽略了“依次连接”和“间隔注意事项：仔细审题，看清题目要求是“依次连接”还是“每隔m个点连接”。(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．A．点在内 B．点在上C．点在外 D．点在上A．20 B．30C．40 D．随点位置而变化3．（2025·河北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是（

）C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径4．（2025·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：①点A是的中点；②直线，都是的切线；③点P到点Q、点R的距离相等；对上述结论描述正确的是（

）A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确5．（2425九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下：下列说法正确的是（

）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误8．（2025·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图2．（1）连接；（2）以为直径作圆，与交于C、D两点；（3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线．下列可作为以上作图依据的是．甲：直径所对的圆周角为直角；乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；丙：同弧所对圆周角相等．9．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b．（1）连接，的长为；（2）a的取值范围是．11．如图，已知．

(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．(1)如图1，求证：是的切线；(1)求证：直线是的切线；15．（2024·广西桂林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；(3)在（2）的条件下，求的值．(2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；17．（2025·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢