2025年高三数学高考等差数列与等比数列模拟试题

2025年高三数学高考等差数列与等比数列模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）已知数列{an}是各项不为零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn=an·an+1，则a8的值为（）A.4B.8C.12D.16设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5=5(1+q+q2)-4，且q>0，则S4的值为（）A.5B.10C.15D.20在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若S6/S3-S3/S1=2，则S6的值为（）A.12B.18C.30D.36已知a，b∈R，b为a和2的等差中项，则3a+9b的最小值为（）A.1/3B.3C.1/2D.2/3已知{bn}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，b3=1，且2b4与b5的等差中项为4，则S3等于（）A.3/4B.7/4C.11/4D.15/4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，S5<0，S6>0，则{an}的公差d的取值范围为（）A.(-2,-4/3)B.(-4/3,-1)C.(-2,-1)D.(-3,-2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3=4，a4+a5+a6=8，则S9/S6的值为（）A.2B.5/3C.3D.7/3已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An、Bn，若An/Bn=(3n+42)/(n+2)，则a7/b7的值为（）A.15/2B.21/4C.12D.27/5二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）A.等差数列{an}，若am=an(m≠n)，则am+n=0B.等比数列{an}，若am=an(m≠n)，则am+n=1C.若{an}为等差数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍为等差数列D.若{an}为等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍为等比数列已知数列{an}的通项公式为an=3n，n∈N*，在{an}中依次选取若干项（至少3项）ak1，ak2，ak3，…，使{akn}成为一个等比数列，则下列说法正确的是（）A.若取k1=1，k2=3，则k3=9B.满足题意的{kn}也必是一个等比数列C.在{an}的前100项中，{akn}的可能项数最多是6D.如果把{an}中满足等比的项一直取下去，{akn}总是无穷数列已知等差数列{an}满足a4+a5=0，a6+a7=-4，则下列命题正确的是（）A.{an}是递减数列B.使Sn>0成立的n的最大值是9C.当n=5时，Sn取得最大值D.a6=0记Sn为数列{an}的前n项和，下列说法正确的是（）A.若对∀n∈N*，有an+1-an=2，则数列{an}一定是等差数列B.若对∀n∈N*，有an+1/an=2，则数列{an}一定是等比数列C.等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c，则c=0D.等比数列{an}的前n项和Sn=aqn+b，则a+b=0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若数列{an}满足a1=a2=1，an+an+1+an+2=n2（n≥1），则a100=________。设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3S3>5S6>0，则公比q的取值范围为________。中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称"神十八"，于2024年4月执行载人航天飞行任务。运送"神十八"的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序。则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是________秒。在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为________。四、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知数列{an}满足a1=1，且数列{an+1}为等差数列。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn。（12分）正项数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且4Sn=an2+2an+1，4Tn=bn2+2bn+1。（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）已知数列{cn}满足cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Hn。（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+1，其中n∈N*。（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列{dn}的前n项和。（12分）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且2an=an-1+an+1（n≥2）。（1）证明：数列{an}是等差数列；（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设cn=1/(anan+1)，求数列{cn}的前n项和Pn。（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2Sn-1+1（n≥2），a1=1。（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+1，求数列{1/(bnbn+1)}的前n项和Qn；（3）若存在n∈N*，使得λ≥(n+1)an成立，求实数λ的最小值。（12分）已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，且S5=30，a1，a3，a9成等比数列。（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=1/Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<3/4；（3）若cn=(-1)n·an，求数列{cn}的前n项和Rn。参考答案及解析一、选择题D解析：设等差数列{an}的公差为d，∵4Sn=an·an+1，∴当n=1时，4S1=4a1=a1a2，又a1≠0，∴a2=4，∴a1+d=4。当n=2时，4S2=a2·a3⇒4(a1+a2)=4a3⇒4(a1+4)=4(a1+2d)⇒d=2，∴a1=2，∴a8=2+7×2=16。C解析：由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4，即q3+q4=4q+4q2，即q3+q2-4q-4=0，即(q-2)(q+1)(q+2)=0。由题知q>0，所以q=2。所以S4=1+2+4+8=15。D解析：设等差数列公差为d，S1=a1=1，S3=3a1+3d=3+3d，S6=6a1+15d=6+15d。由题意得(S6/S3)-(S3/S1)=[(6+15d)/(3+3d)]-(3+3d)/1=2，解得d=2，所以S6=6+15×2=36。B解析：由题意得2b=a+2，即a=2b-2。所以3a+9b=32b-2+9b=9b-1+9b=9b+1/9b≥2√(9b·1/9b)=2，当且仅当9b=1/9b，即b=0时取等号，此时a=-2，所以最小值为2。B解析：设等比数列{bn}的公比为q，由b3=1得b1q2=1。又2b4与b5的等差中项为4，即2b4+b5=8，即2b1q3+b1q4=8。联立两式解得b1=1/4，q=2，所以S3=1/4+1/2+1=7/4。A解析：由a2=2得a1+d=2，即a1=2-d。S5=5a1+10d=5(2-d)+10d=10+5d<0⇒d<-2；S6=6a1+15d=6(2-d)+15d=12+9d>0⇒d>-4/3。所以d的取值范围为(-2,-4/3)。D解析：设等比数列的公比为q，由a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=q3S3=8，又S3=4，所以q3=2。S6=S3+q3S3=4+8=12，S9=S6+q6S3=12+16=28，所以S9/S6=28/12=7/3。C解析：a7/b7=(2a7)/(2b7)=(a1+a13)/(b1+b13)=A13/B13=(3×13+42)/(13+2)=81/15=27/5。二、多选题AC解析：A选项，在等差数列中，由am=an得a1+(m-1)d=a1+(n-1)d⇒(m-n)d=0，因为m≠n，所以d=0，所以am+n=a1+(m+n-1)d=a1=0，正确；B选项，在等比数列中，由am=an得a1qm-1=a1qn-1⇒qm-n=1，所以q=1或q=-1且m-n为偶数，此时am+n不一定等于1，错误；C选项，由等差数列性质知正确；D选项，当公比q=-1且m为偶数时，Sm=0，此时不成等比数列，错误。AB解析：A选项，a1=1，a3=9，设等比数列公比为q，则q=9，所以a9=81=34，正确；B选项，因为an=3n，若akn成等比数列，则3kn=3k1·qn-1，即kn=k1·log3qn-1，所以{kn}是等比数列，正确；C选项，在{an}的前100项中，可以取a1=1，a2=3，a4=81，a8=38，a16=316，a32=332，a64=364，共7项，错误；D选项，若取k1=1，k2=2，则q=3，下一项应为a4=81，再下一项应为a13=313>100，所以不是无穷数列，错误。AB解析：由a4+a5=0得2a1+7d=0，a6+a7=2a1+11d=-4，解得a1=7/2，d=-1，所以an=9/2-n，是递减数列，正确；Sn=n(a1+an)/2=n(8-n)/2，令Sn>0得n<8，所以n的最大值是7，错误；当n=4时，a4=1/2>0，a5=-1/2<0，所以当n=4时Sn取得最大值，错误；a6=9/2-6=-3/2≠0，错误。ACD解析：A选项，由等差数列定义知正确；B选项，当a1=0时不是等比数列，错误；C选项，等差数列前n项和不含常数项，正确；D选项，等比数列前n项和Sn=a1(1-qn)/(1-q)=-a1/(1-q)·qn+a1/(1-q)，所以a=-a1/(1-q)，b=a1/(1-q)，所以a+b=0，正确。三、填空题3268解析：由递推式得an+an+1+an+2=n2，an+1+an+2+an+3=(n+1)2，两式相减得an+3-an=2n+1。利用累加法可得a100=a1+(a4-a1)+(a7-a4)+…+(a100-a97)=1+(2×1+1)+(2×4+1)+…+(2×97+1)=1+33×1+2×(1+4+…+97)=1+33+2×(1+97)×33/2=34+33×98=3268。(-1,-√(3/5))解析：由3S3>5S6得3a1(1-q3)/(1-q)>5a1(1-q6)/(1-q)，因为a1>0，1-q>0，所以3(1-q3)>5(1-q6)，即5q6-3q3-2<0，令t=q3，得5t2-3t-2<0，解得-2/5<t<1，即-2/5<q3<1，又q<0，所以-√(3/5)<q<0。12解析：由题意知火箭每秒通过的路程构成等差数列，a1=2，d=3，Sn=na1+n(n-1)d/2=2n+3n(n-1)/2=3n2+n)/2。令Sn≥222，即3n2+n-444≥0，解得n≥12，所以需要12秒。√2/8解析：每次对折后直角边长度变为原来的1/√2，对折6次后直角边长为(1/√2)6=1/8，所以斜边长为√2×1/8=√2/8。四、解答题（1）设等差数列{an+1}的公差为d，由a1=1得a1+1=2，又a2+1=4，所以d=2，所以an+1=2+2(n-1)=2n，即an=2n-1；（2）Sn=n(a1+an)/2=n(1+2n-1)/2=n2。（1）对数列{an}，当n=1时，4a1=a12+2a1+1⇒a1=1；当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1⇒(an-an-1-2)(an+an-1)=0，因为an>0，所以an-an-1=2，即an=2n-1。同理可得bn=2n-1；（2）cn=(2n-1)22n-1，利用错位相减法得Hn=(n-1)22n+1+2。（1）由Sn+1=3Sn+1得Sn=3Sn-1+1(n≥2)，两式相减得an+1=3an(n≥2)。又S2=3S1+1⇒a1+a2=3a1+1⇒a2=2a1+1=3a1⇒a1=1，所以an=3n-1；（2）由题意得an+1=an+(n+1)dn⇒dn=(an+1-an)/(n+1)=2×3n-1/(n+1)，利用错位相减法得数列{dn}的前n项和为(3n-1)/(n+1)。（1）由2an=an-1+an+1得an+1-an=an-an-1，即数列{an}是等差数列；（2）由a1=1，d=2得an=2n-1，所以bn=22n-1=2×4n-1，Tn=2(4n-1)/3；（3）cn=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]，所以Pn=1/2[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)。（1）当n≥2时，an=2Sn-1+1，an+1=2Sn+1，两式相减得an+1=3an，又a1=1，a2=3，所以数列{an}是等比数列；（2）an=3n-1，bn=log23n-1+1=nlog23，1/(bnbn+1)=1/(nlog23·(n+1)log23)=1/(log23)2[1/n-1/(n+1)]，所以Qn=1/(log23)2[1-1/(n+1)]；（3）λ≥(n+1)3n-1，设f(n)=(n+1)3n-1，f(n+1)/f(n)=(n+2)3n/