2025年高三数学高考函数与导数压轴题模拟试题

2025年高三数学高考函数与导数压轴题模拟试题一、解答题（本小题满分15分）已知函数$f(x)=e^x\sinx-ax^2-bx$，其中$a,b\in\mathbb{R}$，$e$为自然对数的底数。（1）若$a=0$，$b=1$，求函数$f(x)$在区间$[0,\pi]$上的极值点；（2）当$a=1$时，若函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求$b$的取值范围；（3）若$b=0$，且函数$f(x)$在$x=0$处的切线方程为$y=x$，证明：对任意$x_1,x_2\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，且$x_1\neqx_2$，有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$。二、试题解析（1）极值点的求解与判断思路分析：当$a=0$，$b=1$时，函数简化为$f(x)=e^x\sinx-x$。求极值点需先求导，分析导函数的零点及单调性。解答过程：求导：$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-1$。分析导函数：由于$\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，则$f'(x)=e^x\cdot\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})-1$。在区间$[0,\pi]$上，$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$，$\sin(x+\frac{\pi}{4})$在$[0,\frac{\pi}{4}]$上单调递增，在$[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$上单调递减。寻找零点：当$x=0$时，$f'(0)=e^0(\sin0+\cos0)-1=1\cdot1-1=0$；当$x\in(0,\pi)$时，$e^x>1$，$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\geq\sqrt{2}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$，但$e^x\cdot\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})>1$（例如$x=\frac{\pi}{2}$时，$f'(\frac{\pi}{2})=e^{\frac{\pi}{2}}(1+0)-1>0$），故$f'(x)$在$(0,\pi)$上无零点。结论：$x=0$是$f(x)$在$[0,\pi]$上唯一的极值点，且为极小值点。（2）含参函数的单调性与恒成立问题思路分析：当$a=1$时，$f(x)=e^x\sinx-x^2-bx$。函数单调递增等价于$f'(x)\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，需分离参数$b$，转化为求函数最值。解答过程：求导与分离参数：$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x-b\geq0$，即$b\leqe^x(\sinx+\cosx)-2x$在$(0,+\infty)$上恒成立。设$g(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x$，则$b\leqg(x)_{\min}$。求$g(x)$的最小值：求导：$g'(x)=e^x(\sinx+\cosx)+e^x(\cosx-\sinx)-2=2e^x\cosx-2$。分析$g'(x)$的零点：令$g'(x)=0$，得$e^x\cosx=1$。设$h(x)=e^x\cosx$，则$h'(x)=e^x(\cosx-\sinx)$。在$(0,\frac{\pi}{4})$上，$h'(x)>0$，$h(x)$单调递增；在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$上，$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减。又$h(0)=1$，$h(\frac{\pi}{2})=0$，故$g'(x)=0$在$(0,\frac{\pi}{2})$上有唯一零点$x_0=0$。判断单调性：当$x\in(0,+\infty)$时，$g'(x)\leq0$（仅在$x=0$时取等号），故$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。最小值：$g(x)>g(0)=1\cdot1-0=1$，故$b\leq1$。（3）不等式证明与导数几何意义的综合应用思路分析：已知切线方程为$y=x$，可求出$a$的值；证明$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$等价于证明$f(x)-x$为严格增函数，需通过二阶导数判断凹凸性或构造辅助函数。解答过程：求参数$a$：切线方程为$y=x$，则$f(0)=0$且$f'(0)=1$。$f(0)=e^0\sin0-a\cdot0^2=0$，恒成立；$f'(0)=e^0(\sin0+\cos0)-2a\cdot0=1$，即$1=1$，故$a$可取任意值。结合（2）中$a=1$的设定，此处$a=1$。综上，$f(x)=e^x\sinx-x^2$。构造辅助函数：需证$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$，即证$f(x_1)-x_1>f(x_2)-x_2$（不妨设$x_1>x_2$）。设$h(x)=f(x)-x=e^x\sinx-x^2-x$，则需证$h(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上严格单调递增。证明$h(x)$单调递增：求导：$h'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x-1$。二次求导：$h''(x)=2e^x\cosx-2$。分析$h''(x)$：在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上，$\cosx>0$，且$e^x\cosx\geqe^{-\frac{\pi}{2}}\cdot0=0$（当$x=\pm\frac{\pi}{2}$时取等号）。但$e^x\cosx\geq1$（由（2）中$g(x)$的结论，当$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，$e^x\cosx\geq1$），故$h''(x)\geq0$，且仅在$x=0$时取等号。结论：$h'(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调递增，且$h'(0)=1-0-1=0$。当$x>0$时，$h'(x)>0$；当$x<0$时，$h'(x)<0$，故$h(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上先减后增，但在整个区间内，对任意$x_1>x_2$，$h(x_1)>h(x_2)$，即$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$成立。三、命题特点与核心素养考查综合性：本题融合了导数、三角函数、不等式证明等知识，需灵活运用求导法则、函数单