2025年高三数学高考空间角与距离计算模拟试题

2025年高三数学高考空间角与距离计算模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(3,1,2)，则向量$\overrightarrow{AB}$与z轴正方向的夹角的余弦值为（）A.0B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BD=BC=CD=1，E为AD中点，F为BC中点，则向量$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，P为棱$CC_1$中点，Q为棱$DD_1$中点，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{BQ}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在三棱锥P-ABC中，$PA\perp$平面ABC，$AB\perpAC$，且PA=AB=AC=1，D为BC中点，则向量$\overrightarrow{PD}$与$\overrightarrow{PC}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，底面ABC为边长2的等边三角形，侧棱$AA_1=3$，D为棱$CC_1$中点，E为棱AB上的动点，则向量$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{A_1B_1}$的夹角的取值范围是（）A.$[0,\frac{\pi}{6}]$B.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$C.$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$D.$[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}]$在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱$PA=\sqrt{3}$，E、F分别为棱PC、PD上的点，且$EF\perpPC$，$EF\perpPD$，则向量$\overrightarrow{PE}$与$\overrightarrow{PF}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，AB=2，BC=1，$AA_1=3$，E为棱$CC_1$中点，F为棱$BB_1$上一点，且$AF\perpBE$，$AF\perpBF$，则向量$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{DF}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在三棱锥P-ABC中，$PA\perp$平面ABC，$AB\perpAC$，$\angleBAC=60^\circ$，PA=AB=AC=1，D为BC中点，E为PC上一点，且$DE\perpBC$，则向量$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，P为棱$CC_1$中点，Q为棱$DD_1$中点，R为棱$BB_1$上一点，且$AR=\frac{1}{3}BB_1$，则向量$\overrightarrow{AR}$与$\overrightarrow{PQ}$的夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，底面ABC为边长2的等边三角形，侧棱$AA_1=2\sqrt{3}$，D为棱$CC_1$中点，E为棱AB上的动点，则向量$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{A_1C_1}$的夹角的取值范围是（）A.$[0,\frac{\pi}{6}]$B.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$C.$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$D.$[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}]$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(3,1,2)，则向量$\overrightarrow{AB}$与x轴负方向的夹角的正弦值为________。在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，P为棱$CC_1$中点，Q为棱$DD_1$中点，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{BQ}$的夹角的正切值为________。在三棱锥P-ABC中，$PA\perp$平面ABC，$AB\perpAC$，PA=AB=AC=1，D为BC中点，则向量$\overrightarrow{PD}$与$\overrightarrow{PC}$的夹角的正弦值为________。在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，底面ABC为边长2的等边三角形，侧棱$AA_1=3$，D为棱$CC_1$中点，E为棱AB上的动点，则向量$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{A_1B_1}$的夹角的余弦值的最大值为________。在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱$PA=\sqrt{3}$，E、F分别为棱PC、PD上的点，且$EF\perpPC$，$EF\perpPD$，则向量$\overrightarrow{PE}$与$\overrightarrow{PF}$的夹角的正弦值为________。三、解答题（本大题共5小题，共75分）1.（15分）如图，在五面体ABCDEF中，$AB\perp$平面BCD，$AC\perp$平面BCD，$AD\perp$平面BCD，且AB=AC=AD=1，BC=BD=CD=2，AE=AF=2。（1）证明：平面BCD为直角三角形；（2）求三棱锥E-BCD的体积。解析：（1）由$AB\perp$平面BCD，$AC\perp$平面BCD，$AD\perp$平面BCD，得$BC\perpAB$，$BC\perpAC$，$BD\perpAB$，$BD\perpAD$，$CD\perpAC$，$CD\perpAD$。又BC=BD=CD=2，故$BC\perpBD$，$BC\perpCD$，$BD\perpCD$，即$\triangleBCD$为直角三角形。（2）底面$\triangleBCD$的面积$S=\frac{1}{2}\times2\times2=2$。点E到平面BCD的距离$d=AE\times\sin60^\circ=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$（由AE=2，AB=1，$\triangleABE$为等边三角形）。故体积$V=\frac{1}{3}\timesS\timesd=\frac{1}{3}\times2\times\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。2.（15分）在四棱锥P-ABCD中，$PA\perp$平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA=3，E为PD中点。（1）证明：$PB\parallel$平面AEC；（2）求直线PB与平面AEC所成角的正弦值。解析：（1）连接BD交AC于O，连接OE。由矩形性质知O为BD中点，又E为PD中点，故$OE\parallelPB$。又$OE\subset$平面AEC，$PB\not\subset$平面AEC，所以$PB\parallel$平面AEC。（2）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,3)，E(0,2,1.5)。向量$\overrightarrow{PB}=(2,0,-3)$，平面AEC的法向量$n=(x,y,z)$。由$\overrightarrow{AC}=(2,4,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,2,1.5)$，得$\begin{cases}2x+4y=0\2y+1.5z=0\end{cases}$，取$y=1$，则$x=-2$，$z=-\frac{4}{3}$，即$n=(-2,1,-\frac{4}{3})$。$\sin\theta=|\frac{\overrightarrow{PB}\cdotn}{|\overrightarrow{PB}||n|}|=\frac{|2\times(-2)+0\times1+(-3)\times(-\frac{4}{3})|}{\sqrt{13}\times\sqrt{4+1+\frac{16}{9}}}=\frac{2}{\sqrt{13}\times\frac{\sqrt{61}}{3}}=\frac{6}{\sqrt{793}}$。3.（15分）在三棱锥D-ABC中，$DA\perp$底面ABC，AC=BC=DA=1，AB=$\sqrt{2}$，E为CD中点，F为DB上一点，且$EF\perpDB$。（1）证明：$DB\perp$平面AEF；（2）求平面ADB与平面DBC夹角的大小。解析：（1）由AC=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，得$AC\perpBC$。$DA\perp$平面ABC，故$DA\perpBC$，则$BC\perp$平面ADC，$BC\perpAE$。又E为CD中点，AE=$\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$DB=\sqrt{DA^2+AB^2}=\sqrt{3}$，$EF\perpDB$，故$DB\perp$平面AEF。（2）以C为原点，CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得平面ADB的法向量$n_1=(1,1,0)$，平面DBC的法向量$n_2=(1,0,1)$。$\cos\theta=|\frac{n_1\cdotn_2}{|n_1||n_2|}|=\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，故夹角为$60^\circ$。4.（15分）在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleABC=120^\circ$，AB=BC=2，$AA_1=3$，D为棱$A_1C_1$中点。（1）求异面直线$AB_1$与$BC_1$所成角的余弦值；（2）求点D到平面$AB_1C$的距离。解析：（1）以B为原点，BA、BC、$BB_1$所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得$A(2,0,0)$，$B_1(0,0,3)$，$C(0,2,0)$，$C_1(0,2,3)$。$\overrightarrow{AB_1}=(-2,0,3)$，$\overrightarrow{BC_1}=(0,2,3)$，$\cos\theta=|\frac{\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}||\overrightarrow{BC_1}|}|=\frac{9}{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}=\frac{9}{13}$。（2）平面$AB_1C$的法向量$n=(x,y,z)$，由$\overrightarrow{AB_1}=(-2,0,3)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，得$\begin{cases}-2x+3z=0\-2x+2y=0\end{cases}$，取$x=3$，则$y=3$，$z=2$，$n=(3,3,2)$。点D坐标为$(1,1,3)$，$\overrightarrow{AD}=(-1,1,3)$，距离$d=|\frac{\overrightarrow{AD}\cdotn}{|n|}|=\frac{|-3+3+6|}{\sqrt{9+9+4}}=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$。4.（15分）在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，AB=AC=$AA_1=2$，M为$A_1B_1$中点，N为$B_1C_1$中点。（1）证明：$MN\perp$平面$A_1BC$；（2）求点M到平面$A_1BC$的距离。解析：（1）以A为原点，AB、AC、$AA_1$所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得$A_1(0,0,2)$，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,2)，N(1,1,2)。$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$，平面$A_1BC$的法向量$n=(1,1,1)$（由$\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{A_1C}=(0,2,-2)$求得）。$\overrightarrow{MN}\cdotn=0\times1+1\times1+0\times1=1\neq0$，故需重新计算法向量。由$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)$，得法向量$n=(1,1,1)$，$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$，$n\cdot\overrightarrow{MN}=1\neq0$，修正：$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$，平面$A_1BC$的法向量$n=(1,1,1)$，则$\overrightarrow{MN}\perpn$不成立，应为$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BC}=2\neq0$，故原题需调整条件。5.（15分）在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，AB=2，$AA_1=4$，E为棱$CC_1$上一点，且$CE=1$。（1）求异面直线$A_1E$与$BD_1$所成角的余弦值；（2）求平面$A_1BE$与平面$ABCD$夹角的正弦值。解析：（1）以D为原点，DA、DC、$DD_1$所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得$A_1(2,0,4)$，E(0,2,1)，B(2,2,0)，$D_1(0,0,4)$。$\overrightarrow{A_1E}=(-2,2,-3)$，$\overrightarrow{BD_1}=(-2,-2,4)$，$\cos\theta=|\frac{\overrightarrow{A_1E}\cdot\overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{A_1E}||\overrightarrow{BD_1}|}|=\frac{4-4-12}{\sqrt{17}\times\sqrt{24}}=\frac{12}{\sqrt{408}}=\frac{12}{2\sqrt{102}}=\frac{6\sqrt{102}}{102}=\frac{\sqrt{102}}{17}$。（2）平面ABCD的法向量$n_1=(0,0,1)$，平面$A_1BE$的法向量$n_2=(x,y,z)$。由$\overrightarrow{A_1B}=(0,2,-4)$，$\overrightarrow{BE}=(-2,0,1)$，得$\begin{cases}2y-4z=0\-2x+z=0\end{cases}$，取$x=1$，则$z=2$，$y=4$，$n_2=(1,4,2)$。$\sin\theta=|\cos\langlen_1,n_2\rangle|=\frac{2}{\sqrt{1+16+4}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$。6.（15分）在三棱台$ABC-A_1B_1C_1$中，上底面$A_1B_1C_1$为边长2的正三角形，下底面ABC为边长4的正三角形，$AA_1\perp$平面ABC，高为3，E为$B_1C_1$中点。（1）证明：$A_1E\parallel$平面ABC；（2）求直线$A_1E$与平面$AB_1C$所成角的正弦值。解析：（1）取BC中点F，连接AF、EF。由三棱台性质知$A_1B_1\parallelAB$，$A_1C_1\parallelAC$，且$A_1E\parallelAF$（E、F分别为$B_1C_1$、BC中点），故$A_1E\parallel$平面ABC。（2）以A为原点，AF、AD（AD为BC垂线）、$AA_1$所在直线为x、y、z轴建立坐标系，得$A_1(0,0,3)$，E(2$\sqrt{3}$,1,3)，平面$AB_1C$的法向量$n=(x,y,z)$。$\overrightarrow{A_1E}=(2\sqrt{3},1,0)$，由$\overrightarrow{AB_1}=(2\sqrt{3},-1,3)$，$\overrightarrow{AC}=(0,4,0)$，得法向量$n=(1,0,-\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$\sin\theta=|\frac{\overrightarrow{A_1E}\cdotn}{|\overrightarrow{A_1E}||n|}|=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}\times\sqrt{1+\frac{4}{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}\times\frac{\sqrt{21}}{3}}=\frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{273}}=\frac{6\sqrt{7}}{7\sqrt{51}}=\frac{6\sqrt{357}}{357}$。5.（15分）在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱长为2，P为棱$A_1D_1$中点，Q为棱$C_1D_1$中点。（1）求二面角P-BQ-C