2025年新高一数学暑假衔接讲练-第12讲 深入探讨函数的单调性与最值-教师版数学课程详解与实战练习

2025年新高一数学暑假衔接讲练——第12讲深入探讨函数的单调性与最值_教师版数学课程详解与实战练习一、课程目标在本讲中，我们将深入探讨函数的单调性与最值这两个重要概念。通过本讲的学习，学生需要达到以下目标：1.深入理解函数单调性的定义，能够准确判断函数在给定区间上的单调性。2.熟练掌握证明函数单调性的方法，包括定义法和导数法（对于有一定基础的学生）。3.理解函数最值的概念，能够结合函数的单调性求出函数在给定区间上的最值。4.通过实战练习，提高学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。二、知识回顾（一）函数单调性的初步认识在初中阶段，我们已经对函数的单调性有了初步的了解。例如，对于一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)，当\(k>0\)时，函数值\(y\)随自变量\(x\)的增大而增大，此时函数在\(R\)上单调递增；当\(k<0\)时，函数值\(y\)随自变量\(x\)的增大而减小，函数在\(R\)上单调递减。（二）函数单调性的定义设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上是增函数；当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就说函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。如果函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上是增函数或减函数，那么就说函数\(y=f(x)\)在这一区间具有（严格的）单调性，区间\(D\)叫做\(y=f(x)\)的单调区间。三、课程详解（一）深入理解函数单调性的定义1.定义的关键要素-任意性：定义中的\(x_1\)，\(x_2\)是区间\(D\)上的任意两个自变量的值，不能用特殊值来代替。例如，判断函数\(f(x)=x^2\)在区间\((-1,1)\)上的单调性时，不能只取\(x_1=0\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)来判断，而需要对任意的\(x_1,x_2\in(-1,1)\)进行分析。-大小比较：根据\(x_1\)和\(x_2\)的大小关系，比较\(f(x_1)\)和\(f(x_2)\)的大小，从而确定函数的单调性。2.函数单调性与图象的关系-增函数的图象是上升的，即从左到右函数图象呈上升趋势；减函数的图象是下降的，即从左到右函数图象呈下降趋势。例如，函数\(y=2x+1\)的图象是一条直线，斜率\(k=2>0\)，图象从左到右上升，所以函数在\(R\)上单调递增；函数\(y=-x^2\)的图象是开口向下的抛物线，在对称轴\(x=0\)左侧图象上升，函数在\((-\infty,0)\)上单调递增，在对称轴右侧图象下降，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减。（二）证明函数单调性的方法1.定义法-步骤-取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间\(D\)上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。-作差：计算\(f(x_1)-f(x_2)\)，并将其变形为易于判断正负的形式，如因式分解、配方等。-定号：根据\(x_1\)，\(x_2\)的取值范围以及变形后的式子，判断\(f(x_1)-f(x_2)\)的正负。-结论：根据\(f(x_1)-f(x_2)\)的正负，得出函数在区间\(D\)上的单调性。-示例：证明函数\(f(x)=x^2+2x\)在区间\((-1,+\infty)\)上是增函数。-取值：设\(x_1\)，\(x_2\in(-1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)。-作差：\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1^2+2x_1)-(x_2^2+2x_2)=(x_1^2-x_2^2)+2(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)。-定号：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)。又因为\(x_1>-1\)，\(x_2>-1\)，所以\(x_1+x_2+2>0\)。则\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。-结论：所以函数\(f(x)=x^2+2x\)在区间\((-1,+\infty)\)上是增函数。2.导数法（拓展内容）对于可导函数\(y=f(x)\)，如果在区间\(D\)上\(f^\prime(x)>0\)，那么函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；如果在区间\(D\)上\(f^\prime(x)<0\)，那么函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上单调递减。例如，对于函数\(f(x)=x^3-3x\)，求导得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，即\(3(x+1)(x-1)>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-1\)，所以函数\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递增；令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3(x+1)(x-1)<0\)，解得\(-1<x<1\)，所以函数\(f(x)\)在\((-1,1)\)上单调递减。（三）函数的最值1.最大值和最小值的定义设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(I\)，如果存在实数\(M\)满足：-对于任意的\(x\inI\)，都有\(f(x)\leqM\)；-存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=M\)。那么，我们称\(M\)是函数\(y=f(x)\)的最大值。同理，如果存在实数\(m\)满足：-对于任意的\(x\inI\)，都有\(f(x)\geqm\)；-存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=m\)。那么，我们称\(m\)是函数\(y=f(x)\)的最小值。2.利用函数单调性求最值如果函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，那么\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最小值是\(f(a)\)，最大值是\(f(b)\)；如果函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递减，那么\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最小值是\(f(b)\)，最大值是\(f(a)\)。例如，函数\(f(x)=2x-1\)在区间\([1,3]\)上单调递增，所以\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(f(1)=2\times1-1=1\)，最大值为\(f(3)=2\times3-1=5\)。四、实战练习（一）基础练习1.判断函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上的单调性，并证明。-答案：函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上是减函数。-证明：设\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)。则\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因为\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_1x_2>0\)，又\(x_1<x_2\)，所以\(x_2-x_1>0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上是减函数。2.求函数\(f(x)=x^2-4x+3\)在区间\([0,3]\)上的最大值和最小值。-答案：首先将函数\(f(x)=x^2-4x+3\)配方为\(f(x)=(x-2)^2-1\)。函数图象开口向上，对称轴为\(x=2\)。-函数在区间\([0,2]\)上单调递减，在区间\([2,3]\)上单调递增。-\(f(0)=0^2-4\times0+3=3\)，\(f(2)=(2-2)^2-1=-1\)，\(f(3)=3^2-4\times3+3=0\)。-所以函数在区间\([0,3]\)上的最大值是\(3\)，最小值是\(-1\)。（二）提高练习1.已知函数\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)在区间\((-2,+\infty)\)上单调递增，求实数\(a\)的取值范围。-答案：将函数\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)变形为\(f(x)=\frac{a(x+2)+1-2a}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}\)。-因为函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，函数\(f(x)\)在区间\((-2,+\infty)\)上单调递增，所以\(1-2a<0\)，解得\(a>\frac{1}{2}\)。-所以实数\(a\)的取值范围是\((\frac{1}{2},+\infty)\)。2.已知函数\(f(x)=x^2-2ax+1\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(g(a)\)，求\(g(a)\)的表达式。-答案：函数\(f(x)=x^2-2ax+1=(x-a)^2+1-a^2\)，图象开口向上，对称轴为\(x=a\)。-当\(a\leq1\)时，函数在区间\([1,3]\)上单调递增，\(g(a)=f(1)=1^2-2a\times1+1=2-2a\)。-当\(1<a<3\)时，函数在对称轴\(x=a\)处取得最小值，\(g(a)=f(a)=1-a^2\)。-当\(a\geq3\)时，函数在区间\([1,3]\)上单调递减，\(g(a)=f(3)=3^2-2a\times3+1=10-6a\)。-综上，\(g(a)=\begin{cases}2-2a,&a\leq1\\1-a^2,&1<a<3\\10-6a,&a\geq3\end{cases}\)。（三）拓展练习1.设函数\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的增函数，且\(f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)\)。-求\(f(1)\)的值；-若\(f(6)=1\)，解不等式\(f(x+3)-f(\frac{1}{x})<2\)。-答案：-令\(x=y=1\)，则\(f(1)=f(1)-f(1)=0\)。-因为\(f(6)=1\)，所以\(2=2f(6)=f(6)+f(6)=f(36)\)。-不等式\(f(x+3)-f(\frac{1}{x})<2\)可化为\(f(x(x+3))<f(36)\)。-因为函数\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的增函数，所以\(\begin{cases}x+3>0\\\frac{1}{x}>0\\x(x+3)<36\end{cases}\)。-解\(x+3>0\)得\(x>-3\)；解\(\frac{1}{x}>0\)得\(x>0\)；解\(x(x+3)<36\)，即\(x^2+3x-36<0\)，由求根公式可得\(x=\frac{-3\pm\sqrt{9+144}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{153}}{2}=\frac{-3\pm3\sqrt{17}}{2}\)，所以不等式的解为\(0<x<\frac{-3+3\sqrt{17}}{2}\)。五、课堂总结1.函数