专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册（原卷版）

1/10专题06整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、整式的加减实际应用问题类型二、单项式的规律探究问题类型三、整式中的数字类规律探究问题类型四、整式中的图形类规律探究问题类型五、整式加减中的新定义型问题压轴专练类型一、整式的加减实际应用问题1.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的实际意义，建立数学模型。2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或比较大小等问题。3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的合理性。例1．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法低于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠，折后可使用30元优惠券不低于500元其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券(1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元．(2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示）(3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？【变式1-1】对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”．(1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长；(2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小．【变式1-2】如图，要围一个长方形菜园，共中一边是墙（墙足够长），其余的三边，，用篱笆，已知长为米，的长比少米．

(1)用，表示的长；(2)若安装篱笆的造价是每米元，当，的取值发生变化时，总造价发生变化吗？为什么？【变式1-3】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为．(1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）．(2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）．(3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由．类型二、单项式的规律探究问题1.系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化（等差、等比或乘方关系），归纳系数与序号的代数式关系。2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明确指数变化的周期性或递推性。3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号n的代数式表示第n个单项式，代入特殊值验证规律的一致性，确保表达式准确。例2．按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是．【变式2-1】按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是．【变式2-2】一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是，第个式子是．（为正整数）【变式2-3】观察下列关于的单项式：，，，，(1)直接写出第个单项式：___________；(2)第个单项式的系数和次数分别是多少？(3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？类型三、整式中的数字类规律探究问题1.

数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。2.

整式表达构建：用字母n（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含n的整式（如一次式、二次式），体现数字随序号的变化规律。3.

规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊到一般的归纳能力。例3．观察下列各式：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：．…根据其规律，解答下列问题：(1)．(2)第n个式子为．(3)利用以上规律计算：．【变式3-1】试探索代数式与的关系．(1)当，时，分别求代数式与的值；(2)当，时，分别求代数式与的值；(3)从上述计算中，你发现了什么规律？当，时，请利用你发现的规律求代数式的值．【变式3-2】观察下面的等式：；；；；．回答下列问题：(1)填空：______；(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式．【变式3-3】观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）；(2)利用以上规律计算的值．类型四、整式中的图形类规律探究问题1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应关系，明确量化对象的实际意义。2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号n的关联，提炼出含n的整式表达式。3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普遍性和准确性。例4．下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．(1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．【变式4-1】找规律：(1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出……请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（

）(2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．

①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人．②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人．【变式4-2】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y．①填表：n12345…y

1313…②当时，．③你能发现n与y之间的关系吗？n12345…y

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…【变式4-3】【观察思考】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．【规律发现】（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）【规律应用】（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．类型五、整式加减中的新定义型问题1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确符号、字母的含义及适用范围。2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等法则化简计算。3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能力。例5．定义：若，则称与是关于的相关数．(1)若与是关于的相关数，则______．(2)若与是关于的相关数，，的值与无关，求的值．【变式5-1】定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数．(1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数；(2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值．【变式5-2】阅读理解题我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9(1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______；(2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式(3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值”【变式5-3】定义一种新运算“”：，比如：．(1)_____________；_____________；(2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明；(3)若，比较与的大小．一、单选题1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（）A． B． C． D．2．数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（

）A．322448 B．324824 C．468468 D．3248803．如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个等长，等宽的长方形，得到一个字母“E”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形（如图3），则图3中的长方形的周长可表示为（

）A． B． C． D．4．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（

）A． B． C．4 D．5．观察下列图形中的排列规律，在第⑦个图中，的值是（

）A．187 B．43 C．65 D．二、填空题6．观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是，第n项是（n是正整数）．7．“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是；若图3，是一个“幻方”，则．8．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为．9．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是．10．定义一种对整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为(其中k是使为奇数的正整数，并且运算重复进行)．例：时，如图所示．则若时，第2024次的计算结果是．三、解答题11．定义：若，则称是“最佳拍档数”．例如：、因此3和是一组“最佳拍档数”．(1)8与_________是一组“最佳拍档数”；(2)若“是一组“最佳拍档数”，请求出的值．12．观察下面的一行单项式：，(1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？(2)试写出第八个单项式，第个单项式．13．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米．(1)用a、b表示长方形停车场的宽；(2)求护栏的总长度；(3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用．14．对于任意代数式，，定义，例如．(1)的值为______；(2)求的值；(3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值．15．如图是一长方形空地，长为米，宽为米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为米，宽为米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地．(1)四个花圃的总面积为______平方米；(2)求绿地的面积；(3)当，时，求绿地的面积．16．仔细观察下列三组数第一组：，，，，，…第二组：，，，，，…第三组：，，，，，…解答下列问题：(1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____；(2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____；(3)取每组数的第10个数，计算它们的和．17．观察式子中的规律，并回答问题．(1)观察发现①；②；③；④；．．．．．．式子④中_______，______；(2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）；(3)问题解决：求的值．18．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆．(1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____；(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留）②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留）19．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.5元/分钟0.4元/公里（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费