专题08 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册（原卷版）

1/10专题08等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错压轴专练类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。例1．（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为．【变式1-1】等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是．【变式1-2】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是．【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题：(1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180°-70°)÷2=55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40°。2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。例2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为．【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是．【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是．【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为．类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错1.

边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。2.

图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。例3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为．【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为．【变式3-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为．【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为．【变式3-3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为．类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是．【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为．【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为．【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是．类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（

）A． B． C．或2 D．或【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为．【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为．【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为．一、单选题1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（

）A． B．或 C． D．或2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（）A．4 B．5 C．4或5 D．63．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．2或44．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（

）A． B． C．或 D．或5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条 B．4条 C．3条 D．2条6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（

）时，是直角三角形．A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题7．（2025·河南焦作·模拟预测）在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为．8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为．9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点为点（点在下方）连接．当与重叠的部分为等腰三角形时，．10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为．11．（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为．12．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时，s．三、解答题13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接．(1)【问题初探】求证：是等边三角形；(2)【问题再探】当时，求的度数；(3)【问题拓展】当是等腰三角形时，求的度数．14．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“角差三角形”（填“是”或“不是”）；【解决问题】（2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数；【知识迁移】（3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度．15．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个