（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.3.2-4 平面向量的坐标表示（解析版）

6.3.2-4平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示重点：平面向量的坐标表示、平面向量共线定理的坐标表示；难点：平面向量加、减法坐标运算的应用、平面向量的共线问题。一、平面向量正交分解1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设、，则，.（3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.（4）特殊向量的坐标：．【注意】1、在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA=a，点A的位置被向量此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．2、平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．3、符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．4、（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．二、平面向量的坐标运算1、已知，则，．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2、若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3、已知，则向量，共线的充要条件是三、线段的定比分点及设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.（2）点的位置与的范围的关系：①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.（3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.题型一对正角分解概念的理解与辨析【例1】（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（）A．存在唯一的一对实数，使得B．若，则，且C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点OD．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则【答案】BCD【解析】由平面向量基本定理，可知A正确；例如，，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C错误；当的终点坐标是时，是以的始点是原点为前提的，故D错误.故选：BCD.【变式1-1】向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据减法运算法则，求得，如下图：在，的方向上进行分解，容易知：，故选：C.【变式1-2】在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，．故．故选：C【变式1-3】已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限，故选：D【变式1-4】在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．【答案】，，．【解析】设、、，则，，所以；，，所以；，，所以.题型二用坐标表示平面向量【例2】若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______.【答案】【解析】故答案为:.【变式2-1】已知，，若，则点的坐标为（）A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）【答案】C【解析】设点的坐标为，则，，因为，即，所以，解得，所以.故选：C.【变式2-2】设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．【答案】【解析】因为点A（l，2），B（3，2），所以，又因为向量与相等，所以，解得．【变式2-3】将向量＝(－2,－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为____.【答案】(2，－2)【解析】易知与x轴正半轴的夹角为150°，且在x轴下方，逆时针旋转120°得到向量在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°，且在x轴下方，∴＝(，－2).【变式2-4】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则，设，则，解得，所以，故选：D题型三平面向量线性运算的坐标表示【例3】已知向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A【变式3-1】若，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以．故选：C【变式3-2】已知向量，则的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，所以.故选：B【变式3-3】已知向量，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意．故选：B．【变式3-4】已知、，且，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点，因为，则，即，解得，即点.故选：C.题型四线段的定比分点问题【例4】若，，且是线段靠近的一个三等分点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是线段靠近的一个三等分点，；设，则，，，解得：，.故选：D.【变式4-1】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（）A．或B．C．D．或【答案】A【解析】由线段的一个三等分点为，得或，若，则，所以；若，则，所以.故选:A.【变式4-2】若过两点的直线与轴相交于点，则点分有向线段所成的比的值为（）A．－B．－C．D．【答案】A【解析】设点，由，可得，可得，解得.故选：A【变式4-3】（多选）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为，，所以，设，则，又P是线段的三等分点，所以或，即或，解得或，即点P的坐标是或.故选：AD.题型五用坐标解决向量共线的问题【例5】与向量平行的向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A选项，若，则，所以，A选项正确.B选项，若，而，所以不平行，B选项错误.C选项，若，而，所以不平行，C选项错误.D选项，若，而，所以不平行，D选项错误.故选：A【变式5-1】下列各组的两个向量，共线的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线；对于B中，由，，可得，所以两向量不共线；对于C中，由，，可得，所以两向量共线；对于D中，由，，可得，所以两向量不共线.故选：C.【变式5-2】若向量，，则与共线的向量可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得，因为，，，，因此，向量与共线，故选：D.【变式5-3】已知向量，，，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以，又，所以，解得.故选：B题型六用坐标解决三点共线问题【例6】已知，则（）A．三点共线B．三点共线C．三点共线D．三点共线【答案】C【解析】对于A:不存在实数，使得，故三点不共线；对于B:不存在实数，使得，故三点不共线；对于C:,故，所以三点共线；对于D:不存在实数，使得，故三点不共线；故选：C【变式6-1】已知三点在同一直线上，则实数的值是（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】由题得,由三点共线，可得，故，故选：C【变式6-2】已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，∵，，，∴，，∴，解得.故选：B．【变式6-3】若，，三点不能构成三角形，则t=______．【答案】【解析】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，所以且，则，可得.故答案为：题型七用向量坐标解决几何问题【例7】顺次连接点，，，所构成的图形是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解析】因为，，，,所以，，∴，且,与不垂直，所以四边形是平行四边形.故选：B.【变式7-1】（多选）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】设点的坐标为，若是平行四边形，则有，可得，解得,故所求顶点的坐标为.所以A正确若是平行四边形，则有，可得，解得，故所求顶点的坐标为.所以B正确若是平行四边形，则有，可得，解得，.故所求顶点的坐标为.所以C正确，故选：ABC【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求点B的坐标；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为（2）由题意，，又，故，且不共线，故【变式7-3】如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.【答案】(3，3)【解析】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，且共线，所以，即x=y.又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线，则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3).6.3.2&6.3.3&6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示【题型1对正角分解概念的理解与辨析】1、下列可作为正交分解的基底的是A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和【答案】C【解析】选项A中，与的夹角为60°；选项B中，与的夹角为锐角；选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.故选：C2、向量为原点）的终点位于第二象限，则有A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】向量，所以，又点位于第二象限，，．故选：C．3、平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．【答案】【解析】因为点，所以故答案为：4、已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第______象限.【答案】四【解析】由题意得：，位于第四象限故答案为：四5、在直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.【答案】＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2)【解析】设，则，，，，因此＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2).【题型2用坐标表示平面向量】1、已知，且点，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点B的坐标为，则，所以，即点B的坐标为．故选：B2、已知，，向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设因为,,由向量的减法坐标运算可知，解得，即,又因为，所以，故选:B3、已知，若，其中O为原点，求的值．【答案】；【解析】由题意，，因为，所以，所以.4、在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.【答案】【解析】设点在角的终边上，可得，则点在角的终边上，坐标为，故答案为：5、已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，得，则由题意可得所以点的坐标为，故选：C【题型3平面向量线性运算的坐标表示】1、已知向量，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.2、已知向量，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A3、已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为______．【答案】（4，3）【解析】设，又A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），，，所以点.故答案为：（4，3）4、已知向量、满足，，则________.【答案】【解析】由已知可得.故答案为：.5、设，，，，则与的坐标分别为________【答案】(2，5)，(4，3)【解析】因为，，，，所以，所以=(2，5)，=(4，3).故答案为：(2，5)，(4，3)【题型4线段的定比分点问题】1、已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．【答案】【解析】由题可知，设，则，，，∴.2、已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________．【答案】【解析】因为P是线段靠近的一个四等分点，所以，设，则有.3、若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由题意，或，由于，设，则则当时，，即；时，，即；故选：BC4、已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________.【答案】或【解析】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即；若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即；若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立；故答案为:或.【题型5用坐标解决向量共线问题】1、下列各组向量中，能作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，．【答案】B【解析】A.因为零向量与任何非零向量共线，故不能作为基底；B.因为，不共线，故能作为基底；C.因为，共线，故不能作为基底；D.因为，共线，故不能作为基底；故选：B2、已知向量，，那么与共线的一个向量是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（0，4）D．（1，6）【答案】A【解析】由题设，，显然，A正确，对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于.故选：A3、已知向量，且，则_____.【答案】或【解析】因为，所以，解得或4.故答案为：-1或4.4、已知向量，且，则实数m的值（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】又，，解得，故选：D5、已知向量，若，则_____.【答案】【解析】因为向量，可得，又因为，可得，解得，可得.【题型6用坐标解决三点共线问题】1、设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】∵三点能构成三角形，∴，不共线.又∵，，∴.解得.∴m的取值范围是.2、已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则的值不可以为（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】B【解析】由题意：，若点A,B,C三点共线，则，解得，所以的值不可以为，故选：B.3、向量，，．若三点共线，则的值为（）A．B．1C．或11D．2或【答案】C【解析】由题可得：，.因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选：C.4、已知，且三点共线，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得,因为三点共线，所以，即，解得.所以.故选：A.5、已知，若B、C