（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练7.1 复数的概念（原卷版）

7.1复数的概念重点：1、复数的概念；2、复数的代数形式；3、复数相等的条件；4、复数的几何意义与复数的模的概念难点：1、对复数的代数式进行分类；2、复数相等的充要条件的应用；3、复数的几何意义的理解与应用一、复数的有关概念1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq\a\vs4\al(a)，虚部是eq\a\vs4\al(b).2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．【注意】复数概念说明：（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．二、复数的分类对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三、复数相等在复数集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.四、复数的几何意义1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．五、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共轭复数是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．题型一复数的概念与分类【例1】(多选)在给出的下列几个命题中错误的是（）A．若x是实数，则x可能不是复数B．若z是虚数，则z不是实数C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．－1没有平方根【变式1-1】复数的实部是（）A．2B．C．2＋D．0【变式1-2】已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A．2B．－2C．D．4【变式1-3】已知复数和，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-4】求实数的值，使得复数分别是：（1）实数；（2）纯虚数．题型二复数相等及简单应用【例2】若，是虚数单位，，则等于（）A．B．C．D．【变式2-1】已知，，是虚数单位，若，则（）A．B．2C．1D．0【变式2-2】已知复数，且，则______．【变式2-3】关于的方程有实根，则实数的值为____．题型三复数与复平面内的点【例3】若复数，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式3-1】复数，在复平面内对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式3-2】欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式3-3】已知复数在复平面上对应的点为Z，（1）求点Z在实轴上时，实数m的取值；（2）求点Z在虚轴上时，实数m的取值；（3）求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.题型四复数与复平面内的向量【例4】已知复平面内的点A，B分别对应的复数为和，则向量对应的复数为（）A．B．C．D．【变式4-1】已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（）A．B．C．D．【变式4-2】在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______．【变式4-3】复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求复数z；（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.题型五复数的模及简单应用【例5】若复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【变式5-1】已知复数、(i为虚数单位)、在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为（）A．B．C．2D．5【变式5-2】设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（）A．1B．3C．5D．7【变式5-3】已知复数z满足（i为虚数单位），则（）A．B．5C．D．10【变式5-4】已知，复数，，且为纯虚数，，则（）A．0B．0或-2C．1D．1或-2题型六与复数有关的图形问题【例6】满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为（）A．B．C．D．.【变式6-1】若z是复数，且，则的最大值是（）A．12B．8C．6D．3【变式6-2】已知复数z满足：，则的最小值是（）A．1B．C．D．2【变式6-3】已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．47.1复数的概念【题型1复数的概念与分类】1、给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________．2、已知复数的实部和虚部分别为和4，则实数和的值分别是（）A．B．C．D．3、已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（）A．-1B．0C．1D．-1或14、已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、下列关于复数的说法一定正确的是（）A．是虚数B．存在x使得是纯虚数C．不是实数D．实部和虚部均为1【题型2复数相等及简单应用】1、若，，则复数等于（）A．B．C．D．2、（多选）若，且，则等于（）A．4B．C．2D．03、方程的实数解________.4、已知复数，，若，则的取值范围为____________；5、分别求满足下列条件的实数x，y的值．（1）；（2）.【题型3复数与复平面内的点】1、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、当时，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4、已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5、当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．（1）位于虚轴上；（2）位于第二象限；（3）位于直线上．【题型4复数与复平面内的向量】1、若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（）A．B．C．D．2、在正方形OMNP中，若对应的复数为，则对应的复数为_____．3、复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．4、设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.5、已知复数，m∈R．（1）若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．（2）若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．【题型5复数的模及简单应用】1、复数满足，则复数对应的点在复平面内表示的图形是（）A．圆B．点C．线段D．直线2、若复数满足条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3、在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（）A．B．C．2D．4、已知设，则，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．65、下列关于的说法中正确的有（）A．表示点与点之间的距离B．表示点与点之间的距离C．表示点到原点的距离D．表示坐标为的向量的模【题