（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练7.2 复数的四则运算（原卷版）

7.2复数的四则运算重点：1、复数的代数表述式的加、减运算；2、复数代数式的乘、除法运算；3、理解并掌握复数的除法运算的实质是分母实数化问题；难点：1、复数加、减运算的几何意义以及应用；2、i的幂的周期性一、复数的加法1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、复数的减法1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．三、复数加法与减法的几何意义1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量OZ1=(x如图1，且OZ1和以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZ=O而OZ1+OZ2所对应的坐标是(x1＋x2，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1−z2与向量这就是复数减法的几何意义．【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.四、复数的乘法1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然两个复数的积仍是复数．2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．4、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.五、复数的除法规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．六、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=−b±b2−4ac2a=2\*GB3②（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(将此代入方程ax七、求复数标准代数式形式的两种方法1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。题型一复数的加减法运算【例1】（）A．B．C．D．【变式1-1】设（为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．【变式1-2】已知，，为实数，若，求【变式1-3】已知为虚数单位，计算下列各式．（1）；（2）；（3）；（4）．题型二复数加减法几何意义的运用【例2】已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：（1）；（2）．【变式2-1】在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（）A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i【变式2-2】若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________.【变式2-3】已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．题型三复数的乘除法运算【例3】已知复数z满足（i是虚数单位），则（）A．1B．C．2D．【变式3-1】已知（），则复数（）A．B．C．D．【变式3-2】若，则z等于（）A．B．C．D．【变式3-3】计算：（1）；（2）；（3）．题型四复数的乘方运算【例4】（）A．B．1C．D．【变式4-1】设是虚数单位，则的值为（）A．B．C．D．0【变式4-2】复数（）A．B．C．D．【变式4-3】且，______．（其中i是虚数单位）题型五复数范围内因式分解与解方程【例5】A．B．C．D．【变式5-1】已知m，，若是方程的一个复数根，则该方程的另一个解为（）A．B．C．D．【变式5-2】已知方程有实根，且，则复数等于（）A．B．C．D．【变式5-3】关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的值是______．7.2复数的四则运算【题型1复数的加减法运算】1、已知，则复数________．2、已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______．3、设，则（）A．B．C．D．4、（多选）若，则z可能为（）A．B．C．D．5、已知复数.（1）若，求和的值；（2）求.【题型2复数加减法几何意义的运用】1、如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝02、已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.3、已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．4、已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．5、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．【题型3复数乘除运算】1、已知复数，是z的共轭复数，则的虚部为（）A．1B．C．D．2、若复数满足，则等于（）A．B．C．D．3、复数满足.则（）A．B．C．D．4、已知复数，且，则（）A．B．C．，D．，5、______．【题型4复数的乘方运算】1、______．（其中i是虚数单位）2、已知复数z满足，则（）A．B．C．D．3、若复数满足，则复数的值是______．4、设a，，且a、b不同时为零，则______．5、计算．（1）；（2）；（3）.【题型5