（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练7.3 复数的三角表示（解析版）

7.3*复数的三角表示重点：1、用三角形式进行复数乘、除运算；2、除运算的几何意义的运用。难点：复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解一、复数的辅角1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。二、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。二、复数的代数式与三角式互化1、将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义1、复数乘法运算的三角表示：已知z1=r则z这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的3、复数乘法运算三角表示推广：z1=r特别的，当z1=四、复数除法运算的三角表示及其几何意义1、复数除法运算的三角表示：已知z1=则z这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把O题型一复数的代数式与三角式互化【例1】复数的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选：C.【变式1-1】复数10表示成代数形式为________．【答案】－5－5i【解析】10＝10＝－5－5i．故答案为：【变式1-2】以下不满足复数的三角形式的是（）．A．；B．；C．；D．．【答案】C【解析】对于A：，符合；对于B：，符合；对于C：，不符合；对于D：，符合故选：C.【变式1-3】下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．（1）；（2）；（3）z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【答案】（1）是三角形式；（2）不是三角形式，（3）不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】（1）符合三角形式的结构特征，是三角形式．（2）由“加号连”知，不是三角形式．，模，.复数对应的点在第三象限，所以取，所以；（3）由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．题型二求复数的辅角主值【例2】的辐角主值为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.故选：C.【变式2-1】复数的辐角主值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数，所以复数的辐角主值是．故选：D【变式2-2】设，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.故选：B【变式2-3】设，则复数的辐角主值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.题型三三角形式下复数的乘、除运算【例3】复数的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D.【变式3-1】计算的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，所以，故选：B.【变式3-2】计算：（）．A．B．C．D．．【答案】D【解析】设，所以.故选：D【变式3-3】计算________．【答案】【解析】故答案为：.题型四复数乘、除运算的几何意义【例4】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（）A．2B．－2iC．－3－iD．3－i【答案】C【解析】因为，其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为：.故选：C．【变式4-1】如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．【答案】【解析】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为，+，即点C对应的复数是．故答案为：【变式4-2】对应复数－1＋i，将按逆时针方向旋转120°后得到，求对应复数z．【答案】【解析】对应复数－1＋i的三角形式为，由复数三角形式法则旋转后可得对应复数z为.【变式4-3】把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.7.3*复数的三角表示【题型1复数的代数式与三角式互化】1、复数的三角形式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，则，，所以，即所以．故选：D2、下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.3、若，则的三角形式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，辐角主值为，则其三角形式为.故选：C.4、改写成三角形式为______．【答案】（答案不唯一）【解析】设复数对应的点为，则，，设复数的辐角为，则，，则，，所以复数的三角形式可以为.故答案为：（答案不唯一）.5、将复数z＝化为代数形式为________．【答案】1－i【解析】z＝．故答案为：1－i【题型2求复数的辅角主值】1、复数的三角形式的辐角主值为___________.【答案】【解析】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.故答案为：.2、复数的辐角主值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因此，复数的辐角主值为.故选：D.3、已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______．【答案】【解析】的辐角主值是，则，，所以共轭复数，则共轭复数的辐角主值是.4、已知复数则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由设复数的辐角为，则，又复数在复平面内对应的点为，在第二象限，所以，即.故选：D5、已知实数，写出下列复数的辐角主值．（1）a；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）【解析】（1）复数对应的复数为，其辐角主值为0；（2）复数对应的复数为，对应的点在y轴正半轴，其辐角主值为；（3）复数对应的复数为，对应的点在x轴负半轴，其辐角主值为；（4）复数对应的复数为，对应的点在y轴负半轴，其辐角主值为．【题型3三角形式下复数的乘、除运算】1、设，则______．【答案】【解析】因为，所以，.2、若，则（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，，综上，.故选：A3、计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______．【答案】【解析】4、计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.（2）.5、若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．【答案】【解析】因为，所以设，故，其中，因为，所以.【题型4复数乘、除运算的几何意义】1、将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（）A．＋iB．－＋IC．－－iD．－i【答案】A【解析】由，顺时针旋转，则对应辐角为，所以对应的复数是.故选：A2、在复平面内，把与复数a+bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（）A．a-biB．-a+biC．b-aiD．-b+ai【答案】C【解析】由题得所求复数为=(a+bi)i=bai.故选：C.3、在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).【答案】【解析】由题意得.故答案为：4、把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转