（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练8.2 立体图形的直观图（解析版）

8.2立体图形的直观图重点：用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图；难点：能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。一、空间几何体的直观图的概念直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。二、立体图形的直观图的画法1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半，2、平面图形直观图的画法及要求第一步建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y第二步平行不变：已知图形中平行与x轴和y轴的线段，在直观图中分别画出平行与x'轴或y'第三步长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，3、空间几何体直观图的画法（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．4、直观图与原图之间的“变”与“不变”“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。三、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为a，高为h，则其面积为S直在直观图中，a'=a，在直观图中，S题型一斜二测画法概念辨析【例1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【答案】B【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.故选：B.【变式1-1】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．的角的直观图会变为的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】B【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．【变式1-2】根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（）A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.故选：D.【变式1-3】利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（）A．①B．①②C．③D．①②③④【答案】B【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确，由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为，并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变，因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误.故选：B题型二画几何图形的直观图【例2】用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，在直观图中此角为钝角，排除C和D，又原三角形的高在轴上，在直观图中在上，长度减半，排除A，故选：B.【变式2-1】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.【解析】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，其中，在平面内取点，过作直线，使，如图，在直线上取点，使，过作线段，使，在直线上取点，使，连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.【变式2-2】用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.【解析】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，其中线段是正三角形的高，，在平面内取点，过作直线，使，如图，在直线上取点，使，过作线段，使，连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图.【变式2-3】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得.（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm，在y轴上以O为中点取线段GH，使，分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段.（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图题型三由直观图还原几何图形【例3】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．【变式3-1】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定【答案】A【解析】将直观图还原，则，，所以是正三角形.故选：A.【变式3-2】如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】因为矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，又因为，所以，在直观图中，，，高，，所以，即原图形为菱形.故选：C【变式3-3】如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直.故选：C.题型四斜二测画法中有关量的计算【例4】某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）A．6B．C．D．【答案】B【解析】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：根据直观图与原图的关系可得：，，，则点，，，故选：B.【变式4-1】如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】矩形的直观图如图所示过作于，则由直观图的作法可知,所以，所以顶点到轴的距离为，故选：A【变式4-2】在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（）A．4B．C．8D．【答案】A【解析】如图，画出直观图，过点作，垂足为因为，，所以，，，则，故四边形的面积为．故选：A【变式4-3】如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，，则原图形的面积是_____________．【答案】【解析】因为与轴重合，与轴重合，所以，所以在中，，故为直角三角形.又由斜二测画法可知：在中，，，所以，故答案为：.8.2立体图形的直观图【题型1斜二测画法的概念辨析】1、对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A．原来平行的边仍然平行B．原来垂直的边仍然垂直C．原来是三角形仍然是三角形D．原来是平行四边形的可能是矩形【答案】B【解析】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B2、若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（）A．平行于轴且大小为B．平行于轴且大小为C．与轴成且大小为D．与轴成且大小为【答案】A【解析】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选：A3、下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（）A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同【答案】C【解析】由直观图的画法规则，可知C中∠x′O′y′可以是45°或135°.故选：C.4、（多选）下列说法中正确的有（）A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆【答案】ACD【解析】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半，B错误；水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD5、（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（）A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形【答案】ACD【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；对于D:正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.故选：ACD【题型2画几何图形的直观图】1、利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的()A．B．C．D．【答案】C【解析】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为，故选C2、画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．【答案】直观图见解析【解析】该正方形直观图如图所示，3、画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．解析】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.4、下列空间图形画法错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.5、画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．【解析】根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形,其中,,作底面,在轴上截取,过作,使,过、分别作平行于且等于,连接可得长、宽、高分别为，，的长方体的直观图.【题型3由直观图还原几何图形】1、如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（）A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形【答案】D【解析】由，得，由边的平行关系可知，原图形为矩形故选：D2、如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（）A．是等腰直角三角形B．是锐角三角形C．是钝角三角形D．是等边三角形【答案】A【解析】将其还原成原图，如图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：A3、如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．【解析】如图，建立直角坐标系，在轴上截取，，，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）．4、一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（）A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】C【解析】令正是水平放置的的直观图，不妨令点在数轴上，如图，因为，则线段与轴必相交，令交点为，在直角坐标系中，点在轴上，，点在轴上，，如图，因此点必在线段的延长线上，有，即是钝角三角形，所以原三角形是钝角三角形，故选：C5、如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即；（2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点作轴，并使．（3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示．【题型4斜二测画法中有关量