专题01 抛物线的平移、对称变换-原卷版-2025数学常考压轴题上册九年级沪科版

专题01抛物线的平移、对称变换目录解题知识必备 1压轴题型讲练 4类型一、抛物线上下平移 4类型二、抛物线左右平移 5类型三、抛物线沿倾斜方向平移 6类型四、沿x轴翻折 7类型五、沿y轴翻折 8类型六、旋转 9压轴题能力测评 101、y=a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，ya向下0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y2、y=a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，ya向下0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y3y=aa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，  X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=a向下h ，  X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，  X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=a向下h ，  X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=4ya的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，  X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=a向下h ，  X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=5二次函数y=a用配方法可化成：y=ax二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．类型一、抛物线上下平移例．如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．

（1）抛物线的对称轴为直线；（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是．【变式训练1】．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是．

【变式训练2】．如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，将抛物线向上平移2个单位长度，点的对应点为，点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为．

【变式训练3】．设抛物线，其中a为实数．（1）不论a为何值，该抛物线必经过一定点；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．类型二、抛物线左右平移例．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是．【变式训练1】．如果抛物线沿轴向左平移个单位长度后经过原点，那么．【变式训练2】．若把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，且知抛物线的顶点为，且与轴交于点，抛物线的顶点为，则．【变式训练3】．已知二次函数的图象与轴的交点为，点在函数的图象上．若点向左平移个单位得，点向右平移个单位得，当点都落在二次函数的图象上时，则点的坐标为．类型三、抛物线沿倾斜方向平移例．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是．【变式训练1】．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则．【变式训练2】．将二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y＝2x+1上，则k的值为．【变式训练3】．已知将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则，．类型四、沿x轴翻折二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。例．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是①；②；③；④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．【变式训练1】．将抛物线y＝2（x＋2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为．【变式训练2】．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是．【变式训练3】．已知抛物线．（1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为．（2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为．（3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为．类型五、沿y轴翻折二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。例．将抛物线沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是()A． B．C． D．【变式训练1】．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（）A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象C．将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象D．将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象【变式训练2】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中错误的是(

)A．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变 B．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变C．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变 D．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变【变式训练3】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（

）A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变类型六、旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号例．将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为．【变式训练1】．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：．【变式训练3】．如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得C2019．若P（m，2）在第2019段抛物线C2019上，则m=．1．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（）A． B．C． D．2．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（）A． B．C． D．3．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点A．①② B．①③ C．①③④ D．②③4．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；

③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④5．将函数的图像先绕原点旋转180°，再向上平移2个单位，向右平移2个单位，则所得函数表达式是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180°，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）A． B．C． D．7．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题：(1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______；(2)阴影部分的面积______；(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______；8．如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)若该抛物线过点；①求该抛物线的表达式，并求出此时两点的坐标；②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长；(2)点关于的对称轴的对称点的坐标为______（用含的代数式表示）．9．定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线与抛物线为“相关抛物线”．(1)求m，n的值．(2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为