第六章63反比例函数的应用

辅导科目数学就读年级九年级教师姓名课题第3讲：反比例函数的应用授课时间备课时间教学目标利用反比例函数解析式求出实际意义的值会根据实际量求函数解析式重、难点重点：函数点坐标代表的实际意义以及观察出函数的形式难点：根据实际量的范围求出变量的取值范围教学内容一、已知函数1.反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围．2.常见反比例关系举例练一练1、由物理学知识可知，在力F(N)的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s(m)，力F所做的功W(J)满足W＝Fs.当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示．(1)试确定F与s之间的函数表达式；(2)当F＝4N时，s是多少？【详解】把点（2，7.5）代入W＝Fs得W=15，所以15=Fs，F=（s>0）2、一种电器的使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(小时)成反比例，其关系如图所示．(1)求使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(小时)之间的函数关系式；(2)当t＝5小时时，电器的使用寿命是多少个月？【详解】3、小芳从家骑自行车去学校，所需时间y(min)与骑车速度x(m/min)之间的反比例函数关系如图所示．(1)小芳家与学校之间的距离是多少？(2)写出y与x的函数表达式；(3)若小芳7点20分从家出发，预计到校时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？【详解】10×140=1400（m），∴小芳家与学校之间的距离是1400米（3）2810=18（min）4、某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（

C

）甲 B．乙 C．丙 D．丁5、数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度（单位：kg/m3）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，=1.98kg/m3．(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)若3<V<9，求密度的变化范围．【详解】6、如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．(1)求v与t的函数表达式；(2)已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围．(2)0.2≤t≤0.3【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别将v=120，v=80代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定AB段的时间范围．将（0.3，80）代入得，k=0.3×80=24，∴小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为0.2≤t≤0.3．未知函数1、在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.设矩形的相邻两边长分别为x，y.(1)求y关于x的函数表达式；(2)当y≥3时，求x的取值范围．（2）∵y≥3，∴x≤1综上，0<x≤12、如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L＝1dm3)的圆锥形漏斗．(1)漏斗口的面积S(dm2)与漏斗的深d(dm)有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为1dm2，则漏斗的深为多少？【详解】（1）由题得漏斗得容积确定为1L，∴Sd=V=1当S=1时，d=1dm3、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．(1)请问总货物有多少吨？(2)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？(3)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？【详解】（1）30×8=240（吨）（2）总货物为240吨，∴vt=240(3)当t=5时候，v=48（吨），根据反比例函数的增减性，v≥48∴平均至少要卸掉48吨货物；4、某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量y（件）与日销售单价x（元/件）之间的关系第1天第2天第3天第4天日销售单价x（元/件）150200240250日销售量y（件）40302524(1)写出这个反比例函数的解析式（不必写x的取值范围）；(2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出；(3)设商品的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过(2)8天(3)能解得k=6000，∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出．∵x≤300，∴当x=300时，W最大，∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品．5、某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．①求y关于t的函数表达式．②若0<t≤80时，求y的取值范围．(2)若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？(2)125辆∴y≥12500；（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键．6、综合与实践：课题小空间检测视力问题具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．(1)如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离ABEF______米处；(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：位置视力值Va的值（mm）第1行0.170第5行0.2528第8行0.514第14行23.5①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？【答案】(1)1.2【详解】（1）解：53.8=1.2（米），∴测试线应画在距离墙ABEF的1.2米处；（2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7，∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．把a=70,V=0.1，代入得到k=7，∴该行对应的视力值是0.56．三、分段函数1、某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是多少小时？【详解】（1）当0≤x≤4时，设y=kx,代入（4，8）得k=2，∴y=2x（0≤x≤4）（2）当0≤x≤4时，y≥4,即2x≥4,x≥2当x>4时,y≥4,即≥4，x≤8，∴82=6（小时）2、实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)成正比例；1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【详解】（1）当0≤x≤1.5时，设y=kx,代入（1.5，150）得k=100，∴y=100x（0≤x≤1.5）（2）当0≤x≤1.5时，y≥20，即100x≥20,x≥0.211.250.2=11.05(小时）3+7=10<11.05∴不能驾车去上班3、某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：(1)玻璃加热速度为℃/min；(2)求能够对玻璃进行加工的时长；(3)玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为min．【答案】(1)150；(2)1.8min；(3)76．【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，把(4,600)代入解析式，得600=4k，解得k=150，故解析式为y=150x故玻璃加热速度为150℃/min．故答案为：150．（2）解：由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，代入点（4，600）得600=，解得m=2400，故y与x的函数关系式是y=故能够对玻璃进行加工的时长为t2t1=53.2=1.8(min)．故玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为t4t3=804=76(min)．故答案为：76．课后练习1.甲、乙两地相距100km，汽车从甲地到乙地所用的时间y(h)与行驶的平均速度x(km/h)的函数图象大致是(B)ABCD2.蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如图所示，若点P在函数图象上，则I与R(R＞0)之间的函数关系式是I＝．3.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)当R＝10Ω时，求电流I(A)．【答案】（1）I=（2）I=3.6（A）4.一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间成反比例函数关系，其图象如图所示．(1)求V与t之间的函数表达式；(2)如果每小时排水量不超过4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？【答案】（2）V≤40000，5.随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度y(千米/时)与路上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是(B)A．x＜32B．x≤32C．x＞32D．x≥32OO880y（千米/小时）X（辆）6.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是(C)A．4月份的利润为50万元B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元7.如图为某种材料温度y(℃)随时间x(min)变化的函数图象．已知该材料的初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．(1)分别求出该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？【详解】（1）当0≤x≤5时，设y=kx+15,代入（5，60）得k=9，∴y=9x+15（0≤x≤5）（2）当0≤x≤5时，y≥30,即9x+15≥30,x≥∴10=（小时）拓展提高8.为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与药物在空气中的持续时间x(min)成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图所示)．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气中的含药量为8mg.根据以上信息解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式；(2)当室内空气中的含药量每立方米不低于3.2mg的持续时间超过20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由．【详解】（1）当0≤x≤10时，设y=kx,代入（10，8）得k=0.8，∴y=0.8x（0≤x≤10）（2）当0≤x≤10时，y≥3.2,即0.8x≥3.2,x≥4当x>10时,y≥3.2,即≥3.2，x≤25，∴254=21（分钟）当堂小测学生：成绩：日期：1、某超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）小丽用950元只购买乙种商品，她购买乙种商品件数y（件），该商品的销售单价x（元），列出y与x函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？【详解】(1)设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为(x+20)元，解得：x=80，经检验，x=80是原方程的解，∴x+20=100x+20=100答：每件乙种商品的价格为80元，每件甲种商品的价格为100元；(2)小丽用950元能购买销售单价x元的商品y件，超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，∴超市销售乙种商品的销售价为：x≥80×（1+20%）=96(元)；∴小丽最多可以购买乙种商品9件．2、某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点(30,40)，如图．

(1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?(2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程∵该函数关系的图象经过点（30，40），∴40=，∴k=1200，∵5040=10，∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前10天完成此项工程．3、元旦假期，李老师驾