专题01勾股定理（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01勾股定理（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律勾股定理能熟练掌握勾股定理公式（a²+b²=c²），并准确应用于直角三角形边长计算基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查勾股定理的逆定理能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形高频考点，易与勾股定理结合考查，易错点在于对最长边的判断勾股定理的实际应用能将实际问题（如测量距离、高度，路径规划等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解常以应用题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合能结合网格特性、折叠性质、立体图形展开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问题难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力知识点01勾股定理知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边）。示例：若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足3²+4²=c²，即9+16=c²，解得c=5。易错点：混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式（如错算为c²+a²=b²）。知识点02勾股定理的逆定理知识点：若三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。示例：三角形三边长为5、12、13，因5²+12²=25+144=169=13²，故该三角形是直角三角形。易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用5²+13²与12²比较，导致判断错误）。知识点03勾股定理的实际应用知识点：将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。示例：梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h，由h²+6²=10²，得h=8米。易错点：建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。知识点04最短路径问题（立体图形表面）知识点：展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。示例：圆柱高8cm，底面半径3cm（周长18.84cm），展开侧面后直角边为8cm和18.84cm，最短路径≈√(8²+18.84²)≈20.5cm。易错点：展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。题型一勾股定理解三角形解｜题｜技｜巧勾股定理解三角形解题技巧1.

明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。2.

锁定三边关系：牢记核心公式a²+b²=c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为c²a²=b²计算。3.

结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=1/2ab=1/2ch）联动求解。4.

规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。(1)求的长；(2)求边上高线的长．题型二勾股定理与网格问题解｜题｜技｜巧勾股定理与网格问题解题技巧1.

定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。2.

计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。3.

解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“1/2×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。(2)求出的长【变式1】（2425八年级下·新疆伊犁·期中）如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上．(3)点c到边的距离．

(1)如图1，(2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出这个三角形的面积是__________．题型三勾股定理与折叠问题解｜题｜技｜巧勾股定理与折叠问题解题技巧1.

抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。2.

设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。3.

构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。4.

验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。(1)求的长;(2)求阴影部分的面积．(2)求的长；题型四勾股定理的实际应用问题解｜题｜技｜巧勾股定理实际应用解题技巧1.

建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。2.

提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为x。3.

套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a²+b²=c²（或变形公式）列方程，求解未知量。4.

结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。【典例1】（2425八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺)【变式1】（2425八年级下·广西河池·期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？【变式2】（2425七年级上·山东泰安·期中）综合与实践独立思考：（1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？深入探究：问题解决：题型五利用勾股定理求最短路径问题解｜题｜技｜巧勾股定理求最短路径解题技巧1.

化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。2.

确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。3.

用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式c=√(a²+b²)，计算出的斜边长度即为最短路径。4.

验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。【变式1】（2324八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长．【方法应用】【变式2】（2425八年级上·广东佛山·期中）综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）题型六勾股定理及逆定理的综合问题解｜题｜技｜巧勾股定理及逆定理综合问题解题技巧1.

明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。2.

双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。3.

标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。4.

分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。(1)连接，求的长；(2)求的长．

(1)求的长；题型七勾股定理验证及应用问题解｜题｜技｜巧勾股定理验证与应用解题技巧1.

验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。2.

应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。【典例1】（2425七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为）【探究发现】（1）代数式1：_________.代数式2：________；（2）这个等式为（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________；【学以致用】(1)请你利用图1证明勾股定理；期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（2425八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（

）A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，，2．（2425八年级下·河北廊坊·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（

）A． B． C．13 D．6A．3 B． C．4 D．二、填空题三、解答题(2)请你通过计算说明