三角形全等的判定

第十四章全等三角形第二节三角形全等的判定01体系构建·思维可视 102核心突破·靶向攻坚 2知识点1SSS（边边边）判定全等 2知识点2SAS（边角边）判定全等 2知识点3ASA（角边角）判定全等 3知识点4AAS（角角边）判定全等 4知识点5HL（斜边、直角边）判定全等 3知识点6判定定理的选择策略 知识点7三角形的稳定性 题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS) 5题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 6题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 7题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 7 题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS） 8题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 9题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS) 11 题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS) 12题型精讲9用HL证全等（HL） 7 题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 8题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 9题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 11 题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 12题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 7 题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 8题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 9题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题） 12题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲20全等三角形综合问题 题型精讲21尺规作一个角等于已知角 11 题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 题型精讲23尺规作图——作三角形 11 题型精讲24利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 03拓展培优 1204课堂检测 19知识思维导图课程学习目标知识与技能：掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL判定定理，明确“AAA”“SSA”不能判定全等的原因，能规范书写全等证明过程。过程与方法：通过尺规作图、叠合操作等活动，经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，发展几何直观与逻辑推理能力，体会判定定理的本质。3.应用与素养：能从复杂图形中分离出全等三角形模型，依据已知条件选择合适判定方法解决边、角关系问题，契合中考对几何推理的基础考查要求。【新知学习】【知识点1】SSS（边边边）判定全等1.若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（符号表示：△ABC≌△DEF，需满足AB=DE、BC=EF、AC=DF）。2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：AC=DFAB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS)。【知识点2】SAS（边角边）判定全等1.若两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹”角——两条边之间的角，非其中一条边的对角）。2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：AC=DF∠BAC=∠EDFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS)。【易错提醒】警惕“SSA”陷阱“两边及其中一边的对角对应相等”（如AB=DE、BC=EF、∠A=∠D，∠A不是AB与BC的夹角）不能判定三角形全等，因为会出现“两种不同形状的三角形”（如一个锐角三角形和一个钝角三角形，满足SSA但不全等）。边学边练下列两个三角形全等的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A∴①②两个三角形全等，其余均不能判断，故选：A．【知识点3】ASA（角边角）判定全等1.若两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹”边——两个角之间的边，非其中一个角的对边）。2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：∠BAC=∠EDFAB=DE∠CBA=∠FED∴△ABC≌△DEF（ASA)。边学边练如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（

）【答案】A故选：A．【知识点4】AAS（角角边）判定全等若两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，则这两个三角形全等（可由“ASA”推导：三角形内角和为180°，已知两个角相等，第三个角必相等，转化为ASA）。2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：∠BAC=∠EDF∠BCA=∠EFDAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA)。【知识点5】HL（斜边、直角边）判定全等1.在两个直角三角形中，若斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形，不能用于锐角/钝角三角形）。2.数学语言：如图：在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中：AC=A’C’AB=A’B’∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’。【答案】C故选：C．【知识点6】判定定理的选择策略在具体题目中，需根据已知条件快速匹配判定定理，遵循“先看角、再看边，优先用特殊判定（HL）”的原则：已知条件类型优先选择的判定定理示例场景已知三边对应相等SSS给出三边长度或通过中点推导三边相等已知两边及一角（角为夹角）SAS已知两边和它们的夹角，或能推导夹角相等已知两角及一边（边为夹边）ASA已知两角和它们的夹边，或能推导夹边相等已知两角及一边（边为对边）AAS已知两角和其中一角的对边，或能推导对边相等已知直角三角形的斜边和直角边HL直角三角形中，给出斜边和一条直角边边学边练下列三角形中全等的是（

）【答案】A故选：．知识点7三角形的稳定性1.生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.2.三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用.题型精讲题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS)题型特征题目中明确给出两个三角形的三组对应边分别相等，或可通过已知条件（如公共边、中点、线段和差）推导出三组对应边相等，需证明两三角形全等。解题核心步骤：找边：从图形和已知条件中，逐一识别或推导两三角形的三组对应边，标注相等关系（如公共边直接用“公共边相等”表述）。写格式：严格按“SSS”判定格式书写证明过程，先列出“在△XXX和△XXX中”，再用大括号呈现三组对应边相等，最后写“∴△XXX≌△XXX（SSS）”。用结论：若需进一步证明边或角相等，可利用全等三角形“对应边相等”“对应角相等”的性质推导。【易错提醒】避免对应边标注错误，需确保写出的三组边是“对应边”，而非任意三边。勿遗漏公共边、中点等隐含的“边相等”条件，这是SSS证明中常见的关键信息。【答案】A故选：A．【答案】见解析【答案】(1)SSS(2)正确，见解析（1）SSS（2）正确题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 题型特征题目不直接给出两组三角形的三组对应边相等，需先通过“线段和差、中点定义、角平分线性质、垂直平分线性质”等已知条件，推导出关键的边相等关系，再利用SSS判定两三角形全等。解题核心步骤推边：根据已知条件推导隐含的边相等。比如由“M是AB中点”得AM=BM，由“AC=AD，BC=BD”结合公共边CD，推导其他对应边相等。证全等：整理推导出的三组对应边，按SSS格式规范书写证明过程，先写“在△XXX和△XXX中”，再用大括号列边相等关系，最后得出全等结论。用性质（可选）：若题目需进一步求角或边，可利用全等三角形的对应角、对应边相等继续推导。【易错提醒】推导边相等时，需明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”），避免逻辑断层。注意区分“推导的边”与“目标三角形的对应边”，防止将非对应边纳入SSS判定条件。【答案】见解析即________________．【答案】已知；；；等式的性质；；；；；故答案为：已知；；；等式的性质；；；；；A． B． C． D．【答案】B故选：B．

【答案】/35度解：连接，，

故答案为：．题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 题型特征题目需分两步解决：先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导未知边的长度或未知角的度数，常含公共边、中点等隐含条件。解题核心步骤证全等：分析已知条件，推导三组对应边相等（如利用中点得线段相等、公共边直接用），按SSS格式规范书写全等证明过程。2.用性质：由全等结论，直接对应得出所需的边或角相等，代入已知数据计算（如求边长、角度和）。【易错提醒】证明全等时，需明确标注对应顶点，避免后续利用性质时找错对应边、对应角。勿跳过全等证明直接用边/角关系，需保证逻辑完整（先证全等，再用性质）。【答案】A故选：A．【答案】全等三角形的对应角相等故答案为：全等三角形的对应角相等．题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 题型特征题目明确给出（或可直接识别）两个三角形的两组对应边分别相等，且这两组边的夹角也相等，需依据SAS判定定理证明两三角形全等，核心是“边—角—边”的对应关系。解题核心步骤找“边—角—边”：先确定两组相等的对应边，再确认这两组边的公共夹角（或已知相等的夹角），标注对应关系。2.写证明：按格式书写“在△XXX和△XXX中”，用大括号列出“边=边、夹角=夹角、边=边”，最后写“∴△XXX≌△XXX（SAS）”。【易错提醒】混淆“夹角”与“对角”，SAS要求的角必须是两组对应边的公共夹角，不可用非夹角的角代替。忽略边的对应顺序，需确保列出的边和角是“对应”的（如△ABC的AB对应△DEF的DE，夹角∠B对应∠E）。

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】B解：点是，的中点，故选：B．【答案】见解析【答案】见解析题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS）题型特征题目不直接给出“两组边+夹角相等”的完整条件，需先通过线段和差、中点定义、角平分线性质等推导关键条件（如补全一组边相等，或推导夹角相等），再用SAS证明全等。解题核心步骤1.推条件：根据已知推导隐含条件，如由“点C是AD中点”得AC=CD，由“∠1=∠2”结合公共角得夹角相等。2.证全等：整理推导后的“边—角—边”条件，按SAS格式规范书写证明过程，明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”）。【易错提醒】推导夹角相等时，需明确角的组成（如∠ABC=∠ABD+∠DBC），避免逻辑断层。勿将“SSA”误当作SAS，需确认角是两组边的夹角，而非其中一组边的对角。【答案】B解：如图，故选：B．【变式训练1】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（）A．I和II B．只有 C．只有II D．只有【答案】A∴Ⅰ和Ⅱ符合题意．故选：A．【答案】(1)②③(2)见解析所有可以添加的条件的序号是②③，故答案为：②③；（2）添加②，∵是边上的中线，题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 题型特征题目需先通过SAS判定定理证明两三角形全等，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）解决后续问题（如求线段长度、角度大小，或证明另一组线段相等），是“判定+性质”的连贯应用。解题核心步骤1.证全等（SAS）：分析已知条件，确认“两组边+夹角相等”（直接给或间接推），规范书写SAS证明过程。2.用性质解题：由全等结论，对应找出需求的边或角，代入数据计算（如求边长），或继续证明其他结论（如用对应角相等证两直线平行）。【易错提醒】证明全等后，需严格按“对应顶点”找对应边、角，避免因对应关系错误导致计算或证明出错。书写过程中，需注明每一步的依据（如“全等三角形对应边相等”），不可省略关键逻辑。【答案】A解：如图：∴只要量出的长度，可以知道工件内槽的长度是否符合标准，故选：A．【答案】(1)见解析题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS)题型特征题目给出（或可推导）两个三角形的两组对应角分别相等，且要么给出“两组角的夹边相等”（ASA），要么给出“其中一组角的对边相等”（AAS），需根据已知条件选择ASA或AAS判定全等。解题核心步骤辨类型（ASA/AAS）：若有“两组角+它们的夹边相等”，用ASA；若有“两组角+其中一角的对边相等”，用AAS。写证明：按格式列出“角=角、边=边、角=角”（ASA）或“角=角、角=角、边=边”（AAS），结尾标注判定定理。【易错提醒】混淆ASA和AAS的条件：ASA的“边”是两组角的夹边，AAS的“边”是非夹边（某一角的对边）。忽略“三角形内角和”的隐含应用：若已知一组角相等，可通过内角和推导另一组角相等，补全ASA/AAS条件。

【答案】D故选：D．【变式训练2】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【答案】D故选D．【答案】(1)见解析(2)（1）证明：∵E为中点，题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS)题型特征题目需先通过ASA或AAS证明两三角形全等，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，解决后续的边/角计算、线段关系证明等问题，核心是“先证全等，再用性质”的逻辑链。解题核心步骤证全等（选ASA/AAS）：分析已知角、边条件，确定用ASA（两角+夹边）或AAS（两角+对边），规范书写证明过程。2.用性质推导：由全等结论，对应得出所需边/角相等，代入数据计算（如求线段总长），或证明其他结论（如证线段垂直）。【易错提醒】选择ASA或AAS时，需结合已知边的位置（夹边/对边），避免判定定理选错导致全等证明无效。利用性质时，需明确“对应关系”，不可将非对应边、角当作相等关系使用。【答案】见解析【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【答案】见解析题型精讲9用HL证全等（HL）题型特征题目限定为两个直角三角形，已知（或可推导）它们的斜边相等，且一组直角边也相等，需用“斜边、直角边”（HL）判定定理证明全等，HL仅适用于直角三角形。解题核心步骤定直角：先明确两三角形为直角三角形，标注直角符号（∠XXX=∠XXX=90°）。列条件：按HL格式书写“在Rt△XXX和Rt△XXX中”，用大括号列出“斜边=斜边、直角边=直角边”。得结论：写“∴Rt△XXX≌Rt△XXX（HL）”，注意标注“Rt”和HL。【易错提醒】误用HL到非直角三角形：HL是直角三角形特有的判定方法，不可用于锐角或钝角三角形。忽略直角的证明：若题目未直接说“直角”，需先证明夹角为90°（如垂直定义），再用HL。【答案】证明见解析【答案】(1)详见解析(2)20题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 题型特征题目需先通过HL判定定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），解决直角三角形中的边/角计算、线段垂直关系证明等问题，是直角三角形特有的“判定+性质”综合。解题核心步骤证直角三角形全等（HL）：先证两三角形为直角三角形（如垂直），再列“斜边=斜边、直角边=直角边”，用HL证全等。用性质解题：由全等结论，推导所需的边/角相等（如求直角边长度），或证明其他关系（如证角平分线）。【易错提醒】证明全等时，需先明确“直角”的依据（如“AB⊥CD”得∠ACB=90°），不可直接默认直角。利用性质时，需注意直角三角形的特殊性（如斜边是最长边），避免对应边找错【答案】(1)见解析(2)

【答案】见详解【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【答案】(1)(2)题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 题型特征题目给出两个三角形的部分相等条件（如1组边+1组角相等），要求补充一个条件，使两三角形全等，需结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）五种判定定理分析。解题核心步骤析已知：先列出题目已给的相等条件（如“AB=DE，∠A=∠D”），明确条件类型（边/角）。对应判定补条件：若已知“边+角”，可补“另一边”（SAS）或“另一角”（ASA/AAS）；若已知“边+边”，可补“第三边”（SSS）或“夹角”（SAS）；直角三角形可补“斜边/直角边”（HL）。验合理性：排除“SSA”等无效条件，确保补充的条件能对应某一判定定理。【易错提醒】勿补充“SSA”或“AAA”这类不能判定全等的条件，如已知“AB=DE，BC=EF”，补“∠A=∠D”（SSA）无效。需考虑多种可能性，如已知“∠A=∠D，∠B=∠E”，可补“AB=DE”（ASA）或“AC=DF”（AAS）。解：首先，明确ASA（角边角）判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【答案】A故选：．【答案】B故选B．【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）题型特征题目未指定用哪种判定定理，需根据已知条件的类型（边、角数量及位置），自主选择最合适的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明全等，常含公共边、公共角、对顶角等隐含条件。解题核心步骤找条件：梳理已知条件（显式+隐含），统计相等的边和角的数量（如2角+1边、2边+1角）。选方法：3边相等→SSS；2边+夹角→SAS；2角+夹边→ASA；2角+对边→AAS；直角三角形+斜边+直角边→HL。写证明：按所选判定定理的格式，规范书写证明过程，注明依据。【易错提醒】忽略隐含条件：如公共边、公共角、对顶角相等，这些往往是选择判定方法的关键。盲目选择方法：如已知“2角+1边”，需先看边是“夹边”还是“对边”，再选ASA或AAS，不可随意选。【例题1】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（

）去配A．① B．② C．③ D．①和②【答案】A解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的；故选A．A．甲 B．乙 C．甲和乙都是 D．都不是【答案】B故选：B．(2)选取其中一个加以证明．【答案】(1)①②→④，①④→②(2)见解析【答案】C故选：C．题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）题型特征题目先要求进行基本尺规作图（如作角平分线、线段垂直平分线、作一个角等于已知角），再根据作图过程中产生的相等条件（如弧长相等→线段相等），证明某两个三角形全等，核心是“作图依据=全等条件”。解题核心步骤述作图：简要描述尺规作图的关键步骤（如“作∠AOB的平分线OC，步骤为：①以O为圆心画弧交OA、OB于M、N；②分别以M、N为圆心画弧交于C；③连OC”）。找全等条件：由作图得相等线段（如OM=ON，MC=NC）或相等角，确定判定定理（如SSS、SAS）。证全等：按判定定理格式书写证明过程，注明条件来源（如“由作图知OM=ON”）。【易错提醒】作图步骤描述不完整，导致后续全等条件缺乏依据（如漏说“以相同半径画弧”，则MC=NC不成立）。忽略作图的“等长弧”条件，无法建立线段相等关系，影响全等证明。【答案】（1）或；（2）见详解【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质．甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A甲的作法如图一：故甲的作法正确；乙的作法如图二：故乙的作法正确；故选：A．【答案】D故选：D．题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题）题型特征题目中无现成的全等三角形，需通过连接某两点（如连接公共顶点、中点与顶点、对角线）构造出新的三角形，再利用已知条件证明构造后的三角形全等，辅助线作用是“补全全等图形”。解题核心步骤作辅助线：明确写出辅助线作法（如“连接AC”“连接BD”），在图中标注。析条件：结合已知条件（如AB=CD，AD=BC）和辅助线（公共边AC），找构造后三角形的全等条件。证全等：按判定定理（如SSS、SAS）证明构造的三角形全等，再利用性质解决原问题。【易错提醒】辅助线作法描述不规范（如只说“连两点”，未指明具体两点），导致图形关系模糊。构造三角形后，忽略原已知条件与辅助线的结合（如公共边），找不到全等条件。题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题）题型特征题目中存在三角形的中线（如AD是△ABC的中线，即BD=CD），需通过“延长中线至两倍长度”（如延长AD至E，使DE=AD），连接端点（如连接BE）构造全等三角形，核心是“转移线段/角的位置”。解题核心步骤作辅助线：写清作法（如“延长AD至E，使DE=AD，连接BE”），标注中点D和DE=AD。证全等：利用“BD=CD（中线定义），∠ADC=∠EDB（对顶角），AD=DE（构造）”，用SAS证明△ADC≌△EDB。用性质：由全等得AC=BE、∠C=∠EBD，将原三角形的边/角转移到△ABE中，解决问题（如证AC=AB）。【易错提醒】辅助线作法错误（如延长方向错、未使DE=AD），导致无法构造全等。忽略中线的“BD=CD”条件，或对顶角相等的隐含条件，影响SAS证明。【答案】B是边上的中线，故选：B．(2)的取值范围是多少？（直接写出答案）题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题）题型特征题目中存在两组相等的线段（如AB=AD，AC=AE），且它们的夹角相等（如∠BAD=∠CAE），需通过“旋转图形”（如将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合）构造全等三角形，辅助线本质是“利用旋转的不变性（边相等、角相等）”。解题核心步骤定旋转要素：确定旋转中心（如点A）、旋转角（如∠BAD）、旋转方向（顺时针/逆时针）。证全等：由旋转得AB=AD、AC=AE、∠BAC=∠DAE（∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC），用SAS证明△ABC≌△ADE。推结论：由全等得BC=DE、∠B=∠D，解决原问题（如求BC长度、证角相等）。【易错提醒】无法识别旋转模型，找不到“等线段+等夹角”的关键条件，导致辅助线无从下手。旋转角计算错误，无法推导∠BAC=∠DAE，影响全等证明。

A．6 B．15 C．12 D．30【答案】B故选：B【答案】D解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP1，∴BP=BP1，∠ABP+∠ABP1=60°，又∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠CBP1+∠ABP1=60°，∴∠ABP=∠CBP1，在△ABP和△CBP1中，∴△ABP≌△CBP1（SAS），∴AP=P1C，∵P1A：P1C=1：2，∴AP=2P1A，连接PP1，则△PBP1是等边三角形，∴∠BP1P=60°，PP1=PB，∵∠AP1B=150°，∴∠AP1P=150°60°=90°，∴△APP1是直角三角形，设P1A=x，则AP=2x，则PB=x，∴PB：P1A=x：x=：1．故选：D．【问题初探】【类比探究】如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，【变式训练3】（1）【特例探究】（2）【迁移推广】（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°20°=70°，OA=OB，∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题）题型特征题目中存在垂直关系（如AB⊥CD、∠AEC=∠BFD=90°），需通过“过某点作两边的垂线”（如过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F）构造直角三角形，再用AAS或HL证明全等，核心是“利用直角相等的隐含条件”。解题核心步骤作辅助线：写清垂线作法（如“过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F”），标注直角符号。证全等：利用“∠PEO=∠PFO=90°（垂线定义），∠POE=∠POF（已知），OP=OP（公共边）”，用AAS证明△PEO≌△PFO。用性质：由全等得PE=PF，解决问题（如证OP是角平分线）。【易错提醒】垂线作法描述不明确（如未说“垂直于OA、OB”），导致直角三角形的直角边对应错误。忽略“垂线→直角相等”的条件，无法补全AAS/HL的判定要素。

A． B． C． D．【答案】B故选BA．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【答案】A故选：A．【答案】(1)见解析(2)见解析题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题）题型特征除倍长中线、旋转、垂线外的小众模型，如“截长补短模型”（证线段和差）、“一线三垂直模型”（直角三角形共线）等，需根据题目具体条件（如结论为“AB=CD+EF”“有三个直角共线”），灵活作辅助线（截长、补短、作垂线）构造全等。解题核心步骤辨模型：根据结论或条件识别模型，如结论是“a=b+c”→截长补短；有“∠A=∠B=∠C=90°且共线”→一线三垂直。作辅助线：截长：在a上截取AD=b，证DC=c；补短：延长b至E，使DE=c，证AE=a；证全等：利用辅助线构造的线段/角关系，用SAS、AAS等证全等，推导结论。【易错提醒】模型识别困难，无法确定辅助线作法（如遇线段和差，想不到截长补短）。截长/补短后，找不到构造的线段与已知条件的联系，导致全等证明中断。【答案】35°故答案为：.【变式训练1】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】见解析证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,∵AD是∠BAC的平分线，在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS），∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，同理可证得△ABM≌△AGM（SAS），∴BM=GM，∵在△MCG中MGMC＜CG∴MB－MC＜AGAC=AB－AC即MB－MC＜AB－AC．【变式训练2】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD解：（Ⅰ）∵AC＝AE，∴∠ACF＝∠AEG，∵AF⊥AD，∴∠DAF＝90°＝∠CAB，∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，∴∠CAF＝∠EAG，在△AGE和△AFC中，∴△AGE≌△AFC（ASA）；（Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠AGE＝∠AFC，∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，∴∠AGC＝∠AFG，∵∠CFM＝∠AFG，∴∠AGC＝∠CFM，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠AGC，∴∠CFM＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AM＝AF+CM，∴AD＝AF+BD；（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；过点C作CM⊥AC，交AF于点M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠G＝∠F，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠G，∴∠F＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AF＝AM+CM＝AD+BD，故答案为：AF＝AD+BD．【变式训练3】定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：【答案】（1）见解析；（2）①FE=FD．②结论FE=FD仍然成立，证明见解析．解：（1）如图，△OQM与△OQN即为所求作，∵OP是∠MON的平分线，∴∠MOP=∠NOP，∵OM=ON，OP=OP，∴△OQM≌△OQN；（2）①FE=FD．如图，在AC上截取AG=AE，连接FG．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴FE=FG，∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°∠B)=60°，∴∠AFC=120°，∴∠CFD=60°=∠CFG，∴∠AFG=60°，又∵∠EFA=∠CFD=60°，∴∠EFA=∠GFA=60°，在△FDC和△FGC中，∴△FDC≌△FGC（ASA），∴FD=FG．∴FE=FD．②结论FE=FD仍然成立．同①可得△EAF≌△HAF，∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．∵∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°∠B)=60°．∴∠AFC=180°(∠FAC+∠FCA)=120°．∴∠EFA=∠HFA=180°120°=60°．同①可得△FDC≌△FHC，∴FD=FH．∴FE=FD．题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）题型特征题目结论为“一条线段=另外两条线段的和（如AB=AC+CD）”或“差（如AB=ACCD）”，需用“截长法”或“补短法”作辅助线，构造全等三角形，将“和差关系”转化为“线段相等关系”。解题核心步骤选方法：截长法：在较长线段AB上截取AE=AC，证EB=CD（需证△AEC≌△ACD得EC=CD，再证EB=EC）；补短法：延长AC至F，使CF=CD，证AF=AB（需证△CDF是等腰，再证△ABF≌△ACB）。证全等：利用辅助线构造的条件，结合已知证全等，推导线段相等。得结论：由全等得线段相等，代入和差关系，证明原结论。【易错提醒】截长/补短的方向错误（如截错线段、延长方向反），导致无法构造全等。忘记最终需回归“和差结论”，仅证完全等就结束，逻辑不完整。A． B． C． D．4【答案】B故选：B．【变式训练1】（1）写出判断平面内不同三点A，B，C共线的方法（要求至少三种）【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析∴A，B，C共线．②直线平行直线m，直线平行直线m，理由如下：∵直线平行直线m，直线平行直线m，，∴A，B，C共线．∴A，B，C共线．【变式训练2】如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【答案】见解析方法1：补短，构造全等证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：补短，构造全等证明：延长DA至点F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分线∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°过点A作AF⊥AB交BC于点F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延长上取点H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB【拓展应用】（2）G是的中点，理由见解析（2）G是的中点，理由如下：∴点G是的中点．题型精讲20全等三角形综合问题 题型特征题目包含多步证明，需多次运用全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质，或结合轴对称、角平分线、垂直平分线等知识，解决复杂的边/角关系、图形判定（如证平行、垂直）问题，综合性强。解题核心步骤拆问题：将复杂问题拆解为多个小目标（如“先证△ABC≌△DEF，再证△DFG≌△EHG”）。分步证：按小目标依次证明，每一步都明确判定定理和依据，利用前一步的全等结论作为后一步的已知条件。综合推：结合所有全等结论和其他知识（如“全等→角相等→两直线平行”），推导最终结论。【易错提醒】思路混乱，无法拆解问题，找不到第一步该证哪个三角形全等。忽略知识间的关联（如全等与角平分线的结合），导致关键条件缺失。【答案】C故选C【变式训练1】如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为．【答案】【详解】∵四边形ABDG是平行四边形，∴AB=DG，BD=AG=7，∴AC=GD=AB，EG=AGAE=75=2，∵BC＝DC，∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BC=DC=BD=7，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠AGD=∠ABD=60°+∠ABC，∵∠ACE=60°+∠ACB，∴∠AGD=∠ACE，在△DGE和△ACE中，∴△DGE≌△ACE（AAS），∴EG=CE=2，如图，过点C作CM⊥EF于点M，∵AG∥BD，∴∠CEF=∠CDB=60°，∴∠ECM=30°，∵CE=2，∴AM=AEEM=51=4，∴AB=AC=，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△DGE≌△ACE．【答案】C解：如图所示：故选：C(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中结论还成立吗？请说明理由．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析题型精讲21尺规作一个角等于已知角题型特征基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，作一个角等于已知角（如作∠A'O'B'=∠AOB）”，作图依据是SSS全等判定定理（通过等长弧得到相等线段，构造全等三角形）。解题核心步骤作射线：用直尺作射线O'B'，作为新角的一边。画弧（已知角）：以已知角的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。画弧（新角）：以O'为圆心，同一步骤2的半径画弧，交O'B'于N'。找交点：以N'为圆心，MN的长为半径画弧，与步骤3的弧交于M'。作射线：用直尺连接O'M'，则∠A'O'B'=∠AOB。【易错提醒】两步画弧的半径不一致（如步骤2和步骤3半径不同），导致MN≠M'N'，无法构造全等。找交点M'时，半径不是“MN的长”，导致O'M'与O'B'的夹角不等于已知角。【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．【答案】作图见解析．∴即为所求．（角平分线的定义）（

）为中点【答案】(1)见解析（1）解：如图所示，为中点题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 题型特征基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，过直线l外一点P作直线l的平行线”，作图依据是“作一个角等于已知角”（同位角相等，两直线平行）。解题核心步骤连线段：过点P作任意直线，交已知直线l于点O，形成∠POA（A在l上）。作等角：以点P为顶点，PO为一边，按“作一个角等于已知角”的方法，作∠OPB=∠POA（B不在l上）。作直线：用直尺连接P、B，直线PB即为所求的平行线（∠OPB=∠POA，同位角相等，两直线平行）。【易错提醒】作等角时，角的方向错误（如作的是内错角但位置不对），导致最终直线不平行。未明确“同位角相等”的依据，仅完成作图，无法说明直线平行的理由。A．以点C为圆心，长为半径的弧C．以点E为圆心，长为半径的弧【答案】D故选：D．【答案】见解析解：如图所示，即为所求．【变式训练2】已知：直线a和直线a外一点P．要求：尺规作图，不写画法保留作图痕迹(1)过点作直线的平行线．(2)这种作法的依据是什么？【答案】(1)见详解(2)同位角相等，两直线平行（1）解：如图所示：∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行．【答案】见解析解：如图，即为所求，②保持半径长度不变，以点为圆心画弧，交射线于点；③以点为圆心，截取的长度，再以点为圆心，长为半径画弧，交原弧于点；④作直线即可．题型精讲23尺规作图——作三角形题型特征根据已知条件（如“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”），用无刻度直尺和圆规作三角形，作图依据对应全等三角形的判