第三章第三章位置与坐标第专题二根据坐标求图形的面积学拓单北师大版数学八年级上册

专题二根据坐标求图形面积学习目标1.能运用直接公式法、割补法、水平宽与铅垂高法计算三角形、平行四边形面积；会画出平移后的图形并求新顶点坐标，判断平移前后图形的大小与形状关系；能验证水平宽与铅垂高法对四边形面积计算的适用性并总结适用条件。2.对比不同解题方法，提升策略优化意识；通过探索四边形面积计算，培养“猜想—验证—归纳”的数学思维。作业设计1.如图所示的平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，．（1）求三角形的面积；（2）将三角形向上平移1个单位长度，得到三角形，再向右平移2个单位长度，得到三角形，分别画出三角形和三角形，并求出点，，的坐标；（3）三角形与三角形的大小、形状有什么关系？2．如图，在平面直角坐标系中，、、求的面积；3．如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，，，，，将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形．（1）直接写出平行四边形四个顶点的坐标：，，，；（2）平行四边形的面积为．4．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为，所以面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积．“适合”或“不适合”（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：．错题归纳及分析专题二答案1．如图所示的平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，．（1）求三角形的面积；（2）将三角形向上平移1个单位长度，得到三角形，再向右平移2个单位长度，得到三角形，分别画出三角形和三角形，并求出点，，的坐标；（3）三角形与三角形的大小、形状有什么关系？【分析】（1）根据面积公式求三角形面积；（2）根据平移作图的方法作图即可；（3）根据平移的性质解答即可．【解答】解：（1）三角形的面积；（2）三角形和三角形位置如图，、、．（3）三角形与三角形的大小相等、形状相同．【点评】本题考查的是平移变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．2．如图，在平面直角坐标系中，、、（1）求的面积；【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可解答；3．如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，，，，，将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形．（1）直接写出平行四边形四个顶点的坐标：，，，，，，；（2）平行四边形的面积为6．【分析】（1）将各点的横坐标减去，纵坐标不变，即可得出答案；（2）求出平行四边形的面积即可．【解答】解：（1）平行四边形的四个顶点坐标分别为，，，，将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形，平行四边形四个顶点的坐标分别为，，，；故答案为：，，，，，，；（2）平行四边形的面积，平行四边形的面积平行四边形的面积，故答案为：6．【点评】本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【点评】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质，解决本题的关键是根据坐标表示出三角形的面积．5．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为4，所以面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积不适合．（填“适合”或“不适合”（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积适合．“适合”或“不适合”（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积适合．（填“适合”或“不适合”【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：一条对角线等于水平宽或铅垂高．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，，故答案为：4，20；【再探新知】（1）四边形的水平宽为8，铅垂高为9，运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小为36，利用四边形所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为，用“”这一方法对求图4中四边形的面积不适合，故答案为：36，37.5，不适合；（2）四边形的水平宽为9，铅垂高为8，运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小为36，利用四边形所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为，用“”这一方法对求图4中四边形的面积，适合，故答案为：36，36，适合；（3）四边形的水平宽为9，铅垂高为10，运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小