安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

第第页安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（11月）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=1x2 B．y=x2-1 C．y=3x+1 D．y=(x-1)22．志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志图案为中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的是（）A．-3 B．3 C．0 D．0或34．用配方法解方程2x2-4x-7=0，下列变形结果正确的是（）A．(x-1)2=72 B．(x-1)2=92 C．(x-2)2=3 D．(x-1/2)5．若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在抛物线y=-x2+2x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2<y1<y3 B．y3<y2<y1 C．y3>y2>y1 D．y3<y1<y26．如图，将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔDEC，当点B的对应点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．如图，正五边形ABCDE内接于OO，点F是DE上的动点，则∠AFC的度数为（）A．60° B．72°C．144° D．随着点F的变化而变化8．定义运算：m☆n=n2-mn-1，例如：5☆3=32-5×3-1=-7，则方程2☆x=6的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根9．一次函数y=kx+k和二次函数y=-kx2+4x+4（k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．10．过点P（0，p）的直线与抛物线y=x2交于A，B两点，已知A（a，b），B(c，a)且a<c，则下列说法正确的是（）A．ac>0，若a+c=1，则p有最小值 B．ac>0，若a+c=1，则p有最大值C．ac<0，若c-a=1，则p有最小值 D．ac<0，若c-a=1，则p有最大值二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程.（用一般式表示）12．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为.13．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC’，连接CC’，DC'，若∠CC'D=90°，AB=5，则线段C＇D的长度为.14．如图1，E是等边ΔABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边ΔAEF，连接CF.已知ΔECF的面积S与BE的长x之间的函数关系图象是如图2所示的抛物线，且点P为抛物线的顶点．（1）请根据抛物线的对称性，判断当ΔECF的面积最大时，∠FEC=°.（2）等边ΔABC的边长为．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：2(x-1)2=18.16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O和ΔABC的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：⑴画出ΔABC关于点O的中心对称图形ΔA1B1C1；⑵画出ΔABC绕点B逆时针旋转90°得到的ΔA2BC2.四、（本题共2小题，每题8分，满分16分）17．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同、求3月份的利润是多少万元？18．如图是用棋子摆成的图案．根据图中棋子的排列规律解决下列问题：（1）第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子；（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是（3）请求出第几个图形中棋子的个数是274个．五、（本题共2小题，每题10分，满分20分）19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD=42，OE=1，求⊙O的半径．20．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上.其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一：“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二：“H”形内部支架（由线段A＇B＇，D＇C＇，EF构成），点B＇，C’在OM上，且OB'=B'C'=C'M，点A＇，D＇在抛物线上，A＇B＇，D＇C＇均垂直于OM，E，F分别是A＇B＇，D＇C＇的中点.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由.六、（本题满分12分）21．如图1，在ΔABC中，BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12（1）求证：DF=DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变，探究AD，DE，EC之间的关系，并证明.七、（本题满分12分）22．我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形ABCD，是否存在另一个矩形A＇B＇C＇D的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的一半.（1）阅读探究过程并完成填空；当已知矩形ABCD的边长分别是7和1时．设所求矩形的一边长是x，则另一边长为(7+12根据题意，得x(7+12-x)=7×1整理，得2x2-8x+7=0：∵Δ=64-56=8>0，∴x1=；x2=；∴满足要求的矩形A＇B＇C＇D＇存在；（2）请你继续解决下列问题：①如果已知矩形ABCD的边长分别是2和1，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形A＇B＇C＇D＇；②如果矩形ABCD的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形A＇B＇C＇D＇存在？八、（本题满分14分）23．抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t.①求PM的最大值及此时点M的坐标；②过点C作CH⊥PN于点H，若SΔBMN=9SΔCHM，求点P的坐标.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A：y=1x2，含自变量的式子不是整式，不是二次函数，所以A不符合题意；

B：y=x2-1是二次函数，所以B符合题意；

C：y=3x+1是一次函数，所以C不符合题意；

D：y=(x-1)2-x故答案为：B.

【分析】根据二次函数的定义进行识别，即可得出答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：A：图案不是对称图形，所以A不符合题意；

B：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；

C：图案是中心对称图形，所以C符合题意；

D：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意。故答案为：C.【分析】根据中心对称图形的定义进行识别，即可得出答案。3．【答案】A【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2+mx+2=0中，得：12+m+2=0，解方程，可得m=-3.故答案为：A.

【分析】根据方程的根的意义，把x=1代入原方程，即可求得系数m的值。4．【答案】B【解析】【解答】解：2x2-4x-7=0，

∴x2-2x-72=0，

∴x2-2x+1=72+1

∴（x-1）2=9故答案为：B.

【分析】根据配方法解方程的步骤正确进行配方，即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】解：y=-x2+2x+c=-（x2-2x+1）+1+c=-（x-1）2+c+1，∴抛物线的对称轴为：x=1，

∵点（0，y1）关于x=1的对称点为：（2，y1），

∵-1＜0，

∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵1＜2＜3，

∴y3＜y1＜y2

故答案为：D.

【分析】首先把二次函数的一般式转化为顶点式，从而得出抛物线的对称轴为x=1，然后求出点（0，y1）关于x=1的对称点为：（2，y1），然后根据函数的增减性，可得出y3＜y1＜y2。6．【答案】D【解析】【解答】解：由旋转性质知：CA=CD，∠DCA=∠ACB=30°，

∴∠DAC=180°-∠DCA2故答案为：D.

【分析】首先根据旋转的性质得出CA=CD，∠DCA=∠ACB=30°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得∠DAC的度数。7．【答案】B【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴圆弧ABC=360°×25=144°，

∴∠AFC=12×144°=72°。

【分析】首先根据正五边形的性质，可得出圆弧ABC的度数，然后根据圆周角定理即可得出∠AFC的度数。8．【答案】A【解析】【解答】解：由新定义运算知：2☆x=x2-2x-1，

∴x2-2x-1=6，

即x2-2x-7=0，

∆=（-2）2-4×1×（-7）=32＞0，

∴方程有两个不相等的实数根。故答案为：A.

【分析】首先根据新定义运算得出方程x2-2x-1=6，然后整理为一般形式，再通过计算根的判别式的值，得出方程的根的情况。9．【答案】C【解析】【解答】解：A：根据抛物线可知-k＜0，可得k＞0，那么可以得出一次函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限，所以A不符合题意；

B：根据抛物线可知-k＞0，可得k＜0，那么可以得出一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，所以B不符合题意；

C：根据抛物线可知-k＞0，可得k＜0，那么可以得出一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，所以C符合题意；

D：根据抛物线可知-k＞0，可得k＜0，根据抛物线对称轴在y轴右侧，可得-k和4异号，所以-k＜0，所以D不符合题意；故答案为：C.

【分析】根据一次函数，二次函数图象和系数的关系，即可得出答案。10．【答案】A【解析】【解答】解：设过点P的直线解析式为：y=kx+p，联立y=kx+py=即x2-kx-p=0，

∵直线与抛物线y=x2交于A，B两点，

∴a，c是方程x2-kx-p=0的两个根，

∴ac=-p，a+c=k，

∵a＜c，

∴点B（c，a）在直线y=x的下方，

解方程组y=xy=x2可得x=0y=0，x=1y=1，

∴0＜a＜1，0＜c＜1，

∴ac＞0，

当ac＞0，a+c=1时，

∴

【分析】设过点P的直线解析式为：y=kx+p，根据直线与抛物线y=x2交于A，B两点，即可得出a，c是方程x2-kx-p=0的两个根，利用根与系数的关系可得ac=-p，a+c=k，然后根据a＜c，可得出点B（c，a）在直线y=x的下方，即可得出0＜a＜1，0＜c＜1，故而得出ac＞0，且当a+c=1时，p=x2-x，利用二次函数性质，得出p有最小值，即可得出答案。11．【答案】x2+x﹣2＝0【解析】【解答】解：1+（-2）=-1，1×（-2）=-2，所以符合题意的方程可以为：x2+x-2=0.

故答案为：x2+x-2=0（答案不唯一）.

【分析】首先求出两根之和为-1，两根之积为-2，然后根据根与系数的关系可得方程：x2+x-2=0。12．【答案】x＝﹣2【解析】【解答】解：设方程的另一根为x，根据抛物线的对称性，得：1-x=4-1，解得x=-2.故答案为：x=-2.

【分析】首先根据二次函数与一元二次方程的关系可知方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标，再根据抛物线的对称性可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点到对称轴x=1的距离相等。故而得出1-x=4-1，即可求得方程的另一个根。13．【答案】5【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E，

∴∠BEC=90°，

∴∠BCE=90°-∠CBE，

又∠BCE+∠DCC'=90°，

∴∠CBE=∠DCC'，

又∠BEC=∠DC'C=90°，BC=CD，

∴△BCE≌△CDC'，

∴CE=DC'，

又由旋转性质知BC=BC'，

∴CE=C'E，

∴CC'=2CE=2DC'，

在Rt△DC'C中：DC'2+CC'2=CD2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AB=5，

∴DC'2+（2DC'）2=52，

∴DC'=5（负值舍去）故答案为：5.

【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，首先证明△BCE≌△CDC'，得出CE=DC'，再根据等腰三角形的性质得出CE=C'E，从而得CC'=2DC'，然后在Rt△DC'C中，根据勾股定理得出DC'2+（2DC'）2=52，解方程即可得出DC'的长度。14．【答案】（1）30（2）4【解析】【解答】解：（1）过点F作FD⊥BC交直线BC于点D，

∵△ABC和△AEF都是等边三角形，

∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=∠ACB=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE=CF，∠ABE=∠ACF=60°，

∴∠FCD=60°，

设BE=x，则CF=BE=x，

在Rt△FCD中，由sin∠FCD=FDFC，得：FD=FC×sin∠FCD=3x2，

设等边三角ABC的边长为a，则CE=a-x，

∴S△ECF=12×CE×FD=12×(a-x)×3x2=-34x2+3a4x=-3故答案为：30.

（2）由（1）知，函数的最大值3a216，又由图象知最大值为23，

∴3a216=23，【分析】（1）首先根据函数图象得出当点E为BC的中点时函数有最大值，根据等边三角形的性质即可得出∠AEC=90°，进而得出∠FEC=90°-60°=30°；

（2）根据函数的最大值3a21615．【答案】解：整理，得(x﹣1)2＝9，直接开平方，得x﹣1＝±3，解得x1＝4，x2＝﹣2．【解析】【分析】根据直接开平方法即可求得方程的解。16．【答案】解：⑴如图ΔA1B1C1⑵如图ΔA2BC2【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的画法画出△A1B1C1即可；

（2）根据网格特点，把△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2B2C2即可。17．【答案】解：设增长率为x，则2月份获得利润20(1+x)万元，3月份获得利润20(1+x)2万元，依题意，得20(1+x)2﹣20(1+x)＝4.8，整理得25x2+25x﹣6＝0，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．20×(1+20%)2＝20×1.44＝28.8(万元)．答：3月份的利润是28.8万元．【解析】【分析】设增长率为x，则2月份获得利润20(1+x)万元，3月份获得利润20(1+x)2万元，根据3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，即可列出方程20(1+x)2﹣20(1+x)＝4.8，解方程得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去），然后再根据c的值求得代数式20(1+x)2的值即可。18．【答案】（1）22；32（2）n（3）解：由题意，得n2+n+2＝274，解得x1＝﹣17（舍去），x2＝16，答：第16个图形中棋子的个数是274个．【解析】【解答】解：（1）通过观察知：第1个图形有：1+2+12=4颗棋子；

第2个图形有：2+2+22=8颗棋子；

第3个图形有3+2+32=14颗棋子；

∴第4个图中有：4+2+42=22颗棋子，第5个图中有5+2+52=32颗棋子。

故第1空答案为：22；第2空答案为：32；

（2）第n个图中棋子的颗数是：n+2+n2=n2+n+2.故答案为：n2+n+2；

【分析】（1）根据已有图案观察规律，即可得出答案；

（2）根据（1）观察到的规律进行归纳，即可得出答案；（3）设第n个图中棋子的个数是274个，根据题意则可得方程：n2+n+2＝274，解方程即可得出答案。19．【答案】（1）证明：证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，∵AC=AC，∴∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12CD=22在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，∴r2=（22）2+（r﹣2）2，解得：r=3，∴⊙O的半径为3．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BCO=∠B，根据圆周角定理证明即可；（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．20．【答案】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米，∴顶点P的坐标为P(6，9)，点O的坐标为O(0，0)，点M的坐标为M(12，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x﹣6)2+9，将O（0，0）的横纵坐标代入，得0＝a(0﹣6)2+9，解得a=−1∴该抛物线的函数表达式为y=−1即y=−（2）解：方案二的内部支架节省材料．理由如下：方案一：∵OB＝BN＝NC＝CM，OM＝12米，∴OB＝3米，OC＝9米当x=3时，y=−14(3−6)2+9=274，即AB=∴方案一内部支架材料长度为AB+NP+CD=274+9+∴OB'=4米，OC'=8米，EF=B'C'=4米，当x=4∴方案二内部支架材料长度为A'∵45∴方案二的内部支架节省材料．【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为：（6，9），可设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣6)2+9，再根据点O（0，0）即可得出a=-14，即可得出该抛物线的函数表达式；21．【答案】（1）证明：∵∠DBE=1∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=1由旋转得△CBE≌△ABF，∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，∴∠ABD+∠ABF＝∠DBE，∴∠DBF＝∠DBE，∵BD＝BD，∴△DBE≌△DBF（SAS），∴DF＝DE（2）解：A理由：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝45°，由旋转，得AF＝CE，∠BAF＝∠C＝45°，∴∠DAF＝∠BAC+∠BAF＝90°，∴AD由（1）得DF＝DE，∴A【解析】【分析】（1）根据SAS证明△DBE≌△DBF，即可得出DF=DE；（2）根据AB⊥BC，AB＝BC，可得△ABC是等腰直角三角形，从而得出∠C=∠BAC=45°，由（1）知：DF=DE，由旋转性质知：CE=AF，∠BAF=∠C=45°，从而得出△ADF是直角三角形，根据勾股定理可得：AD2+AF2=DF2，进一步等量代换为：AD22．【答案】（1）2+22（2）解：①设所求矩形的一边长是x，则另一边长为(2+1根据题意，得x(2+12∵Δ=9−16<0，∴不存在矩形A②设所求矩形的一边长是x，则另一边长为(根据题意，得x(整理，得2x2﹣(m+n)x+mn＝0，要使矩形A'B'C'D'存在，此方程需有解，即Δ≥0，即(−m−n)整理，得m2∴当m2+n【解析】【解答】解：（1）2x2-8x