2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一(上)期末数学试卷及答案

第1页（共1页）2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）1．（4分）已知集合M＝{1，2，a}，N＝{b，2}，M∩N＝{2，3}，则M∪N＝（）A．{1，3} B．{2，3} C．{1，2} D．{1，2，3}2．（4分）若函数y＝x2+2x+2在闭区间[m，1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣3，0] D．[﹣3，﹣1]3．（4分）已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A． B． C．﹣ D．﹣4．（4分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，﹣5．（4分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且在（﹣∞，0）单调递减，则三个数：a＝f（0.60.5），b＝f（log0.60.5），c＝f（0.50.6）之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．（4分）将函数y＝sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A． B． C．（） D．（）7．（4分）函数y＝2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A． B． C． D．8．（4分）幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣＝（）A．0 B．1 C． D．29．（4分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若有且仅有两个不同的实数x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝f（x2）＝2．则实数ω的值不可能为（）A．π B．3π C．π D．π10．（4分）已知函数y＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝1对称，则sin2φ＝（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）11．（4分）设集合A＝[2，4]，B＝{x|x2﹣ax﹣4≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．12．（4分）在△ABC中，已知sinA＝10sinBsinC，cosA＝10cosBcosC，则tanA的值为．13．（4分）设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为．14．（4分）已知函数，若关于x的方程f2（x）+（m﹣3）•f（x）+m＝0恰好有6个不相等的实数解，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共44分。）15．回答下列各题．（1）求值：（）0+3×（）+lg4+1g25﹣5．（2）解关于x的不等式：x2﹣ax﹣6a2＜0（其中a＜0）．16．已知函数f（x）＝sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在[，]上的单调性．17．已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）＝2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）＝，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．已知0＜x＜π，sinx+cosx＝．（1）求sinx﹣cosx的值；（2）求的值．19．已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上且满足下列两个条件：①对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）＝f（）②当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0（1）求f（0），并证明函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数；（2）验证函数是否满足这些条件；（3）若f（﹣）＝1，试求函数F（x）＝f（x）+的零点．四、附加题（本大题共2小题，共20分。）20．求函数y＝的最小正周期．21．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且不等式2x+2对一切实数x都成立（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）恒成立，求实数t的取值范围．2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）1．（4分）已知集合M＝{1，2，a}，N＝{b，2}，M∩N＝{2，3}，则M∪N＝（）A．{1，3} B．{2，3} C．{1，2} D．{1，2，3}【分析】由已知条件求出a＝b＝3，由此能求出M∪N＝{1，2，3}．【解答】解：∵集合M＝{1，2，a}，N＝{b，2}，M∩N＝{2，3}，∴a＝b＝3，∴M∪N＝{1，2，3}．故选：D．【点评】本题考查集合的并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（4分）若函数y＝x2+2x+2在闭区间[m，1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣3，0] D．[﹣3，﹣1]【分析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案．【解答】解：y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，令x2+2x+2＝5，即x2+2x+﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，f（﹣1）＝1，作出函数图象如下图所示：因为函数在闭区间[m，1]上有最大值5，最小值1，所以由图象可知，﹣3≤m≤﹣1．故选：D．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的基础．3．（4分）已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα﹣cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，整理得：2sinαcosα＝﹣＜0，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝，则cos2α＝﹣（sinα+cosα）（sinα﹣cosα）＝﹣．故选：C．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．（4分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，﹣【分析】根据图象的两个点A、B的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果．【解答】解：由图象可得：＝﹣（﹣）＝，∴T＝＝π，∴ω＝2，又由函数f（x）的图象经过（，2），∴2＝2sin（2×+φ），∴+φ＝2kπ+，（k∈Z），即φ＝2kπ﹣，k∈Z，又由﹣＜φ＜，则φ＝﹣．故选：B．【点评】本题考查有部分图象确定函数的解析式，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于基础题．5．（4分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且在（﹣∞，0）单调递减，则三个数：a＝f（0.60.5），b＝f（log0.60.5），c＝f（0.50.6）之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】根据题意，分析可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，又1＞0.60.5＞0.60.6＞0.50.6＞0，log0.60.5＞log0.60.6＝1，结合单调性分析可得答案．【解答】解：由函数f（x）是R上的奇函数，且在（﹣∞，0）单调递减，可知函数在（0，+∞）上单调递减，∵1＞0.60.5＞0.60.6＞0.50.6＞0，log0.60.5＞log0.60.6＝1，∴f（log0.60.5）＜f（0.60.5）＜f（0.50.6），即b＜a＜c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意分析函数在（0，+∞）的单调性．6．（4分）将函数y＝sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A． B． C．（） D．（）【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）＝0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为＝sin2x当x＝时，y＝sinπ＝0，所以是函数y＝sin2x的一个对称中心．故选：A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7．（4分）函数y＝2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A． B． C． D．【分析】先根据三角函数的诱导公式将自变量x的系数变为正数，再由函数的单调递减区间为的单调递增区间根据正弦函数的单调性求出x的范围，得到答案．【解答】解：，由于函数的单调递减区间为的单调递增区间，即故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性．求正弦函数的单调区间时先将自变量x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行解题．8．（4分）幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣＝（）A．0 B．1 C． D．2【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y＝xa，y＝xb求得a，b，最后再求a﹣的值即得．【解答】解：BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以M（，），N（，），分别代入y＝xa，y＝xb，a＝，b＝，∴a﹣＝﹣＝0．故选：A．【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若有且仅有两个不同的实数x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝f（x2）＝2．则实数ω的值不可能为（）A．π B．3π C．π D．π【分析】利用三角函数公式化简，根据实数x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝f（x2）＝2．建立关系式，即可求解实数ω的值．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）；由x∈[0，1]，则ωx+∈[，ω]，有两个不同的实数x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝f（x2）＝2．∴≤ω+，则≤ω；故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．10．（4分）已知函数y＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝1对称，则sin2φ＝（）A． B． C． D．【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．【解答】解：y＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）＝sin（πx+φ﹣α），其中sinα＝，cosα＝．∵函数的图象关于直线x＝1对称，∴π+φ﹣α＝+kπ，k∈Z，即φ＝α﹣+kπ，k∈Z，则sin2φ＝sin2（α﹣+kπ）＝sin（2α﹣π+2kπ）＝sin（2α﹣π）＝﹣sin2α＝﹣2sinαcosα＝﹣2××＝﹣，故选：A．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）11．（4分）设集合A＝[2，4]，B＝{x|x2﹣ax﹣4≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】对于方程x2﹣ax﹣4＝0，由于△＝a2+16＞0，解得集合B，由A⊆B，根据区间端点值的关系列式求得a的范围．【解答】解：对于B＝{x|x2﹣ax﹣4≤0}，由于x2﹣ax﹣4＝0，△＝a2+16＞0，x1＝，x2＝；∴B＝{x|≤x≤}∵A⊆B，集合A＝[2，4]，∴解得，a≥3，则实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了分类讨论思想，解答的关键是正确分类，同时根据集合的包含关系分析区间端点值的大小，属于基础题．12．（4分）在△ABC中，已知sinA＝10sinBsinC，cosA＝10cosBcosC，则tanA的值为11．【分析】由已知，将两式相减，利用两角和与差的三角函数公式化简．【解答】解：因为在△ABC中，已知sinA＝10sinBsinC，cosA＝10cosBcosC，两式相减得sinA﹣cosA＝﹣10cos（B+C）＝10cosA，所以sinA＝11cosA，所以tanA＝11；故答案为：11．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，属于基础题．13．（4分）设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为．【分析】先设β＝α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：设β＝α+，∴sinβ＝，sin2β＝2sinβcosβ＝，cos2β＝2cos2β﹣1＝，∴sin（2α+）＝sin（2α+﹣）＝sin（2β﹣）＝sin2βcos﹣cos2βsin＝．故答案为：．【点评】本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．14．（4分）已知函数，若关于x的方程f2（x）+（m﹣3）•f（x）+m＝0恰好有6个不相等的实数解，则实数m的取值范围为（，1）．【分析】利用双勾函数，结合已知条件画出函数的简图，利用换元法，判断函数的零点的范围，列出不等式组，转化区间即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝，结合“双勾”函数的性质画出函数的简图如图，令t＝f（x），则由已知条件，方程t2+（m﹣3）•t+m＝0在区间（0，2）上有2个不相等的实数根，则⇒，所以，实数m的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查函数与方程的应用，构造法以及数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共44分。）15．回答下列各题．（1）求值：（）0+3×（）+lg4+1g25﹣5．（2）解关于x的不等式：x2﹣ax﹣6a2＜0（其中a＜0）．【分析】（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质，计算即可；（2）不等式化为（x+2a）（x﹣3a）＜0，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集．【解答】解：（1）（）0+3×（）+lg4+1g25﹣5＝1+3×+lg（4×25）﹣3＝1+2+2﹣3＝2．（2）不等式x2﹣ax﹣6a2＜0可化为（x+2a）（x﹣3a）＜0，不等式对应方程的两根为﹣2a，3a，且3a＜﹣2a（其中a＜0）；所以原不等式的解集为（3a，﹣2a）．【点评】本题考查了指数与对数的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16．已知函数f（x）＝sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在[，]上的单调性．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（﹣x）sinx﹣x＝cosxsinx﹣（1+cos2x）＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为＝π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．17．已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）＝2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）＝，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】利用两角和与差的正余弦公式函数f（x）进行变换，利用二倍角公式对函数g（x）进行变换；（1）代入求值即可；（2）根据已知条件列出不等式，所以由正弦函数的值域进行解答．【解答】解：f（x）＝sin（x﹣）+cos（x﹣）＝sinx﹣cosx+cosx+sinx＝sinx．g（x）＝2sin2＝1﹣cosx；（1）由f（θ）＝得sinθ＝．又θ是第一象限角，∴cosθ＞0，∴g（θ）＝1﹣cosθ＝1﹣＝1﹣＝；（2）f（x）≥g（x）⇔sinx≥1﹣cosx，即sinx+cosx≥1，于是sin（x+）≥，从而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z}．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及两角和的三角公式，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．18．已知0＜x＜π，sinx+cosx＝．（1）求sinx﹣cosx的值；（2）求的值．【分析】（1）先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得sinxcosx的值，再平方即可求出；（2）结合（1）求sinx，cosx的值，最后利用商数关系求得tanx的值，代入即可得解．【解答】解：（1）∵sinx+cosx＝，∴（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝﹣，∵0＜x＜π，∴sinx＞0，cosx＜0∴（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx＝1+＝，∴sinx﹣cosx＝，（2）由sinx+cosx＝，sinx﹣cosx＝，解得sinx＝，cosx＝，∴tanx＝＝﹣∵sin2x＝﹣，sin2x＝，∴＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的过程中要特别注意根据角的范围确定三角函数值的正负号，属于基本知识的考查．19．已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上且满足下列两个条件：①对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）＝f（）②当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0（1）求f（0），并证明函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数；（2）验证函数是否满足这些条件；（3）若f（﹣）＝1，试求函数F（x）＝f（x）+的零点．【分析】（1）先计算f（0），再令y＝﹣x可得f（﹣x）+f（x）＝0，得出结论；（2）判断f（x）的定义域，再验证两条性质是否成立；（3）先判断f（x）的单调性，根据2f（x）＝﹣1可得＝，从而解除x的值．【解答】解：（1）令x＝y＝0得f（0）+f（0）＝f（0），∴f（0）＝0．再令y＝﹣x可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（x）在（﹣1，1）是奇函数．（2）由＞0可得﹣1＜x＜1，即f（x）＝lg的定义域为（﹣1，1），又f（x）+f（y）＝lg+lg＝lg（•）＝lg，f（）＝lg＝lg．∴f（x）+f（y）＝f（）．当x＜0时，1﹣x＞1+x＞0，∴，∴lg＞0．故函数是满足这些条件．（3）设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（），∵x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，∴＜0，由条件②知f（）＞0，从而有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵f（﹣）＝1，∴f（）＝﹣1，令F（x）＝f（x）+＝0可得2f（x）＝﹣1，又2f（x）＝f（x）+f（x）＝f（），且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，∴＝，解得x＝2±，又x∈（﹣1，1），∴x＝2﹣．故原方程的解为x＝2﹣．【点评】本题考查了函数奇偶性、函数单调性的判断，属于中档题．四、附加题（本大题共2小题，共20分。）20．求函数y＝的最小正周期．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为y＝cos4x+，利用余弦函数的周期公式即可计算得解．【解答】解：∵sin3xsin3x+cos3xcos3x＝（sinxsin3x）sin2x+（cosxcos3x）cos2x＝[（cos2x﹣cos4x）sin2x+（cos2x+cos4x）cos2x]＝[（sin2x+cos2x）cos2x+（cos2x﹣sin2x）cos4x]＝（cos2x+cos2xcos4x）＝cos2x•＝cos32x，∴y＝＝＝cos22x＝cos4x+，∴最小正周期T＝＝．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及余弦函数的周期的求法，考查了转化思