四川初等数论考试及答案

四川初等数论考试及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若a，b为整数，且b≠0，a=bq+r（0≤r＜|b|），则（）。A.r是a除以b的余数B.q是a除以b的余数C.r=0D.q一定大于02.以下哪个数是质数（）。A.4B.9C.7D.153.24和36的最大公因数是（）。A.6B.8C.12D.244.若a≡b（modm），则（）。A.m|(a-b)B.m|(a+b)C.a=bD.a＞b5.50以内7的倍数有（）个。A.6B.7C.8D.96.一次同余式ax≡b（modm）有解的充要条件是（）。A.(a,m)|bB.(a,m)=1C.a|bD.m|b7.以下属于模5的一个完全剩余系的是（）。A.0，1，2，3，4B.1，2，3，4，5C.2，3，4，5，6D.0，2，4，6，88.欧拉函数φ(12)的值为（）。A.4B.5C.6D.89.若a是整数，且(a,m)=1，则a^φ(m)≡（）（modm）。A.0B.1C.aD.m10.方程x^2≡1（mod5）的解的个数是（）。A.1B.2C.3D.4答案：1.A2.C3.C4.A5.B6.A7.A8.A9.B10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些数是合数（）。A.6B.11C.14D.19E.212.若a，b为正整数，且a=p1^α1p2^α2…pn^αn，b=p1^β1p2^β2…pn^βn（pi为质数），则（）。A.(a,b)=p1^min(α1,β1)p2^min(α2,β2)…pn^min(αn,βn)B.[a,b]=p1^max(α1,β1)p2^max(α2,β2)…pn^max(αn,βn)C.(a,b)[a,b]=abD.(a,b)＞[a,b]E.(a,b)＜[a,b]3.以下哪些是同余关系的性质（）。A.自反性B.对称性C.传递性D.反身性E.反对称性4.下列属于模4的简化剩余系的是（）。A.1B.3C.5D.7E.95.一次同余式组x≡a1（modm1），x≡a2（modm2），…，x≡ak（modmk）有解的条件是（）。A.(mi,mj)|(ai-aj)（i≠j）B.(m1,m2,…,mk)=1C.m1，m2，…，mk两两互质D.任意mi与aj互质E.ai与aj互质6.以下关于质数的说法正确的是（）。A.质数只有1和它本身两个正因数B.2是最小的质数C.所有奇数都是质数D.质数有无穷多个E.大于1的自然数不是质数就是合数7.若a，b，m为整数，且a≡b（modm），则以下正确的是（）。A.a+k≡b+k（modm）（k为整数）B.ak≡bk（modm）（k为整数）C.a^n≡b^n（modm）（n为正整数）D.a-b=km（k为整数）E.m|(a-b)8.以下哪些是欧拉函数φ(n)的性质（）。A.若n是质数，则φ(n)=n-1B.若n=p^α（p为质数，α为正整数），则φ(n)=p^α-p^(α-1)C.若(m,n)=1，则φ(mn)=φ(m)φ(n)D.φ(1)=1E.φ(n)一定是偶数9.方程x^2≡4（mod7）的解有（）。A.x≡2（mod7）B.x≡-2（mod7）C.x≡5（mod7）D.x≡3（mod7）E.x≡4（mod7）10.以下属于中国剩余定理应用场景的是（）。A.韩信点兵B.物不知数问题C.解同余式组D.求最大公因数E.求最小公倍数答案：1.ACE2.ABC3.ABC4.AB5.A6.ABD7.ACDE8.ABCD9.ABC10.ABC三、判断题（每题2分，共20分）1.所有偶数都不是质数。（）2.若a|b且b|a，则a=b。（）3.同余式ax≡b（modm）若有解，则解的个数一定是(a,m)。（）4.两个相邻的正整数一定互质。（）5.模m的完全剩余系中元素个数一定是m。（）6.若(a,m)=1，则a在模m下有乘法逆元。（）7.欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。（）8.方程x^2≡-1（mod5）有解。（）9.若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm）。（）10.质数p与任何整数a的最大公因数要么是1，要么是p。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.简述辗转相除法求最大公因数的原理。答案：用较大数除以较小数，再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公因数。利用了(a,b)=(b,r)（a=bq+r）这一性质，不断缩小数字规模求最大公因数。2.说明一次同余式ax≡b（modm）有解的条件及解的个数情况。答案：有解条件是(a,m)|b。若有解，当(a,m)=d，解的个数为d个。因为同余式等价于不定方程ax-my=b，有解需满足系数最大公因数整除常数项。3.什么是模m的简化剩余系？答案：在模m的每个互质剩余类中各取一个代表元所构成的集合，这些代表元与m互质，元素个数为φ(m)。例如模5的简化剩余系为1，2，3，4。4.简述欧拉定理内容。答案：若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1（modm）。其中φ(m)是欧拉函数，表示小于等于m且与m互质的正整数个数。它是初等数论重要定理，用于简化模运算。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论质数分布规律，是否存在简单公式准确描述质数分布？答案：质数分布无明显简单规律。虽有一些近似分布定理如素数定理，但不存在能准确描述所有质数分布的简单公式。质数分布在数轴上看似随机，研究其分布是数论重要课题，许多猜想仍待解决。2.举例说明同余关系在生活中的应用。答案：如日历计算，星期几的推算利用同余。一年天数除以7取余数确定星期变化。还有循环节问题，如循环小数循环节长度与同余有关。编码校验有时也基于同余原理检查数据传输是否错误。3.探讨中国剩余定理在现代数学及其他领域的应用价值。答案：在密码学中用于密钥管理与加密算法设计。