2025年高三数学高考必刷卷模拟试题

2025年高三数学高考必刷卷模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数与反函数的概念辨析已知函数$f(x)=e^x+x-2$的零点为$a$，函数$g(x)=\lnx+x-2$的零点为$b$，则下列结论正确的是（）A.$a+b=2$B.$a-b=1$C.$ab=1$D.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$解析：函数$f(x)$的零点满足$e^a=2-a$，函数$g(x)$的零点满足$\lnb=2-b$。令$y=e^x$与$y=2-x$的交点为$(a,2-a)$，$y=\lnx$与$y=2-x$的交点为$(b,2-b)$。由于$y=e^x$与$y=\lnx$互为反函数，图像关于$y=x$对称，而直线$y=2-x$与$y=x$垂直，故两点$(a,2-a)$和$(b,2-b)$关于$y=x$对称，即$a=2-b$且$b=2-a$，因此$a+b=2$。2.立体几何与空间向量应用在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$E$为棱$CC_1$的中点，点$F$在平面$A_1B_1C_1D_1$内运动，且满足$\angleFEB=\angleFED$，则线段$AF$长度的最小值为（）A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{6}$C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$解析：以$D$为原点建立空间直角坐标系，设$F(x,y,2)$，$E(0,2,1)$，$B(2,2,0)$，$D(0,0,0)$。由$\angleFEB=\angleFED$，利用空间向量夹角公式可得$\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{EB}|}=\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{ED}|}$，化简得$x=y$。则点$F$的轨迹为平面$A_1B_1C_1D_1$内的直线$x=y$，$A(2,0,0)$到该直线的距离即为$AF$的最小值，计算得$\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，但考虑$z$坐标差为2，最终$AF=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2^2}=\sqrt{6}$。3.概率统计与贝叶斯定理某医院使用两种检测方法诊断某疾病：方法A的准确率为90%（患病者90%被确诊，健康者90%被排除），方法B的准确率为80%。已知该疾病在人群中的发病率为1%，若某人用两种方法检测均呈阳性，则其实际患病的概率为（）A.约29%B.约58%C.约76%D.约91%解析：设事件$C$为“患病”，事件$A$为“方法A阳性”，事件$B$为“方法B阳性”。由贝叶斯定理，$P(C|A\capB)=\frac{P(A\capB|C)P(C)}{P(A\capB|C)P(C)+P(A\capB|\negC)P(\negC)}$。代入数据得：分子：$0.9\times0.8\times0.01=0.0072$分母：$0.0072+(0.1\times0.2)\times0.99=0.0072+0.0198=0.027$结果：$\frac{0.0072}{0.027}\approx0.2667$，即约27%，最接近选项A。4.数学文化与数列应用《九章算术》中“衰分”问题：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士五人，依爵位从高到低依次分得粟米，共150斛。已知各爵位所得粟米数成等差数列，且大夫所得是公士的3倍，则不更与簪袅所得粟米数之和为（）A.50斛B.60斛C.70斛D.80斛解析：设等差数列为${a_n}$，公差为$d$，公士所得为$a_1$，大夫为$a_5$。由$a_5=3a_1$且$a_5=a_1+4d$，得$d=\frac{a_1}{2}$。数列和$S_5=5a_3=150$，故$a_3=30$。不更与簪袅对应$a_2$和$a_4$，其和为$a_2+a_4=2a_3=60$。5.函数图像与导数应用已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$的图像在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，且对任意$x\in[0,2]$，$f(x)\leqm$恒成立，则$m$的最小值为（）A.4B.5C.6D.7解析：由切线方程得$f(1)=3$，$f'(1)=2$，解得$a=2$，$b=3$，故$f(x)=x^3-3x^2+2x+3$。求导得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。在区间$[0,2]$内，极值点为$x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$（极大值）和$x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$（极小值），计算端点值$f(0)=3$，$f(2)=5$，极大值$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\approx4.15$，故$m$的最小值为5。6.圆锥曲线与多空题已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左焦点为$F$，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线与$C$的左支交于点$A$，与右支交于点$B$，若$|FA|=2|FB|$，则$C$的离心率为________；若$a=1$，则$\triangleAOB$（$O$为原点）的面积为________。解析：（1）设直线方程为$y=\sqrt{3}(x+c)$，与双曲线联立得$(b^2-3a^2)x^2-6a^2cx-(3a^2c^2+a^2b^2)=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由$|FA|=2|FB|$得$-c-x_1=2(x_2+c)$，结合韦达定理解得$e=2$。（2）当$a=1$，$e=2$时，$c=2$，$b^2=3$，直线与双曲线交点纵坐标绝对值为$\sqrt{3}$，面积$S=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。7.数学建模与优化问题某快递公司为提升配送效率，对一辆配送车的路径进行优化。该车从仓库$O$出发，需依次送达$A$、$B$、$C$三个网点，其中$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,1)$（单位：公里，坐标原点为仓库）。假设车辆只能沿坐标轴方向行驶（即曼哈顿距离），则最短配送路径的总长度为（）A.12公里B.13公里C.14公里D.15公里解析：曼哈顿距离下，任意两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离为$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。通过枚举路径组合，最优路径为$O\toA\toB\toC$，计算得$O$到$A$：$1+2=3$，$A$到$B$：$2+2=4$，$B$到$C$：$2+3=5$，总长度$3+4+5=12$公里。8.复数与逻辑用语已知复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$，则“$|z-1|=|z-i|$”是“$a=b$”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：$|z-1|=|z-i|$等价于$(a-1)^2+b^2=a^2+(b-1)^2$，化简得$a=b$，故为充要条件。9.三角函数与解三角形在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$，则$\triangleABC$的面积为（）A.$2\sqrt{2}$B.$3\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$5\sqrt{2}$解析：由$\cosC=\frac{1}{3}$得$\sinC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，面积$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$。10.开放探究题（选做路径）已知函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，试从以下两个问题中选择一个进行解答：路径1：求函数$f(x)$在区间$[1,e^2]$上的最值；路径2：证明对任意$x>0$，$f(x)\leq\frac{1}{e}$恒成立。解析（路径2）：求导得$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$。故$f(x)$在$x=e$处取得最大值$f(e)=\frac{1}{e}$，即$f(x)\leq\frac{1}{e}$恒成立。二、填空题（本大题共6小题，共36分。其中11-14题为单空题，15-16题为多空题）11.集合与不等式已知集合$A={x|x^2-3x-10\leq0}$，$B={x|m+1\leqx\leq2m-1}$，若$A\cupB=A$，则实数$m$的取值范围是________。答案：$(-\infty,3]$12.二项式定理$(x^2-\frac{2}{x})^5$的展开式中$x^4$的系数为________。答案：$-40$13.数列与数学归纳法已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，则$a_n=$________。答案：$3^n-2^n$14.函数与导数曲线$y=x\lnx$在点$(1,0)$处的切线方程为________。答案：$y=x-1$15.多空题（立体几何与体积）在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=AB=AC=2$，则三棱锥的外接球表面积为________；若$M$为$BC$中点，则点$M$到平面$PBC$的距离为________。答案：$12\pi$；$\frac{\sqrt{6}}{3}$16.多空题（概率与统计）某射手每次射击命中目标的概率为$p$，且各次射击相互独立。若其进行5次射击，恰有3次命中的概率为$\frac{80}{243}$，则$p=$；若其直到命中目标为止停止射击，且射击次数$X$的数学期望为2，则$p=$。答案：$\frac{2}{3}$；$\frac{1}{2}$三、解答题（本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）三角函数与解三角形在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB$。（1）求角$B$的大小；（2）若$b=2$，$\triangleABC$的面积为$\sqrt{3}$，求$a+c$的值。解答：（1）由二倍角公式得$1+\cosB=\sqrt{3}\sinB$，即$\sqrt{3}\sinB-\cosB=1$，化简为$\sin(B-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$。因为$B\in(0,\pi)$，所以$B=\frac{\pi}{3}$。（2）由面积公式$\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}$得$ac=4$。由余弦定理$b^2=a^2+c^2-ac$，得$4=(a+c)^2-3ac$，代入$ac=4$解得$a+c=4$。18.（14分）数列与数学建模某企业2025年初投入1000万元研发资金，计划以后每年比上一年增加10%的研发投入。设第$n$年（2025年为第1年）的研发投入为$a_n$万元，研发产出为$b_n=200n+500$万元。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）从哪一年开始，该年的研发产出超过研发投入的2倍？（参考数据：$\lg1.1\approx0.041$，$\lg2\approx0.301$）解答：（1）${a_n}$为等比数列，$a_1=1000$，公比$q=1.1$，故$a_n=1000\times1.1^{n-1}$。（2）由题意得$200n+500>2\times1000\times1.1^{n-1}$，化简为$n+2.5>10\times1.1^{n-1}$。通过试算或取对数解得$n\geq6$，即2030年。19.（14分）立体几何与空间向量如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleABC=90^\circ$，$AB=BC=AA_1=2$，$D$为$AC$中点。（1）证明：$BD\perp$平面$ACC_1A_1$；（2）求二面角$B-A_1C-C_1$的余弦值。解答：（1）以$B$为原点建立坐标系，$B(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$D(1,1,0)$。$\overrightarrow{BD}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2)$，证明$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0$且$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AA_1}=0$，即$BD\perpAC$且$BD\perpAA_1$，故$BD\perp$平面$ACC_1A_1$。（2）平面$A_1CC_1$的法向量为$\overrightarrow{BD}=(1,1,0)$，平面$BA_1C$的法向量通过解方程组求得$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$，二面角余弦值为$\frac{\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。20.（14分）概率统计与数据分析某超市为了解顾客对某新品零食的满意度，随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：满意度男性女性总计满意304070不满意102030总计4060100（1）是否有95%的把握认为顾客满意度与性别有关？（参考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，临界值：3.841）（2）若从满意的顾客中按性别分层抽样选取7人，再从这7人中随机选取3人赠送礼品，求至少有1名男性的概率。解答：（1）计算$\chi^2=\frac{100(30\times20-40\times10)^2}{70\times30\times40\times60}\approx0.794<3.841$，故无95%把握认为有关。（2）分层抽样选取男性3人，女性4人。至少1名男性的概率为$1-\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{31}{35}$。21.（16分）圆锥曲线与综合应用已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的方程；（2）过点$P(0,2)$的直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，若以$AB$为直径的圆过原点，求直线$l$的方程。解答：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a^2=b^2+c^2$，代入点$(2,1)$得$\frac{4}{a^2}